Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑Σάβ Μάιος 09, 2020 12:53 pm
Να, αλλά τα μαθηματικά δεν περιγράφουν «πραγματικότητες» αλλά συμπερασμό με βάσει υποθέσεις. Δεδομένων κάποιων αξιωμάτων προχωρούμε και χτίζουμε όλα τα υπόλοιπα. Το ότι συμφωνούμε στο ότι ο συμπερασμός μας είναι σωστός δε μας εγγυάται την αλήθεια των προκείμενων αλλά ότι διατηρείται η αλήθεια τους και ότι τα συμπεράσματά μας είναι αληθή modulo την αλήθεια των προκείμενων.
Εκεί ακριβώς εγείρεται και η ένστασή μου στο να δεχτούμε ότι τα μαθηματικά είναι «αληθινά» - με την έννοια ότι υπάρχουν σε/περιγράφουν έναν κόσμο που είναι αληθινός καίτοι απρόσιτος από την ανθρώπινη αντίληψη. Το ό,τι τα αξιώματά μας έχουν απλές και διαισθητικά προφανείς διατυπώσεις επίσης δε θεωρώ ότι συνηγορεί σε κάτι τέτοιο, δεδομένου ότι δίνουν αποτελέσματα κόντρα στη διαίσθηση. Για παράδειγμα, το αθώο αξίωμα της επιλογής μας επιτρέπει να αποδείξουμε το θεώρημα Banach-Tarski το οποίο είναι «παραδοξολογικό» σε σχέση με την αντίληψή μας για τον κόσμο γύρω μας.
Επομένως, ναι, η σύγκλιση απόψεων στους μαθηματικούς κύκλους είναι/φαίνεται μεγαλύτερη - δεν έχω στοιχεία να το υποστηρίξω αυτό, ούτε και να το καταρρίψω όμως - αλλά αυτό δε σημαίνει ότι είναι πιο κοντά στην αλήθεια. Άλλωστε, και για τη σταθερά του Legendre πίστευε για χρόνια η μαθηματική κοινότητα ότι... δεν είναι 1.
Υπάρχει ο κόσμος της μαθηματικής αληθειας;
Αν ναι, τότε σε αυτόν τον κόσμο δεν υπάρχουν αξιώματα. Υπάρχουν οι άπειρες μαθηματικές αλήθειες που κυβερνούν αυτόν τον κόσμο.
Υπάρχουν δύο εμπόδια στην ανακάλυψη αυτού του κόσμου από τον άνθρωπο.
Το πρώτο είναι ότι επειδή η μαθηματική αλήθεια είναι άπειρη, οι άνθρωποι ποτέ δεν θα φτάσουν στην ανακάλυψη όλης της μαθηματικής αλήθειας.
Δεύτερον, όπως είπα και παραπάνω η μαθηματική αυτή αλήθεια δεν έχει αξιώματα. Είναι απλά οι πρότασεις και η λογική τους σύνδεση.
Τα αξιώματα υπάρχουν επειδή ο άνθρωπος από κάπου να ξεκινήσει για να αποδείξει άλλες μαθηματικές αλήθειες.
Αυτό δείχνει ο μαθηματικός είναι καταδικασμένος να βάζει αξιώματα για να ξεκινήσει από κάπου η επαγωγική διαδικασία.
Τι γίνεται όμως αν δεν δεχτούμε αξιώματα; Χρησιμοποιώντας μόνο την απλή λογική(κοινός νους) μπορούμε να κάνουμε κάτι καλύτερο;
Παράδειγμα:
Πρόταση
Υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι.
Απόδειξη
Αν υπάρχει μεγαλύτερος αριθμός
από όλους τότε ο
είναι αριθμός μεγαλύτερος του
.Άτοπο.
Αυτή η απόδειξη πείθει σχεδόν όλους τους ανθρώπους ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι.
Όμως αυτή η απόδειξη δεν είναι σωστή κατά ZFC, γιατί πρέπει να ορίσουμε πρώτα τι είναι αριθμός κλπ.
Ερώτηση
Μήπως ήρθε η ώρα να αφήσουμε τα πολλά αξιώματα και να χρησιμοποιήσουμε μόνο κοινή λογική στα μαθηματικά;
Ίσως αυτό να βρίσκεται πιο κοντά στη μαθηματική αλήθεια.