Απόδειξη 1-1 και επί

nikolasuoi · #1

Καλησπέρα,

Έστω $f:A\rightarrow B$ και $g:B\rightarrow C$ δύο συναρτήσεις.
$\left ( i \right )$ Αν η συνάρτηση $g\circ f$ είναι 1-1

να δειχθεί ότι η

είναι

.
$\left ( ii \right )$ Αν η συνάρτηση $g\circ f$ είναι επί να δειχθεί ότι η

είναι επί.

Απ.:
$\left ( i \right ) x_{1}, x_{2}\in A$ , έχουμε $f\left ( x_{1} \right )=f\left ( x_{2} \right )\Rightarrow g\left ( f\left ( x_{1} \right ) \right )=g\left ( f\left ( x_{2} \right ) \right )$ επειδή g:1-1

, τελικά $x_{1}=x_{2}$ , δηλαδή η

είναι

.
$\left ( ii \right )$ $g\circ f$ επί, που σημαίνει ότι για τυχόν $z\in C, \exists x\in A$ τέτοιο, ώστε $g\left ( f\left ( x \right ) \right )=z$
Επειδή $g:B\rightarrow C$ , $\exists y\in B$ τέτοιο, ώστε $g\left ( y \right )=z$
εδώ το χάνω, είναι λάθος ο τρόπος που το πήγα;

stranger · #2

Είναι απόλυτα σωστά και τα δύο. Η ερώτηση που πρέπει να κάνεις στον εαυτό σου είναι "γιατί δεν είσαι σίγουρος;".

#3

stranger έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 10, 2019 4:36 am
... Η ερώτηση που πρέπει να κάνεις στον εαυτό σου είναι "γιατί δεν είσαι σίγουρος;".

Θα συμφωνήσω με τον Κώστα (stranger) διότι η άσκηση είναι τόσο, μα τόσο, απλή που αν είσαι φοιτητής του Μαθηματικού πρέπει να επιληφθείς του θέματος. Το κέντρο των Μαθηματικών είναι αλλού. Η παραπάνω άσκηση είναι στην περιφέρεια της ουσίας, και συγκαταλέγεται στις σχεδόν αυτονόητες ιδιότητες των συναρτήσεων.

Κάτι ακόμα. Στο σημείο

nikolasuoi έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 10, 2019 2:51 am
$... \Rightarrow g\left ( f\left ( x_{1} \right ) \right )=g\left ( f\left ( x_{2} \right ) \right )$ επειδή , τελικά $x_{1}=x_{2}$ ,

υπάρχει κάποιο σφάλμα, που ελπίζω να είναι τυπογραφικό και όχι ουσιαστικό.

nikolasuoi · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 10, 2019 3:39 pm

stranger έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 10, 2019 4:36 am
... Η ερώτηση που πρέπει να κάνεις στον εαυτό σου είναι "γιατί δεν είσαι σίγουρος;".
Θα συμφωνήσω με τον Κώστα (stranger) διότι η άσκηση είναι τόσο, μα τόσο, απλή που αν είσαι φοιτητής του Μαθηματικού πρέπει να επιληφθείς του θέματος. Το κέντρο των Μαθηματικών είναι αλλού. Η παραπάνω άσκηση είναι στην περιφέρεια της ουσίας, και συγκαταλέγεται στις σχεδόν αυτονόητες ιδιότητες των συναρτήσεων.

Κάτι ακόμα. Στο σημείο

nikolasuoi έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 10, 2019 2:51 am
$... \Rightarrow g\left ( f\left ( x_{1} \right ) \right )=g\left ( f\left ( x_{2} \right ) \right )$ επειδή , τελικά $x_{1}=x_{2}$ ,
υπάρχει κάποιο σφάλμα, που ελπίζω να είναι τυπογραφικό και όχι ουσιαστικό.

Είναι ασαφής διατύπωση. Φυσικά εννοώ ότι τελικό συμπέρασμα, επειδή η $g:1-1 \Rightarrow x_{1}=x_{2}.$

nikolasuoi · #5

Με συγχωρείτε, στο $\left ( ii \right )$ δεν έχω καταλάβει ο ίδιος την ολοκλήρωση της απόδειξης. Καλούμε να αποδείξω ύπαρξη τυχαίου στοιχείου

στο

, έτσι ώστε $g\left ( y \right )=z$ . Το συμπέρασμα ποιό είναι; Ότι από $g\left ( f\left ( x \right ) \right )=z=g\left ( y \right )\Rightarrow f\left ( x \right ) =y$ , και άρα υπάρχει στοιχείο, το $f\left ( x \right )$ , άρα η

είναι επί;

#6

nikolasuoi έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 10, 2019 4:23 pm
Είναι ασαφής διατύπωση. Φυσικά εννοώ ότι τελικό συμπέρασμα, επειδή η $g:1-1 \Rightarrow x_{1}=x_{2}.$

Τότε δυστυχώς η απόδειξη που γράφεις είναι εσφαλμένη, και δεν πρόκειται για τυπογραφικό σφάλμα.

Κάνω άλλη μια προσπάθεια γιατί δεν φαίνεται να έγινε κατανοητό τι εννοούσα στο προηγούμενο μήνυμά μου:

Χρησιμοποίησες το γεγονός ότι η

είναι

. Όμως η υπόθεση δεν λέει αυτό αλλά

nikolasuoi έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 10, 2019 4:23 pm
... Αν η συνάρτηση $g\circ f$ είναι 1-1 να δειχθεί ότι ...

Ξαναδές το λοιπόν.

Ας επαναλάβω ότι η άσκηση είναι στο επίπεδο του σχεδόν αυτονόητου, που δεν αξίζει τόση σπατάλη ενέργειας. Κυριολεκτικά πνιγόμαστε σε μία κουταλιά νερό.

nikolasuoi · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 10, 2019 5:46 pm

nikolasuoi έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 10, 2019 4:23 pm
Είναι ασαφής διατύπωση. Φυσικά εννοώ ότι τελικό συμπέρασμα, επειδή η $g:1-1 \Rightarrow x_{1}=x_{2}.$
Τότε δυστυχώς η απόδειξη που γράφεις είναι εσφαλμένη, και δεν πρόκειται για τυπογραφικό σφάλμα.

Κάνω άλλη μια προσπάθεια γιατί δεν φαίνεται να έγινε κατανοητό τι εννοούσα στο προηγούμενο μήνυμά μου:

Χρησιμοποίησες το γεγονός ότι η είναι . Όμως η υπόθεση δεν λέει αυτό αλλά

nikolasuoi έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 10, 2019 4:23 pm
... Αν η συνάρτηση $g\circ f$ είναι 1-1 να δειχθεί ότι ...
Ξαναδές το λοιπόν.

Ας επαναλάβω ότι η άσκηση είναι στο επίπεδο του σχεδόν αυτονόητου, που δεν αξίζει τόση σπατάλη ενέργειας. Κυριολεκτικά πνιγόμαστε σε μία κουταλιά νερό.

Συγγνώμη, η $g\circ f:1-1\Rightarrow x_{1}=x_{2}.$
Για το $\left ( ii \right )$ μπορείτε να με βοηθήσετε;

#8

nikolasuoi έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 10, 2019 6:07 pm
Συγγνώμη, η $g\circ f:1-1\Rightarrow x_{1}=x_{2}.$

Τώρα μάλιστα.

nikolasuoi έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 10, 2019 6:07 pm
Για το $\left ( ii \right )$ μπορείτε να με βοηθήσετε;

Εδώ και αν πνίγεσαι σε μία κουταλιά νερό. Το ερώτημα αγγίζει στο προφανές. Το αυτονόητο. Το άμεσο. Ας το δούμε πλήρως, και το γράφω ΜΕ ΠΟΛΛΑ ΛΟΓΙΑ, περισσότερα από ότι αξίζει η ευκολία της άσκησης.

Έστω $z\in C$ . Αφού gof

επί, υπάρχει $x\in A$ με g(f(x))=z

. Με άλλα λόγια, αν γράψουμε f(x)=y

σημαίνει ότι βρήκαμε ένα

με

. Παρατηρούμε ακόμα ότι αφού $x\in A$ και $f:A \to B$ , θα είναι $y=f(x)\in B$ . Τελειώσαμε.

Αν είναι φοιτητής Μαθηματικού, πρέπει να τα ξεκαθαρίσεις όλα αυτά. Είναι στο επίπεδο της αρχής (όροφος μηδέν). Το οικοδόμημα αρχίζει από εκεί και πέρα.

nikolasuoi · #9

Βλέπω το δέντρο και χάνω το δάσος. Σας ευχαριστώ πάρα πολύ!

Απόδειξη 1-1 και επί

Απόδειξη 1-1 και επί

Re: Απόδειξη 1-1 και επί

Re: Απόδειξη 1-1 και επί

Re: Απόδειξη 1-1 και επί

Re: Απόδειξη 1-1 και επί

Re: Απόδειξη 1-1 και επί

Re: Απόδειξη 1-1 και επί

Re: Απόδειξη 1-1 και επί

Re: Απόδειξη 1-1 και επί

Μέλη σε σύνδεση