Αποδεικτική

nikolasuoi
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2016 11:13 am

Αποδεικτική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikolasuoi » Κυρ Αύγ 18, 2019 1:26 am

Αν x,y \in \mathbb{R} ώστε να ισχύει x<y+\varepsilon , \forall \varepsilon > 0 , δείξτε ότι x\leq y.

Θεώρησα ότι x>y, προς απαγωγή σε άτοπο. Τότε x+\varepsilon >y+\varepsilon >x\Rightarrow \varepsilon >0 που ισχύει και δεν καταλήγω σε άτοπο.
Μπορεί να μού πει κάποιος πού κάνω λάθος;



Λέξεις Κλειδιά:
sot arm
Δημοσιεύσεις: 178
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Αποδεικτική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Κυρ Αύγ 18, 2019 1:33 am

nikolasuoi έγραψε:
Κυρ Αύγ 18, 2019 1:26 am
Αν x,y \in \mathbb{R} ώστε να ισχύει x<y+\varepsilon , \forall \varepsilon > 0 , δείξτε ότι x\leq y.

Θεώρησα ότι x>y, προς απαγωγή σε άτοπο. Τότε x+\varepsilon >y+\varepsilon >x\Rightarrow \varepsilon >0 που ισχύει και δεν καταλήγω σε άτοπο.
Μπορεί να μού πει κάποιος πού κάνω λάθος;
Δεν κάνεις κανένα λάθος, δεν είναι απαραίτητο οτι οποιαδήποτε λάθος υπόθεση κάνεις να καταλήξεις σε άτοπο. Δοκίμασε κάποιον άλλον συλλογισμό. Για να σε βοηθήσω να καταλήξεις σε αυτόν σκέψου το γεωμετρικά, βαλε πάνω στην ευθεία τα x, y δες τι σημαίνει η συνθήκη με το ε. Βλέπεις κάποια ε για τα οποία καταλήγεις σε άτοπο;


Αρμενιάκος Σωτήρης
nikolasuoi
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2016 11:13 am

Re: Αποδεικτική

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikolasuoi » Κυρ Αύγ 18, 2019 4:55 pm

sot arm έγραψε:
Κυρ Αύγ 18, 2019 1:33 am
nikolasuoi έγραψε:
Κυρ Αύγ 18, 2019 1:26 am
Αν x,y \in \mathbb{R} ώστε να ισχύει x<y+\varepsilon , \forall \varepsilon > 0 , δείξτε ότι x\leq y.

Θεώρησα ότι x>y, προς απαγωγή σε άτοπο. Τότε x+\varepsilon >y+\varepsilon >x\Rightarrow \varepsilon >0 που ισχύει και δεν καταλήγω σε άτοπο.
Μπορεί να μού πει κάποιος πού κάνω λάθος;
Δεν κάνεις κανένα λάθος, δεν είναι απαραίτητο οτι οποιαδήποτε λάθος υπόθεση κάνεις να καταλήξεις σε άτοπο. Δοκίμασε κάποιον άλλον συλλογισμό. Για να σε βοηθήσω να καταλήξεις σε αυτόν σκέψου το γεωμετρικά, βαλε πάνω στην ευθεία τα x, y δες τι σημαίνει η συνθήκη με το ε. Βλέπεις κάποια ε για τα οποία καταλήγεις σε άτοπο;
Αντιλαμβάνομαι ότι αν y< x, τότε θα υπήρχε \varepsilon τέτοιο, ώστε y+\varepsilon \leq x, που είναι αντίθετο με το δεδομένο. Άρα πρέπει x\leq y.
Όμως είναι αρκετό αυτό ως απόδειξη; Τί είναι αυτό που λείπει;
Τα \varepsilon για τα οποία έχω άτοπο είναι τα \varepsilon \leq x-y.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11267
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Αποδεικτική

