Μοντέλα της αριθμητικής

[stranger]

Έχω μια ερώτηση σχετικά με τα μοντέλα της αριθμητικής.
Στο βιβλίο του Μοσχοβάκη "Σημειώσεις στην συνολοθεωρία" έχει ένα θεώρημα που λέει ότι κάθε δύο μοντέλα της αριθμητικής είναι ισόμορφα.
Πως γίνεται λοιπόν να υπάρχουν non standard models of arithmetic; H ισομορφία των μοντέλων αυτών δεν δίνει μόνο ένα μοντέλο;
Επίσης ορίζει το σύνολο των φυσικών αριθμών να είναι η τομή όλων των συνόλων που ικανοποιούν το αξίωμα του απείρου. Όμως τα non standard models περιέχουν μέσα τους τα standard models, οπότε η τομή τους θα είναι σίγουρα standard model.
Μπορεί να έχει να κάνει με τη λογική πρώτου βαθμού και δευτέρου βαθμού που δεν έχω καταλάβει.
Έχω διαβάσει στο internet ότι η διαφορά της λογικής πρώτου βαθμού με την δευτέρου βαθμού είναι στο ότι στη λογική πρώτου βαθμού δεν μπορούμε να γράψουμε προτάσεις της μορφής .
Όμως πολλές φορές στα μαθηματικά χρειάζεται να πάρουμε προτάσεις τέτοιες. Αν είναι έτσι πως αξιωματικοποιούνται αυτές οι προτάσεις στη λογική πρώτου βαθμού; Αφού τα μαθηματικά στηρίζονται στη λογική πρώτου βαθμού τέτοιες προτάσεις πρέπει να αξιωματικοποιούνται κάπως. Αν δεν γίνεται αυτό, τότε πάει να πει ότι η λογική πρώτου βαθμού δεν μπορεί να στηρίξει όλα τα μαθηματικά.

[Μάρκος Βασίλης]

Να τα πάρουμε από το τέλος προς την αρχή.

Αρχικά, αν πάρουμε, για παράδειγμα, την πρωτοβάθμια θεωρία των πραγματικών αριθμών - δηλαδή, όλα τα "θεωρήματα" που αποδεικνύονται από τα αξιώματα των πραγματικών αριθμών (πλην αυτό της πληρότητας) - τότε έχουμε τουλάχιστον δύο μοντέλα που τα ικανοποιούν:

1. Το συμβατικό μοντέλο των πραγματικών αριθμών.
2. Το μη συμβατικό μοντέλο των πραγματικών αριθμών.

Μιας και το δεύτερο δεν ικανοποιεί το αξίωμα της πληρότητας, ενώ το πρώτο το ικανοποιεί (γραμμένο, προφανώς, σε δευτεροβάθμια γλώσσα), συμπεραίνουμε ότι δε γίνεται το αξίωμα της πληρότητας να περιγραφεί σε πρωτοβάθμια γλώσσα.

Άρα, πράγματι, η πρωτοβάθμια λογική δεν μπορεί να περιγράψει όλα όσα θέλουμε, ωστόσο είναι ημι-αποφασίσιμη - δηλαδή, υπάρχει αλγόριθμος ο οποίος, δεδομένου ενός θεωρήματος μπορεί, αν αυτό αποδεικνύεται από τα αξιώματά μας, να τερματίσει αποφαινόμενος ότι αποδεικνύεται, αλλά, αν αυτό δεν αποδεικνύετε, ενδέχεται να μην τερματίσει ποτέ. Για τη δευτεροβάθμια λογική δεν ισχύει κάτι τέτοιο.

Πίσω στα μοντέλα, το θεώρημα αξιοπιστίας-πληρότητας της πρωτοβάθμιας λογικής μας λέει ότι «κάθε συνεπές σύνολο τύπων είναι ικανοποιήσιμο και αντίστροφα». Δηλαδή, για κάθε σύνολο τύπων, υπάρχει δομή και απονομή (δηλ., ένα σύνολο στοιχείων και μία αντιστοίχιση των μεταβλητών με τα στοιχεία του συνόλου αυτού) που να το ικανοποιεί (να κάνει αληθείς όλες τις προτάσεις του) ανν μπορούμε να αποδείξουμε μόνο έναν εκ των και .

Άλλο ένα χρήσιμο θεώρημα είναι το θεώρημα της συμπάγειας («πόρισμα» του θεωρήματος αξιοπιστίας-πληρότητας), το οποίο μας λέει ότι: «Ένα σύνολο τύπων είναι ικανοποιήσιμο ανν κάθε πεπερασμένο υποσύνολό του είναι ικανοποιήσιμο». Πρακτικά, αυτό σημαίνει για να εξετάσουμε αν ένα σύνολο τύπων είναι ικανοποιήσιμο - αν υπάρχει δομή και απονομή με τα οποία να αληθεύουν όλοι οι τύποι του - αρκεί να εξετάσουμε όλα τα πεπερασμένα υποσύνολά του. (Αυτό μας θυμίζει λίγο την ιδιότητα της πεπερασμένης τομής των συμπαγών συνόλων σε τοπολογικούς χώρους και, πράγματι, σχετίζεται με αυτήν, αλλά αυτό πάει μακριά).

