Μια φιλοσοφική συζήτηση περί των Μαθηματικών

[stranger]

Αν βάζουμε έναν παράγοντα «υποκειμενικότητας» στον τρόπο που δουλεύει ο ανθρώπινος εγκέφαλος δε βλέπω γιατί πρέπει να τον αγνοήσουμε όταν μιλάμε για τα μαθηματικά. Παραμένουν υποκειμενικές ερμηνείες του ανθρώπου για τον κόσμο, άλλωστε, που τον περιγράφουν, προς το παρόν, εντυπωσιακά καλά. Αλλά, ποιος μας λέει ότι είναι αλήθειες πέρα από τη βαθύτερη επιθυμία μας να το πιστέψουμε;

Νομίζω πως κάνεις λάθος. Δηλαδή αν ένας πιο ευφιής οργανισμός από τον άνθρωπο έχει ανακαλύψει πολλά περισσότερα μαθηματικά από τον άνθρωπο τι θα πούμε ότι τα μαθηματικά αυτά δεν υπάρχουν επειδή δεν τα έχει ανακαλύψει ακόμα ο άνθρωπος;
Με την ίδια λογική μια γάτα δεν μπορεί να κάνει μαθηματικά. Αυτό τι σημαίνει ότι τα μαθηματικά αυτά δεν υπάρχουν;

[bouzoukman]

Νομίζω πως κάνεις λάθος. Δηλαδή αν ένας πιο ευφιής οργανισμός από τον άνθρωπο έχει ανακαλύψει πολλά περισσότερα μαθηματικά από τον άνθρωπο τι θα πούμε ότι τα μαθηματικά αυτά δεν υπάρχουν επειδή δεν τα έχει ανακαλύψει ακόμα ο άνθρωπος;
Με την ίδια λογική μια γάτα δεν μπορεί να κάνει μαθηματικά. Αυτό τι σημαίνει ότι τα μαθηματικά αυτά δεν υπάρχουν;

'

Εγώ συμφωνώ απόλυτα. Παρόλα αυτά υπάρχουν πολλοί που πιστεύουν ότι τα μαθηματικά είναι όπως όλα τα άλλα δημιουργήματα του εγκεφάλου μας και στην πραγματικότητα δεν υπάρχουν (ή τουλάχιστον δεν ξέρουμε σίγουρα ότι υπάρχουν). Είναι ένα κατασκεύασμα που μας βοηθάει να μοντελοποιήσουμε τον κόσμο γύρω μας ώστε να μπορέσουμε να τον εξηγήσουμε.


ΥΓ: Πάντως τέτοιες συζητήσεις δύσκολα γίνονται μέσω ενός φόρουμ και χρειάζονται απαραίτητα κρασάκι και μεζέ....

[Μάρκος Βασίλης]

Νομίζω πως κάνεις λάθος. Δηλαδή αν ένας πιο ευφιής οργανισμός από τον άνθρωπο έχει ανακαλύψει πολλά περισσότερα μαθηματικά από τον άνθρωπο τι θα πούμε ότι τα μαθηματικά αυτά δεν υπάρχουν επειδή δεν τα έχει ανακαλύψει ακόμα ο άνθρωπος;
Με την ίδια λογική μια γάτα δεν μπορεί να κάνει μαθηματικά. Αυτό τι σημαίνει ότι τα μαθηματικά αυτά δεν υπάρχουν;

Μα αυτή τη στιγμή επιχειρηματολογείς όχι ξεκινώντας από μία «λευκή κόλλα» αλλά θεωρώντας a priori ότι τα μαθηματικά προϋπάρχουν και ότι «ανακαλύπτονται» και με βάση αυτό ότι δε γίνεται να μην υπάρχουν. Προφανώς, αν εντάξουμε το συμπέρασμα - σε μία ισοδύναμη μορφή του - που θέλουμε στις υποθέσεις μας, θα το συναγάγουμε κι αυτό σε κάποια φάση.

Η ένστασή μου εμένα έγκειται στο γιατί να ωθηθούμε να πιστέψουμε στην ύπαρξη των μαθηματικών έξω από τον κόσμο της αντίληψής μας. Τα μαθηματικά που αυτές οι υποθετικές οντότητες μπορεί να έχουν «ανακαλύψει» μπορούν κάλλιστα να προέρχονται από ενδελεχέστερη παρατήρηση του φυσικού κόσμου, χωρίς αυτό να σημαίνει ότι προϋπήρχαν σε κάποιον άλλο κόσμο - π.χ. των ιδεών - μέχρι να τα παρατηρήσουμε. Όσο όμως δεν «βλέπουμε» κάτι, υπάρχει πραγματικά;

Η γνώση, όπως, για παράδειγμα, η γνώση μίας γλώσσας, έχει έναν «οριακό» χαρακτήρα, υπό την έννοια ότι, για το παράδειγμα των γλωσσών, δεν τις μαθαίνουμε ποτέ εξ ολοκλήρου. Ως εκ τούτου, πώς μπορούμε να είμαστε βέβαιοι - και ποιον λόγο έχουμε να είμαστε; - ότι υπάρχουν πράγματα που δεν αποτελούν μέρος της αντίληψής μας; Ο ανθρώπινος υποκειμενισμός μπορεί να δημιουργεί τα μαθηματικά ως απόρροια της τάσης που έχουμε να γενικεύουμε επαναλαμβανόμενα μοτίβα - που είναι μία από τις κατεξοχήν χρήσιμες διεργασίες για την μάθηση.

[bouzoukman]

Μα αυτή τη στιγμή επιχειρηματολογείς όχι ξεκινώντας από μία «λευκή κόλλα» αλλά θεωρώντας a priori ότι τα μαθηματικά προϋπάρχουν και ότι «ανακαλύπτονται» και με βάση αυτό ότι δε γίνεται να μην υπάρχουν. Προφανώς, αν εντάξουμε το συμπέρασμα - σε μία ισοδύναμη μορφή του - που θέλουμε στις υποθέσεις μας, θα το συναγάγουμε κι αυτό σε κάποια φάση.

Η ένστασή μου εμένα έγκειται στο γιατί να ωθηθούμε να πιστέψουμε στην ύπαρξη των μαθηματικών έξω από τον κόσμο της αντίληψής μας. Τα μαθηματικά που αυτές οι υποθετικές οντότητες μπορεί να έχουν «ανακαλύψει» μπορούν κάλλιστα να προέρχονται από ενδελεχέστερη παρατήρηση του φυσικού κόσμου, χωρίς αυτό να σημαίνει ότι προϋπήρχαν σε κάποιον άλλο κόσμο - π.χ. των ιδεών - μέχρι να τα παρατηρήσουμε. Όσο όμως δεν «βλέπουμε» κάτι, υπάρχει πραγματικά;

Η γνώση, όπως, για παράδειγμα, η γνώση μίας γλώσσας, έχει έναν «οριακό» χαρακτήρα, υπό την έννοια ότι, για το παράδειγμα των γλωσσών, δεν τις μαθαίνουμε ποτέ εξ ολοκλήρου. Ως εκ τούτου, πώς μπορούμε να είμαστε βέβαιοι - και ποιον λόγο έχουμε να είμαστε; - ότι υπάρχουν πράγματα που δεν αποτελούν μέρος της αντίληψής μας; Ο ανθρώπινος υποκειμενισμός μπορεί να δημιουργεί τα μαθηματικά ως απόρροια της τάσης που έχουμε να γενικεύουμε επαναλαμβανόμενα μοτίβα - που είναι μία από τις κατεξοχήν χρήσιμες διεργασίες για την μάθηση.

Δεν υπάρχει σωστό ή λάθος! Είναι καθαρά πως το βλέπει ο καθένας. Για μένα από τι στιγμή που κάποιος αρχίζει να παρατηρεί είναι αναπόφευκτο να μην αρχίζει να μετράει άρα η έννοια των φυσικών αριθμών μου φαίνεται καθολική. Κι άμα αρχίζεις να μετράς και να σκέφτεσαι μαθηματικά όλα τα υπόλοιπα είναι θέμα χρόνου. Μπορεί να καταλήξεις σε άλλα μαθηματικά από αυτά που χρησιμοποιούμε εμείς, επειδή σε βολεύουν περισσότερο στον κόσμο που είσαι, αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι τα 'δικά' μας μαθηματικά είναι λάθος ή το ανάποδο. Γι'αυτό πιστεύω ότι οι μαθηματικές έννοιες έχουν κάτι που δεν εξαρτάται από τον κόσμος μας και πως εμείς τον βλέπουμε, οπότε υπάρχουν σε αυτό που λέμε τις τελευταίες μέρες εδώ 'χώρο των ιδεών'. Μπορεί αυτός ο τρόπος σκέψεις να μοιάζει με αυτό των θρησκειών αλλά εγώ τον βρίσκω πιο 'ρομαντικό' και μου ταιριάζει περισσότερο στην ιδιοσυγκρασία μου.

[stranger]

Μα αυτή τη στιγμή επιχειρηματολογείς όχι ξεκινώντας από μία «λευκή κόλλα» αλλά θεωρώντας a priori ότι τα μαθηματικά προϋπάρχουν και ότι «ανακαλύπτονται» και με βάση αυτό ότι δε γίνεται να μην υπάρχουν. Προφανώς, αν εντάξουμε το συμπέρασμα - σε μία ισοδύναμη μορφή του - που θέλουμε στις υποθέσεις μας, θα το συναγάγουμε κι αυτό σε κάποια φάση.

Η ένστασή μου εμένα έγκειται στο γιατί να ωθηθούμε να πιστέψουμε στην ύπαρξη των μαθηματικών έξω από τον κόσμο της αντίληψής μας. Τα μαθηματικά που αυτές οι υποθετικές οντότητες μπορεί να έχουν «ανακαλύψει» μπορούν κάλλιστα να προέρχονται από ενδελεχέστερη παρατήρηση του φυσικού κόσμου, χωρίς αυτό να σημαίνει ότι προϋπήρχαν σε κάποιον άλλο κόσμο - π.χ. των ιδεών - μέχρι να τα παρατηρήσουμε. Όσο όμως δεν «βλέπουμε» κάτι, υπάρχει πραγματικά;

Η γνώση, όπως, για παράδειγμα, η γνώση μίας γλώσσας, έχει έναν «οριακό» χαρακτήρα, υπό την έννοια ότι, για το παράδειγμα των γλωσσών, δεν τις μαθαίνουμε ποτέ εξ ολοκλήρου. Ως εκ τούτου, πώς μπορούμε να είμαστε βέβαιοι - και ποιον λόγο έχουμε να είμαστε; - ότι υπάρχουν πράγματα που δεν αποτελούν μέρος της αντίληψής μας; Ο ανθρώπινος υποκειμενισμός μπορεί να δημιουργεί τα μαθηματικά ως απόρροια της τάσης που έχουμε να γενικεύουμε επαναλαμβανόμενα μοτίβα - που είναι μία από τις κατεξοχήν χρήσιμες διεργασίες για την μάθηση.

Ένα χαρακτηριστικό που έχουνε τα μαθηματικά λόγω της αυστηρότητας τους, είναι ότι όλοι σχεδόν οι μαθηματικοί συμφωνούν σχεδόν σε όλα.
Αυτό είναι ένα χαρακτηριστικό που δείχνει ότι είναι αληθινά τα μαθηματικά.
Στην φυσική για παράδειγμα μπορεί να είναι σε πιο άμμεση επαφή με τον πραγματικό κόσμο όμως σχεδόν όλοι οι φυσικοί διαφωνούνε.
Βάσει αυτού θέλω να πω ότι τα μαθηματικά βρίσκονται πιο κοντά στην αλήθεια από οτιδήποτε άλλο στον κόσμο της υποκειμενικότητας.

[Μάρκος Βασίλης]

Ένα χαρακτηριστικό που έχουνε τα μαθηματικά λόγω της αυστηρότητας τους, είναι ότι όλοι σχεδόν οι μαθηματικοί συμφωνούν σχεδόν σε όλα.
Αυτό είναι ένα χαρακτηριστικό που δείχνει ότι είναι αληθινά τα μαθηματικά.
Στην φυσική για παράδειγμα μπορεί να είναι σε πιο άμμεση επαφή με τον πραγματικό κόσμο όμως σχεδόν όλοι οι φυσικοί διαφωνούνε.
Βάσει αυτού θέλω να πω ότι τα μαθηματικά βρίσκονται πιο κοντά στην αλήθεια από οτιδήποτε άλλο στον κόσμο της υποκειμενικότητας.

Να, αλλά τα μαθηματικά δεν περιγράφουν «πραγματικότητες» αλλά συμπερασμό με βάσει υποθέσεις. Δεδομένων κάποιων αξιωμάτων προχωρούμε και χτίζουμε όλα τα υπόλοιπα. Το ότι συμφωνούμε στο ότι ο συμπερασμός μας είναι σωστός δε μας εγγυάται την αλήθεια των προκείμενων αλλά ότι διατηρείται η αλήθεια τους και ότι τα συμπεράσματά μας είναι αληθή modulo την αλήθεια των προκείμενων.

Εκεί ακριβώς εγείρεται και η ένστασή μου στο να δεχτούμε ότι τα μαθηματικά είναι «αληθινά» - με την έννοια ότι υπάρχουν σε/περιγράφουν έναν κόσμο που είναι αληθινός καίτοι απρόσιτος από την ανθρώπινη αντίληψη. Το ό,τι τα αξιώματά μας έχουν απλές και διαισθητικά προφανείς διατυπώσεις επίσης δε θεωρώ ότι συνηγορεί σε κάτι τέτοιο, δεδομένου ότι δίνουν αποτελέσματα κόντρα στη διαίσθηση. Για παράδειγμα, το αθώο αξίωμα της επιλογής μας επιτρέπει να αποδείξουμε το θεώρημα Banach-Tarski το οποίο είναι «παραδοξολογικό» σε σχέση με την αντίληψή μας για τον κόσμο γύρω μας.

Επομένως, ναι, η σύγκλιση απόψεων στους μαθηματικούς κύκλους είναι/φαίνεται μεγαλύτερη - δεν έχω στοιχεία να το υποστηρίξω αυτό, ούτε και να το καταρρίψω όμως - αλλά αυτό δε σημαίνει ότι είναι πιο κοντά στην αλήθεια. Άλλωστε, και για τη σταθερά του Legendre πίστευε για χρόνια η μαθηματική κοινότητα ότι... δεν είναι 1.

Δεν υπάρχει σωστό ή λάθος! Είναι καθαρά πως το βλέπει ο καθένας. Για μένα από τι στιγμή που κάποιος αρχίζει να παρατηρεί είναι αναπόφευκτο να μην αρχίζει να μετράει άρα η έννοια των φυσικών αριθμών μου φαίνεται καθολική. Κι άμα αρχίζεις να μετράς και να σκέφτεσαι μαθηματικά όλα τα υπόλοιπα είναι θέμα χρόνου. Μπορεί να καταλήξεις σε άλλα μαθηματικά από αυτά που χρησιμοποιούμε εμείς, επειδή σε βολεύουν περισσότερο στον κόσμο που είσαι, αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι τα 'δικά' μας μαθηματικά είναι λάθος ή το ανάποδο. Γι'αυτό πιστεύω ότι οι μαθηματικές έννοιες έχουν κάτι που δεν εξαρτάται από τον κόσμος μας και πως εμείς τον βλέπουμε, οπότε υπάρχουν σε αυτό που λέμε τις τελευταίες μέρες εδώ 'χώρο των ιδεών'. Μπορεί αυτός ο τρόπος σκέψεις να μοιάζει με αυτό των θρησκειών αλλά εγώ τον βρίσκω πιο 'ρομαντικό' και μου ταιριάζει περισσότερο στην ιδιοσυγκρασία μου.

Καλά, προφανώς δεν τίθεται ζήτημα σωστού/λάθους εδώ πέρα, κουβέντα να γίνεται, αυτό είναι το θέμα. Και για να γίνεται κουβέντα καλό είναι να μην «συμφωνούμε» όλοι/ες.

[S.E.Louridas]

Υπάρχει άραγε Αντικειμενική Διαίσθηση (δηλαδή διαίσθηση που να είναι ίδια για όλα τα άτομα); Μήπως για να γίνει κατανοητό μέρος του σύμπαντος ως στοιχείο του συνόλου των απείρων απείρων (απόλυτα βέβαια αποκλείεται κάτι τέτοιο) χρειαζόμαστε ένα εκ των προτέρων "κοσμικό αίσθημα" σύνδεσης με το όλον, που ενδεχομένως να μην το έχουν ανακαλύψει μέσα τους παρά ελάχιστοι;

[george visvikis]

Υπάρχει άραγε Αντικειμενική Διαίσθηση (δηλαδή διαίσθηση που να είναι ίδια για όλα τα άτομα); Μήπως για να γίνει κατανοητό μέρος του σύμπαντος ως στοιχείο του συνόλου των απείρων απείρων (απόλυτα βέβαια αποκλείεται κάτι τέτοιο) χρειαζόμαστε ένα εκ των προτέρων "κοσμικό αίσθημα" σύνδεσης με το όλον, που ενδεχομένως να μην το έχουν ανακαλύψει μέσα τους παρά ελάχιστοι;

Αυτό το "κοσμικό αίσθημα" σύνδεσης με το όλον, που πολύ ωραία γράφεις Σωτήρη, πιστεύω ότι υπάρχει εν δυνάμει σε όλους μας. Θα δώσω μία συμβολική εξήγηση, όπως εγώ την αντιλαμβάνομαι με βάση την Καινή Διαθήκη (για όσους πιστεύουν ότι υπάρχει κάτι πέρα από αυτά που υποπίπτουν στις πέντε αισθήσεις μας). Είναι ο θεϊκός σπινθήρας που υπάρχει στον βαθύτερο εαυτό μας και περιμένει στωικά να αφυπνιστεί, πράγμα που δεν είναι καθόλου σίγουρο. Το θείο βρέφος γεννιέται και είναι στο χέρι μας να το αφήσουμε να μεγαλώσει ή να το πνίξουμε. Δύο μεγάλες Δυνάμεις παλεύουν μέσα μας. Ο Πνευματικός και ο Υλικός κόσμος (ή χρησιμοποιώντας την αλληγορία από τους άθλους του Ηρακλή, ο δρόμος της Αρετής και της Κακίας). Το Πνευματικό κομμάτι του εαυτού μας (ο Ιωάννης ο Πρόδρομος) μαρτυράει τη θεία γέννηση, δείχνει την Οδό της Αρετής και αποσύρεται. Από την άλλη μεριά το Υλικό κομμάτι μας (ο Ηρώδης) και όλα όσα αντιπροσωπεύει, αντιλαμβάνεται ότι μόνο ένας από τους δύο μπορεί να επιβιώσει και επιδιώκει να σκοτώσει το θείο βρέφος. Η Μάχη αυτή, που διεξάγεται σε πολλαπλά επίπεδα, είναι αιώνια. Πότε νικάει ο ένας και πότε ο άλλος. Χρέος μας είναι να μην αφήσουμε τον Ηρώδη να ισοπεδώσει τις αξίες μας. Άλλος δρόμος δεν υπάρχει.

Ζητώ συγνώμη, γιατί ξέφυγα απ' το θέμα.

[stranger]

Αυτό το "κοσμικό αίσθημα" σύνδεσης με το όλον, που πολύ ωραία γράφεις Σωτήρη, πιστεύω ότι υπάρχει εν δυνάμει σε όλους μας. Θα δώσω μία συμβολική εξήγηση, όπως εγώ την αντιλαμβάνομαι με βάση την Καινή Διαθήκη (για όσους πιστεύουν ότι υπάρχει κάτι πέρα από αυτά που υποπίπτουν στις πέντε αισθήσεις μας). Είναι ο θεϊκός σπινθήρας που υπάρχει στον βαθύτερο εαυτό μας και περιμένει στωικά να αφυπνιστεί, πράγμα που δεν είναι καθόλου σίγουρο. Το θείο βρέφος γεννιέται και είναι στο χέρι μας να το αφήσουμε να μεγαλώσει ή να το πνίξουμε. Δύο μεγάλες Δυνάμεις παλεύουν μέσα μας. Ο Πνευματικός και ο Υλικός κόσμος (ή χρησιμοποιώντας την αλληγορία από τους άθλους του Ηρακλή, ο δρόμος της Αρετής και της Κακίας). Το Πνευματικό κομμάτι του εαυτού μας (ο Ιωάννης ο Πρόδρομος) μαρτυράει τη θεία γέννηση, δείχνει την Οδό της Αρετής και αποσύρεται. Από την άλλη μεριά το Υλικό κομμάτι μας (ο Ηρώδης) και όλα όσα αντιπροσωπεύει, αντιλαμβάνεται ότι μόνο ένας από τους δύο μπορεί να επιβιώσει και επιδιώκει να σκοτώσει το θείο βρέφος. Η Μάχη αυτή, που διεξάγεται σε πολλαπλά επίπεδα, είναι αιώνια. Πότε νικάει ο ένας και πότε ο άλλος. Χρέος μας είναι να μην αφήσουμε τον Ηρώδη να ισοπεδώσει τις αξίες μας. Άλλος δρόμος δεν υπάρχει.

Ζητώ συγνώμη, γιατί ξέφυγα απ' το θέμα.

Ξεφεύγουμε λίγο από το θέμα, αλλά δεν πειράζει. Εγώ στη ζωή μου προσπαθώ να αποκτήσω αυτή τη σύνδεση με το θείο στοιχείο μέσω του διαλογισμού και της πνευματικότητας. Είναι μια άλλη αλήθεια της ζωής που δεν έχει σχέση με τα μαθηματικά σε ένα επίπεδο.
Σε ένα άλλο επίπεδο ο διαλογισμός οξύνει τη φαντασία, την διαίσθηση και γενικά είναι η ένωση με τον πραγματικό εαυτό που έχει μέσα ο καθένας.
Δηλαδή στη ζωή μου ασχολούμαι με δύο διαφορετικές πραγματικότητες(διαλογισμό και μαθηματικά).
Αναπόφευκτα, το ένα επηρεάζει το άλλο.

[stranger]

Να, αλλά τα μαθηματικά δεν περιγράφουν «πραγματικότητες» αλλά συμπερασμό με βάσει υποθέσεις. Δεδομένων κάποιων αξιωμάτων προχωρούμε και χτίζουμε όλα τα υπόλοιπα. Το ότι συμφωνούμε στο ότι ο συμπερασμός μας είναι σωστός δε μας εγγυάται την αλήθεια των προκείμενων αλλά ότι διατηρείται η αλήθεια τους και ότι τα συμπεράσματά μας είναι αληθή modulo την αλήθεια των προκείμενων.

Εκεί ακριβώς εγείρεται και η ένστασή μου στο να δεχτούμε ότι τα μαθηματικά είναι «αληθινά» - με την έννοια ότι υπάρχουν σε/περιγράφουν έναν κόσμο που είναι αληθινός καίτοι απρόσιτος από την ανθρώπινη αντίληψη. Το ό,τι τα αξιώματά μας έχουν απλές και διαισθητικά προφανείς διατυπώσεις επίσης δε θεωρώ ότι συνηγορεί σε κάτι τέτοιο, δεδομένου ότι δίνουν αποτελέσματα κόντρα στη διαίσθηση. Για παράδειγμα, το αθώο αξίωμα της επιλογής μας επιτρέπει να αποδείξουμε το θεώρημα Banach-Tarski το οποίο είναι «παραδοξολογικό» σε σχέση με την αντίληψή μας για τον κόσμο γύρω μας.

Επομένως, ναι, η σύγκλιση απόψεων στους μαθηματικούς κύκλους είναι/φαίνεται μεγαλύτερη - δεν έχω στοιχεία να το υποστηρίξω αυτό, ούτε και να το καταρρίψω όμως - αλλά αυτό δε σημαίνει ότι είναι πιο κοντά στην αλήθεια. Άλλωστε, και για τη σταθερά του Legendre πίστευε για χρόνια η μαθηματική κοινότητα ότι... δεν είναι 1.

Υπάρχει ο κόσμος της μαθηματικής αληθειας;
Αν ναι, τότε σε αυτόν τον κόσμο δεν υπάρχουν αξιώματα. Υπάρχουν οι άπειρες μαθηματικές αλήθειες που κυβερνούν αυτόν τον κόσμο.
Υπάρχουν δύο εμπόδια στην ανακάλυψη αυτού του κόσμου από τον άνθρωπο.
Το πρώτο είναι ότι επειδή η μαθηματική αλήθεια είναι άπειρη, οι άνθρωποι ποτέ δεν θα φτάσουν στην ανακάλυψη όλης της μαθηματικής αλήθειας.
Δεύτερον, όπως είπα και παραπάνω η μαθηματική αυτή αλήθεια δεν έχει αξιώματα. Είναι απλά οι πρότασεις και η λογική τους σύνδεση.
Τα αξιώματα υπάρχουν επειδή ο άνθρωπος από κάπου να ξεκινήσει για να αποδείξει άλλες μαθηματικές αλήθειες.
Αυτό δείχνει ο μαθηματικός είναι καταδικασμένος να βάζει αξιώματα για να ξεκινήσει από κάπου η επαγωγική διαδικασία.
Τι γίνεται όμως αν δεν δεχτούμε αξιώματα; Χρησιμοποιώντας μόνο την απλή λογική(κοινός νους) μπορούμε να κάνουμε κάτι καλύτερο;
Παράδειγμα:
Πρόταση
Υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι.
Απόδειξη
Αν υπάρχει μεγαλύτερος αριθμός από όλους τότε ο είναι αριθμός μεγαλύτερος του .Άτοπο.

Αυτή η απόδειξη πείθει σχεδόν όλους τους ανθρώπους ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι.
Όμως αυτή η απόδειξη δεν είναι σωστή κατά ZFC, γιατί πρέπει να ορίσουμε πρώτα τι είναι αριθμός κλπ.

Ερώτηση
Μήπως ήρθε η ώρα να αφήσουμε τα πολλά αξιώματα και να χρησιμοποιήσουμε μόνο κοινή λογική στα μαθηματικά;
Ίσως αυτό να βρίσκεται πιο κοντά στη μαθηματική αλήθεια.

[S.E.Louridas]

Επειδή το όλο θέμα ξεκινά από τουλάχιστον έναν ορισμό ή ένα αξίωμα, ακόμα και η ίδια η έννοια «αξίωμα» είναι ας πούμε «αξιωματική» για την καταρχάς ορθότητα, ώστε να κτιστεί το όλο Μαθηματικό οικοδόμημα με βάση την λογική που χωρίς έννοια εκκίνησης είναι νεκρή θα πρέπει να δούμε τι γίνεται στο περιβάλλον πριν τη δημιουργία των αξιωμάτων και των ορισμών, ώστε να οδηγηθούμε σε αυτά. Το περιβάλλον αυτό λειτουργεί χωρίς καμία λογική, αλλά με βάση τον Νου, την Ψυχή, την ενορατική αντίληψη του κόσμου μας που στην συνέχεια επεκτείνεται και στα μη ορατά και τις μεταξύ τους σχέσεις. Αν έστω και ένα ΑΡΧΙΚΟ αξίωμα αλλάξει, υπάρχει το ενδεχόμενο χρησιμοποιώντας την ίδια λογική να αλλάξει εξ αντιθέτου το οικοδόμημα δίνοντας αντίθετο αποτέλεσμα. Για να δουλέψει λοιπόν το σύστημα στο περιβάλλον πριν τη δημιουργία αξιωμάτων θα πρέπει να υπάρχει το εκ των προτέρων κοσμικό αίσθημα που θα «συνηγορήσει», ώστε να ξεκινήσει η διαδικασία για παραγωγή τουλάχιστον ενός αξιώματος δηλαδή της εκκίνησης για παραγωγή γνώσης. Ας μη ξεχνάμε δε ότι τελικά μελετούμε τα συμβολιστικά Μαθηματικά και αυτό λέει πολλά και αν μη τι άλλο λέει ότι πιθανόν να χάνεται κομμάτι ή ίσως να συμπληρώνεται στο όλο εγχείρημα. Μιλάμε για μοντελοποίηση μίας θεωρίας, αλλά ήδη έχουμε θεωρήσει αξιωματικά την έννοια «μοντελοποίηση». Μιλάμε για προτάσεις «αληθείς» ή «ψευδείς», έχοντας όμως τη δικλίδα ασφάλειας ας πούμε, ότι η αλήθεια της συνεπαγωγής είναι δεδομένη ανεξαρτήτως αποτελέσματος , αν η υπόθεση είναι ψευδής. Μήπως αυτό ορίστηκε έτσι αφού δεν είμαστε απόλυτα σίγουροι αν η υπόθεση – αξίωμα είναι αποδεκτή από το συμπαντικό περιβάλλον ως αληθής;

[Μάρκος Βασίλης]

Υπάρχει ο κόσμος της μαθηματικής αληθειας;
Αν ναι, τότε σε αυτόν τον κόσμο δεν υπάρχουν αξιώματα. Υπάρχουν οι άπειρες μαθηματικές αλήθειες που κυβερνούν αυτόν τον κόσμο.

Δε νομίζω ότι, αν υποθέσουμε ότι υπάρχει ο «κόσμος» της μαθηματικής αλήθειας, τότε αυτός δεν περιέχει αξιώματα. Αντιθέτως, κάθε τι που περιέχει αυτός ο κόσμος είναι ένα αξίωμα. Επίσης, ο κόσμος της μαθηματικής αλήθειας - αν αυτός υπάρχει - δε γίνεται να «διέπεται» από τις ίδιες τις «αλήθειες» που περιέχει ως στοιχεία του, ακριβώς όπως οι φυσικοί αριθμοί δεν καθορίζονται από τα στοιχεία που περιέχουν αλλά από τις αρχές που τα διέπουν.

Υπάρχουν δύο εμπόδια στην ανακάλυψη αυτού του κόσμου από τον άνθρωπο.
Το πρώτο είναι ότι επειδή η μαθηματική αλήθεια είναι άπειρη, οι άνθρωποι ποτέ δεν θα φτάσουν στην ανακάλυψη όλης της μαθηματικής αλήθειας.
Δεύτερον, όπως είπα και παραπάνω η μαθηματική αυτή αλήθεια δεν έχει αξιώματα. Είναι απλά οι πρότασεις και η λογική τους σύνδεση.
Τα αξιώματα υπάρχουν επειδή ο άνθρωπος από κάπου να ξεκινήσει για να αποδείξει άλλες μαθηματικές αλήθειες.
Αυτό δείχνει ο μαθηματικός είναι καταδικασμένος να βάζει αξιώματα για να ξεκινήσει από κάπου η επαγωγική διαδικασία.
Τι γίνεται όμως αν δεν δεχτούμε αξιώματα; Χρησιμοποιώντας μόνο την απλή λογική(κοινός νους) μπορούμε να κάνουμε κάτι καλύτερο;
Παράδειγμα:
Πρόταση
Υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι.
Απόδειξη
Αν υπάρχει μεγαλύτερος αριθμός από όλους τότε ο είναι αριθμός μεγαλύτερος του .Άτοπο.

Αυτή η απόδειξη πείθει σχεδόν όλους τους ανθρώπους ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι.
Όμως αυτή η απόδειξη δεν είναι σωστή κατά ZFC, γιατί πρέπει να ορίσουμε πρώτα τι είναι αριθμός κλπ.

Ερώτηση
Μήπως ήρθε η ώρα να αφήσουμε τα πολλά αξιώματα και να χρησιμοποιήσουμε μόνο κοινή λογική στα μαθηματικά;
Ίσως αυτό να βρίσκεται πιο κοντά στη μαθηματική αλήθεια.

Νομίζω ότι το επιχείρημα αυτό χωλαίνει σε δύο σημεία ισχυρά:

1. Δεν υπάρχει καλώς ορισμένος κοινός νους.

2. Το παράδειγμα με τους φυσικούς αριθμούς είναι παραπλανητικό. Θα συμφωνούσαν οι περισσότεροι άνθρωποι ότι είναι μία «απόδειξη» δεδομένου ότι ήδη προϋπάρχει, ως προϊόν αφαίρεσης από γεγονότα της εμπειρίας, η έννοια των ακεραίων αριθμών, της σχέσης του διαδόχου στους φυσικούς αριθμούς και των βασικών αρχών που τις διέπουν. Αυτά εξυπηρετούν ακριβώς τον ρόλο των αξιωμάτων - είναι, τέτοια, ως ένα βαθμό. Επομένως, είναι απλώς ψευδαίσθηση ότι δε χρησιμοποιούνται αξιώματα και ορισμοί. Απλώς αποσιωπούνται ως κοινός τόπος των περισσότερων ανθρώπων.

Να σημειώσουμε εδώ ότι η ύπαρξη και μόνο μίας τόσο κοινής εικόνας για κάποια έννοια αριθμών δε συνηγορεί απαραίτητα υπέρ μίας ύπαρξης των μαθηματικών σε μία άλλη πραγματικότητα. Είναι εύλογο να έχουμε όλοι οι άνθρωποι παρόμοιες κοινές διαισθήσεις σε τέτοιες πρωταρχικές έννοιες, δεδομένου ότι υπάρχουμε ιστορικά στον ίδιο κόσμο. Το περιβάλλον είναι αυτό που φαίνεται να μας αναγκάζει να εκδηλώσουμε ομοιότροπα περίπλοκη συμπεριφορά. Όπως έλεγε και ο H. Simon: «Αν παρατηρήσουμε ένα μυρμήγκι να περπατά πάνω σε μία παραλία μπορεί να θεωρήσουμε ότι το μυρμήγκι είναι ευφυές και μπορεί και εκτελεί τόσο περίπλοκες διαδρομές για να βρει την τροφή του. Ωστόσο, είναι η παραλία που είναι περίπλοκη και το αναγκάζει να κινηθεί με αυτόν τον τρόπο».

[stranger]

Νομίζω ότι το επιχείρημα αυτό χωλαίνει σε δύο σημεία ισχυρά:

1. Δεν υπάρχει καλώς ορισμένος κοινός νους.

2. Το παράδειγμα με τους φυσικούς αριθμούς είναι παραπλανητικό. Θα συμφωνούσαν οι περισσότεροι άνθρωποι ότι είναι μία «απόδειξη» δεδομένου ότι ήδη προϋπάρχει, ως προϊόν αφαίρεσης από γεγονότα της εμπειρίας, η έννοια των ακεραίων αριθμών, της σχέσης του διαδόχου στους φυσικούς αριθμούς και των βασικών αρχών που τις διέπουν. Αυτά εξυπηρετούν ακριβώς τον ρόλο των αξιωμάτων - είναι, τέτοια, ως ένα βαθμό. Επομένως, είναι απλώς ψευδαίσθηση ότι δε χρησιμοποιούνται αξιώματα και ορισμοί. Απλώς αποσιωπούνται ως κοινός τόπος των περισσότερων ανθρώπων.

Να σημειώσουμε εδώ ότι η ύπαρξη και μόνο μίας τόσο κοινής εικόνας για κάποια έννοια αριθμών δε συνηγορεί απαραίτητα υπέρ μίας ύπαρξης των μαθηματικών σε μία άλλη πραγματικότητα. Είναι εύλογο να έχουμε όλοι οι άνθρωποι παρόμοιες κοινές διαισθήσεις σε τέτοιες πρωταρχικές έννοιες, δεδομένου ότι υπάρχουμε ιστορικά στον ίδιο κόσμο. Το περιβάλλον είναι αυτό που φαίνεται να μας αναγκάζει να εκδηλώσουμε ομοιότροπα περίπλοκη συμπεριφορά. Όπως έλεγε και ο H. Simon: «Αν παρατηρήσουμε ένα μυρμήγκι να περπατά πάνω σε μία παραλία μπορεί να θεωρήσουμε ότι το μυρμήγκι είναι ευφυές και μπορεί και εκτελεί τόσο περίπλοκες διαδρομές για να βρει την τροφή του. Ωστόσο, είναι η παραλία που είναι περίπλοκη και το αναγκάζει να κινηθεί με αυτόν τον τρόπο».

Όλοι οι ερευνητές στα μαθηματικά(εκτός της μαθηματικής λογικής) δεν χρησιμοποιούνε την αξιωματική μέθοδο αλλά χρησιμοποιούνε τον "κοινό νου" για να αποδείξουν θεωρήματα και προτάσεις. Οπότε πως μπορείς να πεις ότι η έννοια κοινός νους δεν είναι καλά ορισμένη; Ίσως να μην είναι καλά ορισμένη όπως για παράδειγμα δεν μπορείς να ορίσεις τι είναι η λογική. Αυτός ο κοινός νους όμως είναι κάτι το υπαρκτό και μέσω αυτού γίνεται το 90% των σύγχρονων μαθηματικών.
Επειδή εγώ στο διδακτορικό μου ασχολήθηκα με μερικές διαφορικές εξισώσεις(εφαρμοσμένα μαθηματικά) όλοι οι μαθηματικοί που συναντήθηκα έκαναν αποδείξεις με τον κοινό νου. Ίσως το αντικείμενο που ασχολήθηκα να ήταν τέτοιο όμως πιστεύω ότι τα σύγχρονα μαθηματικά είναι οι αποδείξεις με τον κοινό νου.
Όταν είχα μικρότερη εμπειρία σκεφτόμουν συχνά τα αξιώματα και το πως πρέπει να είναι δομημένο το αξιωματικό σύστημα στα μαθηματικά και έλεγα "κάνω αποδείξεις με τον κοινό νου όμως ξέρω ότι αυτές αν κάποιος θελήσει μπορεί να τις αποδείξει αξιωματικά", οπότε σίγουρα ανήκουν στο μαθηματικό οικοδόμημα.
Τώρα πια σκέφτομαι ότι ίσως δεν έχει αξία αυτό. Που μας χρειάζονται τα αξιώματα εντέλει; Μπορούμε να κάνουμε μαθηματικά και χωρίς αυτά.

[Μάρκος Βασίλης]

Όλοι οι ερευνητές στα μαθηματικά(εκτός της μαθηματικής λογικής) δεν χρησιμοποιούνε την αξιωματική μέθοδο αλλά χρησιμοποιούνε τον "κοινό νου" για να αποδείξουν θεωρήματα και προτάσεις. Οπότε πως μπορείς να πεις ότι η έννοια κοινός νους δεν είναι καλά ορισμένη; Ίσως να μην είναι καλά ορισμένη όπως για παράδειγμα δεν μπορείς να ορίσεις τι είναι η λογική. Αυτός ο κοινός νους όμως είναι κάτι το υπαρκτό και μέσω αυτού γίνεται το 90% των σύγχρονων μαθηματικών.
Επειδή εγώ στο διδακτορικό μου ασχολήθηκα με μερικές διαφορικές εξισώσεις(εφαρμοσμένα μαθηματικά) όλοι οι μαθηματικοί που συναντήθηκα έκαναν αποδείξεις με τον κοινό νου. Ίσως το αντικείμενο που ασχολήθηκα να ήταν τέτοιο όμως πιστεύω ότι τα σύγχρονα μαθηματικά είναι οι αποδείξεις με τον κοινό νου.
Όταν είχα μικρότερη εμπειρία σκεφτόμουν συχνά τα αξιώματα και το πως πρέπει να είναι δομημένο το αξιωματικό σύστημα στα μαθηματικά και έλεγα "κάνω αποδείξεις με τον κοινό νου όμως ξέρω ότι αυτές αν κάποιος θελήσει μπορεί να τις αποδείξει αξιωματικά", οπότε σίγουρα ανήκουν στο μαθηματικό οικοδόμημα.
Τώρα πια σκέφτομαι ότι ίσως δεν έχει αξία αυτό. Που μας χρειάζονται τα αξιώματα εντέλει; Μπορούμε να κάνουμε μαθηματικά και χωρίς αυτά.

Μα, προφανώς, η ασφάλεια των αξιωμάτων δημιουργεί αυτήν την «άνεση» να μιλάμε «μπακάλικα» και να κάνουμε αποδείξεις πιο χαλαρά, χωρίς να καταγράφουμε τυπικές συναγωγές αναλυτικά. Αυτό, όμως, δε σημαίνει ότι μπορούμε πάντοτε να μιλάμε «μπακάλικα» και να παράγουμε σωστά αποτελέσματα. Πώς θα μιλήσουμε για μαθηματικά χωρίς έναν καθορισμένο κοινό τόπο; Εννοώ, δεν είναι απαραίτητο ότι έχουμε όλοι μας τις ίδιες κοινές διαισθήσεις και ότι κάνουμε τις ίδιες κοινές παραδοχές.

Ας πάρουμε, για παράδειγμα, τον Leibniz. Μιλούσε για απειροστά, μιλούσε για οντότητες που, ειδικά έναν αιώνα μετά, φάνταζαν εκτός τόπου και χρόνου με την εισαγωγή αυστηρών ε-δ ορισμών. Ωστόσο, εδώ και μισό αιώνα - και κάτι παραπάνω - έχουμε δει ότι η θεωρία του απειροστικού, όπως την περιγράφει ο Leibniz, και όπως την έχουμε στο μυαλό μας (ως προς το πρωτοβάθμιο μέρος τους, πάντα) είναι απλώς δύο μοντέλα της ίδιας πρωτοβάθμιας θεωρίας. Αυτή τη συνειδητοποίηση της ενότητας δύο φαινομενικά εκ διαμέτρου αντίθετων κόσμων την επιτύχαμε αφού αρχίσαμε να δουλεύουμε αξιωματικά και αφού προσπαθήσαμε να δώσουμε μία γερή θεμελίωση των μαθηματικών.

Οπότε, νομίζω ότι καλώς βασιζόμαστε σε αξιώματα για να κάνουμε τη δουλειά μας. Είναι το επισφράγισμα του κοινού τόπου των μαθηματικών.

[stranger]

Όταν μιλάω για κοινό νου εννοώ ότι πρέπει να υπάρχει ένα μέτρο.
Ούτε να είμαστε βασανιστικά λεπτομερείς, αλλά και ούτε να είμαστε μπακάληδες.
Το σωστό αυτό μέτρο είναι αυτό που ονομάζω κοινό νου.
Πως θα βρούμε όμως αυτό το σωστό μέτρο; Πρέπει να υπάρχει κατανόηση μέσα μας όσον αφορά στον τρόπο που δουλεύουν τα μαθηματικά και στη διαφορά τους από τις άλλες επιστήμες.
Τα μαθηματικά ξεχωρίζουν επείδη είναι η αποθέωση της λογικής σκέψης. Υπάρχει αυστηρή λογική σε αυτά.
Αυτό που πιστεύω εγώ ότι είναι το σωστό, είναι να μην το παρακάνουμε με τις λεπτομέρειες αλλά ταυτόχρονα να μην είμαστε και μπακάληδες.
Ασφαλώς και η εισαγωγή των ε-δ ορισμών έκανε καλό στα μαθηματικά. Το μέτρο είναι το θέμα.
Όταν έχουμε αυτό το μέτρο τότε όλα βγάζουν νόημα σιγά-σιγά. Ούτε Hilbert αλλά ούτε και Poincare. Η σωστή λογική είναι στη μέση.

[Μάρκος Βασίλης]

Όταν μιλάω για κοινό νου εννοώ ότι πρέπει να υπάρχει ένα μέτρο.
Ούτε να είμαστε βασανιστικά λεπτομερείς, αλλά και ούτε να είμαστε μπακάληδες.
Το σωστό αυτό μέτρο είναι αυτό που ονομάζω κοινό νου.
Πως θα βρούμε όμως αυτό το σωστό μέτρο; Πρέπει να υπάρχει κατανόηση μέσα μας όσον αφορά στον τρόπο που δουλεύουν τα μαθηματικά και στη διαφορά τους από τις άλλες επιστήμες.
Τα μαθηματικά ξεχωρίζουν επείδη είναι η αποθέωση της λογικής σκέψης. Υπάρχει αυστηρή λογική σε αυτά.
Αυτό που πιστεύω εγώ ότι είναι το σωστό, είναι να μην το παρακάνουμε με τις λεπτομέρειες αλλά ταυτόχρονα να μην είμαστε και μπακάληδες.
Ασφαλώς και η εισαγωγή των ε-δ ορισμών έκανε καλό στα μαθηματικά. Το μέτρο είναι το θέμα.
Όταν έχουμε αυτό το μέτρο τότε όλα βγάζουν νόημα σιγά-σιγά. Ούτε Hilbert αλλά ούτε και Poincare. Η σωστή λογική είναι στη μέση.

Νομίζω ότι είναι σαν να προσπαθούμε να ξανα-ανακαλύψουμε τον τροχό. Πραγματικά, δεν μπορώ να δω:

1. πώς η ύπαρξη αξιωμάτων και αυστηρής αποδεικτικής διαδικασίας εμποδίζει τη διαισθητική ερμηνεία,

2. πού θα βοηθούσε το να «χαλαρώσουμε» τον τρόπο που κάνουμε μαθηματικά.

Δεν είμαστε βασανιστικά λεπτομερείς όταν πλέον έχουμε την άνεση με τις έννοιες που χειριζόμαστε. Αλλά, όχι, όταν καλά-καλά δεν έχουμε καλή εικόνα των εννοιών που χειριζόμαστε, πώς να μην είμαστε λεπτομερείς; Η διαίσθηση είναι χρήσιμο εργαλείο αλλά εξαπατά συχνά. Η αυστηρότητα είναι αυτή που αυξάνει τη «διακριτική μας ικανότητα» υπό την έννοια ότι μας δίνει τη δυνατότητα να διακρίνουμε τις λεπτές διαφορές ανάμεσα στις έννοιες που χειριζόμαστε. Είναι σαν να μας βοηθά στην κατάτμισή τους και, συνεπακόλουθα, στην κατανόησή τους.

Τους ε-δ ορισμούς του Weierstrass και τα απειροστά του Leibniz τα ανέφερα απλά ως παράδειγμα δύο εκ διαμέτρου αντίθετων απόψεων για το ίδιο αντικείμενο που, εν τέλει, οδηγούν στην ίδια (πρωτοβάθμια) θεωρία, πράγμα που φαίνεται μόνο κατά τη μελέτη της ανάλυσης από τη σκοπιά της λογικής - και, άρα, εντάσσοντας την έννοια του συμπερασμού, των αξιωμάτων κ.λπ.