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Αύγ 18, 2019 5:19 pm

nikolasuoi έγραψε:
Κυρ Αύγ 18, 2019 4:55 pm
Αντιλαμβάνομαι ότι αν y< x, τότε θα υπήρχε \varepsilon τέτοιο, ώστε y+\varepsilon \leq x, που είναι αντίθετο με το δεδομένο. Άρα πρέπει x\leq y.
Όμως είναι αρκετό αυτό ως απόδειξη; Τί είναι αυτό που λείπει;
Τα \varepsilon για τα οποία έχω άτοπο είναι τα \varepsilon \leq x-y.
Σωστά. Όμως σπεύδω να επαναλάβω ένα μήνυμά μου που σου έγραψα πρόσφατα:
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Αύγ 10, 2019 6:31 pm

Αν είναι φοιτητής Μαθηματικού, πρέπει να τα ξεκαθαρίσεις όλα αυτά. Είναι στο επίπεδο της αρχής (όροφος μηδέν). Το οικοδόμημα αρχίζει από εκεί και πέρα.
Ο λόγος που το λέω είναι γιατί η παραπάνω είναι ιδιαίτερα απλή άσκηση η οποία τυχαίνει να είναι στην καρδιά των συλλογισμών της Ανάλυσης. Δεν πρέπει να κολλάς σε τέτοιες ασκήσεις. Σε παροτρύνω να τις λύνεις μόνος σου, όσο χρόνο και αν σου παίρνει. Έχεις περισσότερα να κερδίσεις αν ακολουθήσεις την συμβουλή που σου δίνω παρά να ρωτάς με πρώτη ευκαιρία το φόρουμ. Όπως και να είναι, εδώ είμαστε για όποια βοήθεια μας ζητήσεις.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8179
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Αποδεικτική

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Αύγ 18, 2019 5:20 pm

nikolasuoi έγραψε:
Κυρ Αύγ 18, 2019 4:55 pm
sot arm έγραψε:
Κυρ Αύγ 18, 2019 1:33 am
nikolasuoi έγραψε:
Κυρ Αύγ 18, 2019 1:26 am
Αν x,y \in \mathbb{R} ώστε να ισχύει x<y+\varepsilon , \forall \varepsilon > 0 , δείξτε ότι x\leq y.

Θεώρησα ότι x>y, προς απαγωγή σε άτοπο. Τότε x+\varepsilon >y+\varepsilon >x\Rightarrow \varepsilon >0 που ισχύει και δεν καταλήγω σε άτοπο.
Μπορεί να μού πει κάποιος πού κάνω λάθος;
Δεν κάνεις κανένα λάθος, δεν είναι απαραίτητο οτι οποιαδήποτε λάθος υπόθεση κάνεις να καταλήξεις σε άτοπο. Δοκίμασε κάποιον άλλον συλλογισμό. Για να σε βοηθήσω να καταλήξεις σε αυτόν σκέψου το γεωμετρικά, βαλε πάνω στην ευθεία τα x, y δες τι σημαίνει η συνθήκη με το ε. Βλέπεις κάποια ε για τα οποία καταλήγεις σε άτοπο;
Αντιλαμβάνομαι ότι αν y< x, τότε θα υπήρχε \varepsilon τέτοιο, ώστε y+\varepsilon \leq x, που είναι αντίθετο με το δεδομένο. Άρα πρέπει x\leq y.
Όμως είναι αρκετό αυτό ως απόδειξη; Τί είναι αυτό που λείπει;
Τα \varepsilon για τα οποία έχω άτοπο είναι τα \varepsilon \leq x-y.

Αυτή είναι η ιδέα. Προσπάθησε όμως να το γράψεις σωστά. Κάνω την αρχή.

Έστω προς άτοπο ότι x > y και έστω \varepsilon = \cdots


nikolasuoi
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2016 11:13 am

Re: Αποδεικτική

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikolasuoi » Δευ Αύγ 19, 2019 6:20 am

Demetres έγραψε:
Κυρ Αύγ 18, 2019 5:20 pm
nikolasuoi έγραψε:
Κυρ Αύγ 18, 2019 4:55 pm
sot arm έγραψε:
Κυρ Αύγ 18, 2019 1:33 am
nikolasuoi έγραψε:
Κυρ Αύγ 18, 2019 1:26 am
Αν x,y \in \mathbb{R} ώστε να ισχύει x<y+\varepsilon , \forall \varepsilon > 0 , δείξτε ότι x\leq y.