Λίγο χαλαρά τώρα, ας δούμε πώς «φτιάχνουμε» ένα μη συμβατικό μοντέλο αριθμητικής από το συνηθισμένο. Έστω το μοντέλο της πρωτοβάθμιας θεωρίας των φυσικών αριθμών (με διάταξη, διάδοχο και 0, ας πούμε). Θα συμβολίζουμε αυτή τη θεωρία με . Θεωρούμε τους τύπους (για τους πιο λεπτομερείς, φροντίζουμε η να μην έχει ελεύθερες εμφανίσεις στην ):

όπου με συμβολίζουμε τον οστό διάδοχο του μηδενός (τον ως φυσικό αριθμό, δηλαδή). Έστω επίσης το σύνολο όλων αυτών των τύπων. Τώρα, αν είναι ένα πεπερασμένο υποσύνολο της , τότε θα υπάρχει τέτοιο ώστε:

Τότε, με μοντέλο τους συνήθεις φυσικούς αριθμούς και απονέμοντας στην την τιμή είναι σαφές ότι το ικανοποιείται, άρα και το ικανοποιείται.

Από το θεώρημα της Συμπάγειας, λοιπόν, το ικανοποιείται. Επομένως, υπάρχει δομή και απονομή έτσι ώστε όλοι οι τύποι του να ικανοποιούνται. Υπάρχει, δηλαδή, στοιχείο τέτοιο ώστε:

για όλα τα - τους συνήθεις φυσικούς αριθμούς.

Εμφανώς, η συνήθης θεωρία των φυσικών περιέχεται σε αυτήν του νέου μοντέλου μας - ας την ονομάσουμε . Ωστόσο, ισχύει και το αντίστροφο. Πράγματι, αν, προς άτοπο, υπήρχε , τότε, από την συνέπεια της - θεώρημα αξιοπιστίας πληρότητας, αφού η είναι ικανοποιήσιμη - θα έπρεπε , άτοπο, γιατί , αφού και η είναι συνεπής - αφού είναι ικανοποιήσιμη.

Άρα, , οπότε τα δύο μοντέλα έχουν την ίδια θεωρία.

Από το παραπάνω προκύπτει εύκολα - αφού στο σύνηθες μοντέλο έχουμε την πρόταση ότι «το μοντέλο δεν είναι άνω φραγμένο» ότι υπάρχει ακολουθία «νέων» - «μη συμβατικών» - στοιχείων τέτοια ώστε:

δηλαδή, υπάρχουν άπειροι «μη φραγμένοι» φυσικοί αριθμοί.

Γενικά, για τη σχέση συμβατικών και μη συμβατικών μοντέλων μίας θεωρίας είναι σημαντικό το Transfer Principle.

[stranger]

Σε ευχαριστώ για την απάντηση σου.
Νομίζω ότι σιγά σιγά αρχίζω να σχηματίζω προσωπική άποψη πάνω στο θέμα αυτό.
Οπότε η λογική πρώτου βαθμού δεν μπορεί να στηρίξει όλα τα μαθηματικά.
Αν είναι έτσι γιατί δεν χρησιμοποιούμε λογική δευτέρου βαθμού;Νομίζω ότι αυτή ήταν και η άποψη του Zermelo.
Με τη λογική πρώτου βαθμού μπορούμε να δείξουμε ότι η ZFC έχει αριθμήσιμο μοντέλο.
Κατά τη γνώμη μου αυτό είναι αντιφατικό.
Άλλη μια ερώτηση.
Στο βιβλίο του Μοσχοβάκη όταν αποδεικνύει ότι δύο μοντέλα των φυσικών αριθμών είναι ισόμορφα χρησιμοποιεί λογική δευτέρου βαθμού;
Νομίζω ότι έχει πολύ ζουμί αυτό το θέμα.

[stranger]

Άλλη μια ερώτηση. Το αξιωματικό σύστημα των μαθηματικών με λογική δευτέρου βαθμού είναι πλήρες;
Δηλαδή, είναι κάθε πρόταση αποδείξιμη είτε αυτή είτε η άρνησή της στη λογική δευτέρου βαθμού;
Αν είναι πλήρες, τότε γίνεται καμία έρευνα στο αν ισχύει η υπόθεση του συνεχούς( η άλλες προτάσεις) στην δευτεροβάθμια γλώσσα;

[Μάρκος Βασίλης]

Σε ευχαριστώ για την απάντηση σου.
Νομίζω ότι σιγά σιγά αρχίζω να σχηματίζω προσωπική άποψη πάνω στο θέμα αυτό.
Οπότε η λογική πρώτου βαθμού δεν μπορεί να στηρίξει όλα τα μαθηματικά.
Αν είναι έτσι γιατί δεν χρησιμοποιούμε λογική δευτέρου βαθμού;Νομίζω ότι αυτή ήταν και η άποψη του Zermelo.
Με τη λογική πρώτου βαθμού μπορούμε να δείξουμε ότι η ZFC έχει αριθμήσιμο μοντέλο.
Κατά τη γνώμη μου αυτό είναι αντιφατικό.
Άλλη μια ερώτηση.
Στο βιβλίο του Μοσχοβάκη όταν αποδεικνύει ότι δύο μοντέλα των φυσικών αριθμών είναι ισόμορφα χρησιμοποιεί λογική δευτέρου βαθμού;
Νομίζω ότι έχει πολύ ζουμί αυτό το θέμα.

Τι εννοούμε όταν λέμε «γιατί δεν χρησιμοποιούμε λογική δευτέρου βαθμού;» Ως μαθηματικός, σε μία απόδειξη, χρησιμοποιεί ο καθένας μας αρκετά συχνά δευτεροβάθμια επιχειρήματα - πρακτικά, όποτε αναγκάζεται κανείς να ποσοδείξει σύνολα (π.χ. αξίωμα της πληρότητας).

Ένας από τους πολύ σημαντικούς λόγους ύπαρξης της λογικής είναι η αλγοριθμοποίηση του συμπερασμού και της εξαγωγής γνώσης από μία βάση γνώσης (ένα σύνολο κανόνων). Έτσι, ξεκινάμε από την προτασιακή λογική και γρήγορα βλέπουμε ότι αυτή δεν είναι αρκετά εκφραστική - ωστόσο, οι περισσότεροι αλγόριθμοι που αφορούν τον συμπερασμό είναι πολύ «καλοί». Έπειτα, προχωράμε στο να βάλουμε στο παιχνίδι τις πρωτοβάθμιες γλώσσες -μεταβλητές, σταθερές, κατηγορήματα, συναρτήσεις, ποσοδείκτες και ενδεχομένως σύμβολο ισότητας - και βλέπουμε ότι έχουμε μία πολύ μεγαλύτερη εκφραστικότητα και πολλές δυνατότητες ως προς την αλγοριθμική κατασκευή αποδείξεων αυτών που κάνουμε -η πρωτοβάθμια λογική είναι ημιαποφασίσιμη. Αποφασίζουμε να γίνουμε ακόμα πιο εκφραστικοί εντάσσοντας στο παιχνίδι και μεταβλητές/ποσόδειξη των κατηγορημάτων και των συναρτήσεων (δηλαδή, των συνόλων), οπότε και χάνουμε κάθε απόδοση σε ζήτημα αλγορίθμων - η δευτεροβάθμια λογική είναι μη αποφασίσιμη.

Όλα αυτά σε χαλαρό επίπεδο πάντα - υπάρχουν πολλές «λογικές» (τροπικές/πλειότιμες/ασαφείς κ.α.). Οπότε, δεν έχουμε λόγο να «μπλέξουμε» με δευτεροβάθμια λογική αν θέλουμε να ασχοληθούμε με αλγορίθμους.

Τώρα, για το βιβλίο του Μοσχοβάκη, αν αναφέρεσαι στις σημειώσεις του στη θεωρία συνόλων, δεν τις έχω εύκαιρες, αλλά δε θυμάμαι και ποια ήταν η απόδειξη που παρέθετε.

[Μάρκος Βασίλης]

Άλλη μια ερώτηση. Το αξιωματικό σύστημα των μαθηματικών με λογική δευτέρου βαθμού είναι πλήρες;
Δηλαδή, είναι κάθε πρόταση αποδείξιμη είτε αυτή είτε η άρνησή της στη λογική δευτέρου βαθμού;
Αν είναι πλήρες, τότε γίνεται καμία έρευνα στο αν ισχύει η υπόθεση του συνεχούς( η άλλες προτάσεις) στην δευτεροβάθμια γλώσσα;

Όχι, δεν ισχύει το αξίωμα της αξιοπιστίας-πληρότητας στη δευτεροβάθμια λογική, γιατί δεν έχουν όλες οι συνεπείς θεωρίες κάποιο μοντέλο.

[stranger]

Τι εννοούμε όταν λέμε «γιατί δεν χρησιμοποιούμε λογική δευτέρου βαθμού;» Ως μαθηματικός, σε μία απόδειξη, χρησιμοποιεί ο καθένας μας αρκετά συχνά δευτεροβάθμια επιχειρήματα - πρακτικά, όποτε αναγκάζεται κανείς να ποσοδείξει σύνολα (π.χ. αξίωμα της πληρότητας).

Για να χρησιμοποιήσουμε δευτεροβάθμια επιχειρήματα σε μια απόδειξη δεν πρέπει πρώτα να θεμελιώσουμε τα μαθηματικά σε λογική δευτέρου βαθμού;
Τι εννοώ; Αν συμφωνούμε ότι τα αξιώματα των μαθηματικών είναι σε πρωτοβάθμια γλώσσα τότε δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε δευτεροβάθμια επιχειρήματα. Θέλουμε μια αξιωματικοποίηση που να ορίζονται και να αποδεικνύονται όλα τα μαθηματικά(πόσο μάλλον οι πραγματικοί αριθμοί που είναι από τα πιο σημαντικά μαθηματικά αντικείμενα).

[Μάρκος Βασίλης]

Για να χρησιμοποιήσουμε δευτεροβάθμια επιχειρήματα σε μια απόδειξη δεν πρέπει πρώτα να θεμελιώσουμε τα μαθηματικά σε λογική δευτέρου βαθμού;
Τι εννοώ; Αν συμφωνούμε ότι τα αξιώματα των μαθηματικών είναι σε πρωτοβάθμια γλώσσα τότε δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε δευτεροβάθμια επιχειρήματα. Θέλουμε μια αξιωματικοποίηση που να ορίζονται και να αποδεικνύονται όλα τα μαθηματικά(πόσο μάλλον οι πραγματικοί αριθμοί που είναι από τα πιο σημαντικά μαθηματικά αντικείμενα).

Λοιπόν, ας τα ξαναβάλουμε στη σειρά.

Έχουμε τον απειροστικό, όπως εμείς τον μελετάμε τόσους αιώνες, λέγοντας «για κάθε μη κενό και άνω φραγμένο σύνολο...», «υπάρχει μη κενό σύνολο Lebesgue μετρήσιμο και όχι Borel» και άλλα πολλά που έχουν να κάνουν με ποσόδειξη σε σύνολα. Τίποτα δεν μας εμποδίζει σε αυτό. Μπορούμε να το λέμε και να κάνουμε κανονικά τις αποδείξεις μας, ανεξάρτητα από το αν υπάρχει ή όχι ο τομέας των μαθηματικών που λέγεται λογική.

Η μαθηματική λογική έρχεται να εξερευνήσει το μέχρι πού μπορούμε να φτάσουμε έχοντας στα χέρια μας κάποια δεδομένη εκφραστικότητα. Βασικό ρόλο παίζει η έννοια της γλώσσας (αγνοώ την προτασιακή λογική, για να μπούμε στο «ζουμί» του θέματος). Μία γλώσσα είναι, πρακτικά, το τι σύμβολα έχουμε στα χέρια μας για να μιλήσουμε. Εν γένει, μία πρωτοβάθμια γλώσσα αποτελείται από:

1. Ένα σύνολο συμβόλων σταθερών (π.χ. ).
2. Ένα σύνολο συμβόλων μεταβλητών (π.χ. ).
3. Ένα σύνολο μελών συμβόλων κατηγορημάτων (π.χ. ) για κάθε .
4. Ένα σύνολο μελών συμβόλων συναρτήσεων (π.χ. ) για κάθε . - Δε θα μπω σε λεπτομέρειες για τις διαφορές κατηγορήματος και συνάρτησης, προς το παρόν. Μπορούμε, αν θέλουμε, να τα βλέπουμε όλα με κατηγορήματα.
5. Τους δύο ποσοσδείκτες με πεδίο αναφοράς το σύνολο των συμβόλων μεταβλητών (δηλαδή, δεν μπορείς να ποσοδείξεις ένα κατηγόρημα ή μία σταθερά ή ένα σύμβολο συνάρτησης). Officially, μόνο ο ένας ποσοσδείκτης μας αρκεί.
6. Ένα σύμβολο ισότητας, αν θέλουμε.

Η ιδέα είναι ότι τα σύμβολα σταθερών αντιπροσωπεύουν οντότητες του σύμπαντος, οι μεταβλητές είναι... μεταβλητές, τα κατηγορήματα είναι σύνολα και οι συναρτήσεις είναι σχέσεις μεταξύ των οντοτήτων.

Μία δευτεροβάθμια γλώσσα είναι μία πρωτοβάθμια γλώσσα με το «προνόμιο» να έχεις και δύο ακόμα σύνολα μεταβλητών, ένα για τις κατηγορικές μεταβλητές και ένα για τις «συναρτησιακές» μεταβλητές, και αντίστοιχα δύο νέα ζεύγη ποσοδεικτών για αυτές τις μεταβλητές.

Για δευτεροβάθμιες και πρωτοβάθμιες γλώσσες ισχύουν, εν γένει, διαφορετικά θεωρήματα, που καθορίζουν και το τι είναι εφικτό να αποδείξουμε αλγοριθμικά στην κάθε περίσταση. Έτσι, αν εσύ επιλέξεις να διατυπώσεις τα αξιώματα του συνήθους απειροστικού λογισμού σε πρωτοβάθμια γλώσσα, δεν μπορείς να αποδείξεις π.χ. το Θ.Μ.Ε.Τ., αφού θες και πληρότητα - χάνεις σε εκφραστικότητα - ωστόσο, μπορείς να είσαι σίγουρος ότι ό,τι αποδεικνύεται με βάση το πρωτοβάθμιο μέρος της θεωρία του απειροστικού, μπορείς να το βρεις - ωστόσο, αν «τρέξεις» τον αλγόριθμο, δεν ξέρεις πότε θα τερματίσει.

Επίσης, κάτι που ίσως να σε μπερδεύει είναι η έννοια του μοντέλου στη λογική. Ας πάρουμε δύο αγαπημένα μοντέλα της πρωτοβάθμιας θεωρίας του απειροστικού. Το συνηθισμένο με τα όλα του, χωρίς το αξίωμα της πληρότητας - δεν περιγράφεται σε πρωτοβάθμια γλώσσα - και το μη συμβατικό μοντέλο των πραγματικών παρέα με τα απειροστά - hyperreals, όπως τους λένε. Αυτά έχουν ακριβώς την ίδια θεωρία, δηλαδή, ότι αποδεικνύεται στο ένα, αποδεικνύεται και στο άλλο και αντίστροφα. Επομένως, αν πάρουμε το Θ.Μ.Ε.Τ., που θέλει αξίωμα πληρότητας, αφού δεν ισχύει στο , δε θα ισχύει ούτε στο . Ωστόσο, μπορούμε να αποδείξουμε - αρκετά εύκολα, αν έχουμε συνηθίσει τη μη συμβατική ανάλυση - ότι ισχύει το εξής:

Αν συνεχής με διάστημα του , τότε η παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή.

Μα, αυτό δεν είναι το Θ.Μ.Ε.Τ., θα πεις κανείς; Όχι, είναι η απάντηση. Το Θ.Μ.Ε.Τ. στο θα έπρεπε να μιλάει για συναρτήσεις του και όχι αποκλειστικά πραγματικές συναρτήσεις.

Επομένως, η απόδειξη, ως έννοια, στη λογική, είναι ανεξάρτητη του μοντέλου στο οποίο δρούμε κάθε στιγμή.

Αυτή η μετάβαση που κάναμε στο μη συμβατικό μοντέλο για να αποδείξουμε κάτι που ισχύει στο συμβατικό (μόνο), χωρίς αξίωμα πληρότητας, είναι και ο λόγος που ο Leibniz κατάφερε και δόμησε μια θεωρία πάνω στα απειροστά η οποία να είναι τόσο κοντά στους ορισμούς του Weierstrass ως προς την αλήθεια της.

Πίσω στην αρχική ερώτηση, δε «συμφωνούμε» ότι τα αξιώματα του απειροστικού εκφράζονται σε κάποιου είδους λογική, απλώς χρησιμοποιούμε άλλα μέσα, σε κάθε περίσταση, για να μιλήσουμε για το ίδιο αντικείμενο. Ως συνέπεια αυτού, κάτι κερδίζουμε και κάτι χάνουμε.

[stranger]

Έχουμε τον απειροστικό, όπως εμείς τον μελετάμε τόσους αιώνες, λέγοντας «για κάθε μη κενό και άνω φραγμένο σύνολο...», «υπάρχει μη κενό σύνολο Lebesgue μετρήσιμο και όχι Borel» και άλλα πολλά που έχουν να κάνουν με ποσόδειξη σε σύνολα. Τίποτα δεν μας εμποδίζει σε αυτό. Μπορούμε να το λέμε και να κάνουμε κανονικά τις αποδείξεις μας, ανεξάρτητα από το αν υπάρχει ή όχι ο τομέας των μαθηματικών που λέγεται λογική.

Με όλο το σεβασμό, δεν συμφωνω μαζί σας. Κατά τη γνώμη μου, όλες οι αποδείξεις(και μάλιστα τόσο σοβαρών προτάσεων όπως το αξίωμα της πληρότητας) πρέπει να βασίζονται στη θεμελίωση των μαθηματικών μέσω της θεωρίας συνόλων και της λογικής.
Δηλαδή να υπάρχει ένα αξιωματικό σύστημα που να αποδεικνύει όλα τα γνωστά σύγχρονα μαθηματικά, χωρίς να παρεκλείνουμε από αυτό.
Αυτή είναι η άποψή μου και έτσι βλέπω εγώ τα μαθηματικά.

[Μάρκος Βασίλης]

Έχουμε τον απειροστικό, όπως εμείς τον μελετάμε τόσους αιώνες, λέγοντας «για κάθε μη κενό και άνω φραγμένο σύνολο...», «υπάρχει μη κενό σύνολο Lebesgue μετρήσιμο και όχι Borel» και άλλα πολλά που έχουν να κάνουν με ποσόδειξη σε σύνολα. Τίποτα δεν μας εμποδίζει σε αυτό. Μπορούμε να το λέμε και να κάνουμε κανονικά τις αποδείξεις μας, ανεξάρτητα από το αν υπάρχει ή όχι ο τομέας των μαθηματικών που λέγεται λογική.

Με όλο το σεβασμό, δεν συμφωνω μαζί σας. Κατά τη γνώμη μου, όλες οι αποδείξεις(και μάλιστα τόσο σοβαρών προτάσεων όπως το αξίωμα της πληρότητας) πρέπει να βασίζονται στη θεμελίωση των μαθηματικών μέσω της θεωρίας συνόλων και της λογικής.
Δηλαδή να υπάρχει ένα αξιωματικό σύστημα που να αποδεικνύει όλα τα γνωστά σύγχρονα μαθηματικά, χωρίς να παρεκλείνουμε από αυτό.
Αυτή είναι η άποψή μου και έτσι βλέπω εγώ τα μαθηματικά.

Νομίζω ότι δεν είναι σαφώς καθορισμένο - ή, τουλάχιστον, δεν έχω εγώ ακόμα σαφή εικόνα - του τι εννοείτε ως «αξιωματικό σύστημα».

Έτσι όπως το εκλαμβάνω προσωπικά, αξιωματικό σύστημα είναι ένα σύνολο προτάσεων (τύπων, εν γένει, στη γλώσσα της λογικής) που δεχόμαστε αναπόδεικτα. Μετά, κατ' εμέ, ο καθένας μπορεί να βάλει - εύλογες ή μη - υποθέσεις (π.χ. συνέπεια, ανεξαρτησία κ.λπ.).

Η λογική δεν είναι, με αυτό το σκεπτικό, δεν είναι ένα «αξιωματικό σύστημα», αλλά ο κλάδος των μαθηματικών που μελετά τον τρόπο που δρα κανείς μέσα στα μαθηματικά. Πώς αποδεικνύουμε; Τι ιδιότητες έχει ο τρόπος που αποδεικνύουμε; Τι πάει να πει «μαθηματική έκφραση»;

Το ότι δεν μπορούμε να φτιάξουμε πλήρεις και «αρκετά πλούσιες» θεωρίες το ξέρουμε - θεωρήματα μη πληρότητας του Goedel. Λίγη αριθμητική να έχει το σύστημά μας και δεν είναι πλήρες - υπάρχουν προτάσεις που μένουν αναπόδεικτες.

[stranger]

Νομίζω ότι δεν είναι σαφώς καθορισμένο - ή, τουλάχιστον, δεν έχω εγώ ακόμα σαφή εικόνα - του τι εννοείτε ως «αξιωματικό σύστημα».

Έτσι όπως το εκλαμβάνω προσωπικά, αξιωματικό σύστημα είναι ένα σύνολο προτάσεων (τύπων, εν γένει, στη γλώσσα της λογικής) που δεχόμαστε αναπόδεικτα. Μετά, κατ' εμέ, ο καθένας μπορεί να βάλει - εύλογες ή μη - υποθέσεις (π.χ. συνέπεια, ανεξαρτησία κ.λπ.).

Αυτό που εννοώ ως αξιωματικό σύστημα είναι τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων βασισμένα στη λογική.Δηλαδή, πρώτα ξεκινάμε με τη λογική θεμελίωση των μαθηματικών και διατυπώνουμε τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων να είναι αυστηρά γραμμένα στη λογική που έχουμε ορίσει και μετά συνεχίζουμε και αποδεικνύουμε όλα τα σύγχρονα μαθηματικά. Βέβαια τα σύγχρονα μαθηματικά ποτέ δεν γράφονται αυστηρά στη γλώσσα της λογικής,αλλά αυτό είναι εντάξει αφού ξέρουμε ότι μπορούν να θεμελιωθούν αυστηρά.

Σαφώς μετά θα πρέπει να μελετήσουμε με τη λογική έννοιες όπως συνέπεια η πληρότητα αξιωματικών συστημάτων αλλά αυτή η μελέτη ανοίκει στα μεταμαθηματικά δηλαδή δεν είναι θεωρήματα της ZFC,αλλά είναι έξω από το αξιωματικό σύστημα.Ανήκουν δηλαδή σε άλλο επέπεδο σε σχέση με την αξιωματική θεωρία.
Βέβαια υπάρχουν μαθηματικά που δεν θεμελιώνονται στη ZFC όπως η ευκλείδια γεωμετρία που έχει δικό της αξιωματικό σύστημα, αλλά αυτό μπορώ να το δεχτώ.Επίσης υπάρχει αξιωματικό σύστημα που δέχεται την αρχή της αντιθεμελίωσης(δηλαδή δεν ισχύει το axiom of foundation). Αυτό που δεν μπορώ να δεχτώ είναι για παράδειγμα το αξίωμα πληρότητας των πραγματικών αριθμών που δεν μπορεί να εκφραστεί σε λογική πρώτου βαθμού.
Κατά τη γνώμη μου τέτοιες προτάσεις είναι θεμελιώδεις στα μαθηματικά και πρέπει να βγαίνουν από την αξιωματική θεωρία.
Ελπίζω να είμαι σαφής στην άποψή μου.

[Μάρκος Βασίλης]

Νομίζω ότι δεν είναι σαφώς καθορισμένο - ή, τουλάχιστον, δεν έχω εγώ ακόμα σαφή εικόνα - του τι εννοείτε ως «αξιωματικό σύστημα».

Έτσι όπως το εκλαμβάνω προσωπικά, αξιωματικό σύστημα είναι ένα σύνολο προτάσεων (τύπων, εν γένει, στη γλώσσα της λογικής) που δεχόμαστε αναπόδεικτα. Μετά, κατ' εμέ, ο καθένας μπορεί να βάλει - εύλογες ή μη - υποθέσεις (π.χ. συνέπεια, ανεξαρτησία κ.λπ.).

Αυτό που εννοώ ως αξιωματικό σύστημα είναι τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων βασισμένα στη λογική.Δηλαδή, πρώτα ξεκινάμε με τη λογική θεμελίωση των μαθηματικών και διατυπώνουμε τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων να είναι αυστηρά γραμμένα στη λογική που έχουμε ορίσει και μετά συνεχίζουμε και αποδεικνύουμε όλα τα σύγχρονα μαθηματικά. Βέβαια τα σύγχρονα μαθηματικά ποτέ δεν γράφονται αυστηρά στη γλώσσα της λογικής,αλλά αυτό είναι εντάξει αφού ξέρουμε ότι μπορούν να θεμελιωθούν αυστηρά.

Σαφώς μετά θα πρέπει να μελετήσουμε με τη λογική έννοιες όπως συνέπεια η πληρότητα αξιωματικών συστημάτων αλλά αυτή η μελέτη ανοίκει στα μεταμαθηματικά δηλαδή δεν είναι θεωρήματα της ZFC,αλλά είναι έξω από το αξιωματικό σύστημα.Ανήκουν δηλαδή σε άλλο επέπεδο σε σχέση με την αξιωματική θεωρία.
Βέβαια υπάρχουν μαθηματικά που δεν θεμελιώνονται στη ZFC όπως η ευκλείδια γεωμετρία που έχει δικό της αξιωματικό σύστημα, αλλά αυτό μπορώ να το δεχτώ.Επίσης υπάρχει αξιωματικό σύστημα που δέχεται την αρχή της αντιθεμελίωσης(δηλαδή δεν ισχύει το axiom of foundation). Αυτό που δεν μπορώ να δεχτώ είναι για παράδειγμα το αξίωμα πληρότητας των πραγματικών αριθμών που δεν μπορεί να εκφραστεί σε λογική πρώτου βαθμού.
Κατά τη γνώμη μου τέτοιες προτάσεις είναι θεμελιώδεις στα μαθηματικά και πρέπει να βγαίνουν από την αξιωματική θεωρία.
Ελπίζω να είμαι σαφής στην άποψή μου.

Νομίζω ότι έχει καλυφθεί αυτό από τα παραπάνω. Το αξίωμα της πληρότητας είναι μη εκφράσιμο στην πρωτοβάθμια λογική, οπότε απλά το δεχόμαστε αυτό. Θα επιμείνω, επίσης, στο ότι ο όρος «όλα τα μαθηματικά» είναι πάρα πολύ ασαφής. Δηλαδή, στη μία παράγραφο θέλετε «όλα τα μαθηματικά» να έχουν ένα κοινό (;) αξιωματικό σύστημα αλλά στην επόμενη δε μας πειράζει το να βγάλουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρία έξω από αυτή τη δουλειά.

Άλλωστε, στη ZFC υπάρχουν μη-αποφασίσιμες προτάσεις, οπότε όλη αυτή η συζήτηση/επιθυμία ίσως γίνεται επί ματαίω, αν ο στόχος είναι «να τα αποδείξουμε όλα».

[stranger]

Άλλωστε, στη ZFC υπάρχουν μη-αποφασίσιμες προτάσεις, οπότε όλη αυτή η συζήτηση/επιθυμία ίσως γίνεται επί ματαίω, αν ο στόχος είναι «να τα αποδείξουμε όλα».

Όταν λέω ότι πρέπει να αποδείξουμε όλα τα σύγχρονα μαθηματικά, δεν εννοώ να αποδείξουμε κάθε πρόταση που μπορεί να εκφραστεί.
Εννοώ ότι όλα όσα έχουν αποδειχτεί ήδη στα σύγχρονα μαθηματικά να αποδεικνύονται από ένα κοινό αξιωματικό σύστημα.
Σαφώς και θα υπάρχουν προτάσεις που θα είναι μη αποφασίσιμες και δεν θα μπορούμε να τις αποδείξουμε.

Δηλαδή, στη μία παράγραφο θέλετε «όλα τα μαθηματικά» να έχουν ένα κοινό (;) αξιωματικό σύστημα αλλά στην επόμενη δε μας πειράζει το να βγάλουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρία έξω από αυτή τη δουλειά.

Όταν συζητάμε για τη θεμελίωση των μαθηματικών αυτή η συζήτηση είναι περισσότερο φιλοσοφικού χαρακτήρα και όχι τόσο μαθηματικού.
Οπότε ο καθένας μπορεί να έχει την άποψή του πάνω στη θεμελίωση.
Η άποψή μου είναι ότι το αξίωμα της πληρότητας είναι θεμελιώδες στα μαθηματικά, άρα κατα τη γνώμη μου πρέπει να υπάρχει ένα κοινό αξιωματικό σύστημα που να το αποδεικνύει.
Κατά τη γνώμη μου η ευκλείδια γεωμετρία δεν ανήκει στα σύγχρονα μαθηματικά γιαυτό και είπα ότι δεν με πειράζει που έχει δικό της αξιωματικό σύστημα.
Ο καθένας μπορεί να έχει την άποψή του πάνω στη θεμελίωση.

[Μάρκος Βασίλης]

Όταν συζητάμε για τη θεμελίωση των μαθηματικών αυτή η συζήτηση είναι περισσότερο φιλοσοφικού χαρακτήρα και όχι τόσο μαθηματικού.
Οπότε ο καθένας μπορεί να έχει την άποψή του πάνω στη θεμελίωση.
Η άποψή μου είναι ότι το αξίωμα της πληρότητας είναι θεμελιώδες στα μαθηματικά, άρα κατα τη γνώμη μου πρέπει να υπάρχει ένα κοινό αξιωματικό σύστημα που να το αποδεικνύει.
Κατά τη γνώμη μου η ευκλείδια γεωμετρία δεν ανήκει στα σύγχρονα μαθηματικά γιαυτό και είπα ότι δεν με πειράζει που έχει δικό της αξιωματικό σύστημα.
Ο καθένας μπορεί να έχει την άποψή του πάνω στη θεμελίωση.

Η θεμελίωση δεν είναι θέμα υποκειμενισμού, νομίζω. Είναι, σαφώς, προϊόν διαλόγου, αλλά όχι άποψη του καθενός. Δεν μπορώ να βγω εγώ ή ο όποιος άλλος και να πω ότι τα μαθηματικά είναι «αυτά» και «αυτά» και όχι τα «άλλα». Επίσης, όλο αυτό που περιγράφετε - να θεμελιώσουμε πρώτα την λογική και μετά τη θεωρία συνόλων κ.λπ., δεν ξέρω πόσο διαφορετικό είναι από το πρόγραμμα του Hilbert.

[stranger]

Σαφώς και πρέπει να είναι προιόν διαλόγου. Γιαυτό το λόγο συζητάμε κιολας και δεν λέμε "εγώ πιστεύω αυτό και τελείωσε".
Αυτό που ήθελα να πω είναι ότι υπάρχει το στοιχείο του υποκειμενισμού στη θεμελίωση των μαθηματικών, πράγμα που δεν ισχύει στους άλλους κλάδους των μαθηματικών.
Πρέπει να υπάρχει και κάποια είδους συμφωνία στους μαθηματικούς όσον αφορά την θεμελίωση.
Δηλαδή κάτι να επικρατήσει στη γνώμη των μαθηματικών.
Παρόλαυτα έχω μια άποψη πάνω σε αυτό το θέμα.Μπορεί στο μέλλον όταν θα έχω μελετήσει περιοσσότερα βιβλία να αλλάξω άποψη.

[Μάρκος Βασίλης]

Σαφώς και πρέπει να είναι προιόν διαλόγου. Γιαυτό το λόγο συζητάμε κιολας και δεν λέμε "εγώ πιστεύω αυτό και τελείωσε".
Αυτό που ήθελα να πω είναι ότι υπάρχει το στοιχείο του υποκειμενισμού στη θεμελίωση των μαθηματικών, πράγμα που δεν ισχύει στους άλλους κλάδους των μαθηματικών.
Πρέπει να υπάρχει και κάποια είδους συμφωνία στους μαθηματικούς όσον αφορά την θεμελίωση.
Δηλαδή κάτι να επικρατήσει στη γνώμη των μαθηματικών.
Παρόλαυτα έχω μια άποψη πάνω σε αυτό το θέμα.Μπορεί στο μέλλον όταν θα έχω μελετήσει περιοσσότερα βιβλία να αλλάξω άποψη.

Νομίζω ότι, δεδομένου ότι η ZFC είναι μία αρκετά εκφραστική πρωτοβάθμια γλώσσα, πάνω στην οποία κάνουμε σχεδόν όλα τα μαθηματικά, είμαστε αρκετά «καλά». Επιπρόσθετα, πώς να έχουμε συμφωνία των μαθηματικών όταν υπάρχει η εύλογη κονστρουκτιβιστική άποψη για τα μαθηματικά (intuitionism); Κατ' εμέ, είναι μία θέση - η άρνηση της αλήθειας που δεν κατασκευάζεται - που είναι έντονα «αληθινή» για τα μαθηματικά, αλλά αντίθετη με τα έως τώρα συνηθισμένα μαθηματικά - ποιος «αποφεύγει» όπως «ο διάολος το λιβάνι» την απαγωγή σε άτοπο, άλλωστε;

[stranger]

Έχω άλλη μια ερώτηση. Ο Hilbert στο περίφημο συνέδριο του 1900,ζήτησε να αποδειχτεί η συνέπεια των μαθηματικών.
Ο Godel απάντησε αυτό το ερώτημα αρνητικά,δηλαδή για παράδειγμα ότι η δεν αποδεικνύει την πρόταση αν η είναι συνεπής.
Η ερώτηση μου είναι η εξής:
Ακόμα και αν η αποδείκνυε την πρόταση πάλι δεν θα ξέραμε ότι η είναι συνεπής. Αυτό γιατί θα υπήρχε η περίπτωση η να είναι ασυνεπής και να αποδεικνύει την πρόταση , αφού ένα μη συνεπές αξιωματικό σύστημα αποδεικνύει κάθε πρόταση.
Οπότε τι νόημα θα είχε να αποδειχτεί η πρόταση ;