Θεώρησα ότι x>y, προς απαγωγή σε άτοπο. Τότε x+\varepsilon >y+\varepsilon >x\Rightarrow \varepsilon >0 που ισχύει και δεν καταλήγω σε άτοπο.
Μπορεί να μού πει κάποιος πού κάνω λάθος;
Δεν κάνεις κανένα λάθος, δεν είναι απαραίτητο οτι οποιαδήποτε λάθος υπόθεση κάνεις να καταλήξεις σε άτοπο. Δοκίμασε κάποιον άλλον συλλογισμό. Για να σε βοηθήσω να καταλήξεις σε αυτόν σκέψου το γεωμετρικά, βαλε πάνω στην ευθεία τα x, y δες τι σημαίνει η συνθήκη με το ε. Βλέπεις κάποια ε για τα οποία καταλήγεις σε άτοπο;
Αντιλαμβάνομαι ότι αν y< x, τότε θα υπήρχε \varepsilon τέτοιο, ώστε y+\varepsilon \leq x, που είναι αντίθετο με το δεδομένο. Άρα πρέπει x\leq y.
Όμως είναι αρκετό αυτό ως απόδειξη; Τί είναι αυτό που λείπει;
Τα \varepsilon για τα οποία έχω άτοπο είναι τα \varepsilon \leq x-y.

Αυτή είναι η ιδέα. Προσπάθησε όμως να το γράψεις σωστά. Κάνω την αρχή.

Έστω προς άτοπο ότι x > y και έστω \varepsilon = \cdots
Παίρνω \varepsilon =2\left ( x-y \right )> 0, το οποίο ικανοποιεί τη συνθήκη. Τότε, y+\varepsilon \leq x\Rightarrow y+2\left ( x-y \right )\leq x\Rightarrow y-2y\leq x-2x\Rightarrow y\geq x, άτοπο από υπόθεση.


stranger
Δημοσιεύσεις: 44
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: Αποδεικτική

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Δευ Αύγ 19, 2019 6:55 am

Έχεις κάνει λάθος στην υπόθεση.Είναι x<y+\epsilon για κάθε \epsilon>0 και όχι y+\epsilon \leq x για κάθε \epsilon>0.
Δοκίμασε να πάρεις ένα μικρότερο \epsilon.Μπορείς να πάρεις όποιο \epsilon θέλεις αρκεί να είναι θετικό.
Κάνε το σχήμα της πραγματικής ευθείας και τότε θα δεις ποιο \epsilon πρέπει να πάρεις.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός
nikolasuoi
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2016 11:13 am

Re: Αποδεικτική

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikolasuoi » Δευ Αύγ 19, 2019 7:14 am

stranger έγραψε:
Δευ Αύγ 19, 2019 6:55 am
Έχεις κάνει λάθος στην υπόθεση.Είναι x<y+\epsilon για κάθε \epsilon>0 και όχι y+\epsilon \leq x για κάθε \epsilon>0.
Δοκίμασε να πάρεις ένα μικρότερο \epsilon.Μπορείς να πάρεις όποιο \epsilon θέλεις αρκεί να είναι θετικό.
Κάνε το σχήμα της πραγματικής ευθείας και τότε θα δεις ποιο \epsilon πρέπει να πάρεις.
\varepsilon =\left ( x-y \right )/2, τότε x<y+\varepsilon \Rightarrow x<y+\left ( x-y \right )/2\Rightarrow x<y, άτοπο.


stranger
Δημοσιεύσεις: 44
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: Αποδεικτική

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Δευ Αύγ 19, 2019 7:20 am

:10sta10:
Μπράβο!


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός
nikolasuoi
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2016 11:13 am

Re: Αποδεικτική

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikolasuoi » Δευ Αύγ 19, 2019 7:23 am

Είχα μπερδευτεί λίγο με τις διάφορες παρεμβάσεις. Σας ευχαριστώ!


Απάντηση

Επιστροφή σε “Μαθηματική Λογική & Θεμέλια Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης