Κλειστότητα ως προς ισότητα;

Nikitas K. · #1

Καλησπέρα,
Διαβάζοντας τα αξιώματα του Πεάνο, ένα από τα αξιώματα που περιγράφουν την ισότητα γράφει
$\displaystyle \forall a,b~ a\in \mathbb{N} \wedge a = b \Rightarrow b\in \mathbb{N}$
«Δηλαδή το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι κλειστό ως προς την ισότητα.»

Πως ορίζεται (με χρήση κατηγορηματικής λογικής) ότι κάποιο σύνολο

είναι κλειστό ως προς κάποια:

σχέση ;

δυαδική πράξη $\tau: X\times Y\to Z$ ;

Ευχαριστώ, για τον χρόνο σας.

stranger · #2

Λέμε ότι το σύνολο

είναι κλειστό ως προς τη σχέση $\equiv$ όταν για κάθε x,y

αν $x \equiv y$ και $x \in A$ συνεπάγεται ότι $y \in A$ .
Τώρα αν έχουμε μια πράξη $\oplus$ η κλειστότητα ορίζεται ως: για κάθε $x,y \in A$ έχουμε $x \oplus y \in A$ .

Nikitas K. · #3

stranger έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 06, 2024 12:20 am
Λέμε ότι το σύνολο είναι κλειστό ως προς τη σχέση $\equiv$ όταν για κάθε αν $x \equiv y$ και $x \in A$ συνεπάγεται ότι $y \in A$ .
Τώρα αν έχουμε μια πράξη $\oplus$ η κλειστότητα ορίζεται ως: για κάθε $x,y \in A$ έχουμε $x \oplus y \in A$ .

Σχετικά με τον ορισμό της δυαδικής πράξης, μου δημιουργήθηκε ο παρακάτω προβληματισμός.
Έστω, η δυαδική πράξη $\oplus : \{1,2\}\times \{1,2\}\to \{1,2\}$ με $1 \oplus 1 = 1$ .
Να δειχθεί ότι το σύνολο $A = \{0,1\}$ είναι κλειστό ως προς την δυαδική πράξη $\oplus$ .

Όταν τα x,y

διατρέξουν το πεδίο ορισμού και φτάσουν στις περιπτώσεις $(x,y) \in \left\{(0,0),(0,1), (1,0)\right\}$ , τότε το $x \oplus y$ δεν παράγει αποτέλεσμα, διότι δεν ορίζεται, επομένως πως θα διαπιστωθεί η τιμή αληθείας για την πρόταση $x\oplus y \in A$ ;

stranger · #4

Nikitas K. έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 06, 2024 1:29 am

stranger έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 06, 2024 12:20 am
Λέμε ότι το σύνολο είναι κλειστό ως προς τη σχέση $\equiv$ όταν για κάθε αν $x \equiv y$ και $x \in A$ συνεπάγεται ότι $y \in A$ .
Τώρα αν έχουμε μια πράξη $\oplus$ η κλειστότητα ορίζεται ως: για κάθε $x,y \in A$ έχουμε $x \oplus y \in A$ .
Σχετικά με τον ορισμό της δυαδικής πράξης, μου δημιουργήθηκε ο παρακάτω προβληματισμός.
Έστω, η δυαδική πράξη $\oplus : \{1,2\}\times \{1,2\}\to \{1,2\}$ με $1 \oplus 1 = 1$ .
Να δειχθεί ότι το σύνολο $A = \{0,1\}$ είναι κλειστό ως προς την δυαδική πράξη $\oplus$ .

Όταν τα διατρέξουν το πεδίο ορισμού και φτάσουν στις περιπτώσεις $(x,y) \in \left\{(0,0),(0,1), (1,0)\right\}$ , τότε το $x \oplus y$ δεν παράγει αποτέλεσμα, διότι δεν ορίζεται, επομένως πως θα διαπιστωθεί η τιμή αληθείας για την πρόταση $x\oplus y \in A$ ;

Δυαδική πράξη στο σύνολο

είναι μια οποιαδήποτε απεικόνιση $\oplus : S \times S \rightarrow S$ .
Στο συγκεκριμένο παράδειγμα σου η πράξη δεν ορίζεται στο

.
Άρα για να διαπιστώσουμε κλειστότητα ενός συνόλου ως προς μια πράξη πρέπει να την ορίσουμε σε ένα υπερσύνολο αυτού του συνόλου.
Αλλιώς δεν έχει νόημα.

Nikitas K. · #5

stranger έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 06, 2024 1:13 pm

Nikitas K. έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 06, 2024 1:29 am

stranger έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 06, 2024 12:20 am
Λέμε ότι το σύνολο είναι κλειστό ως προς τη σχέση $\equiv$ όταν για κάθε αν $x \equiv y$ και $x \in A$ συνεπάγεται ότι $y \in A$ .
Τώρα αν έχουμε μια πράξη $\oplus$ η κλειστότητα ορίζεται ως: για κάθε $x,y \in A$ έχουμε $x \oplus y \in A$ .
Σχετικά με τον ορισμό της δυαδικής πράξης, μου δημιουργήθηκε ο παρακάτω προβληματισμός.
Έστω, η δυαδική πράξη $\oplus : \{1,2\}\times \{1,2\}\to \{1,2\}$ με $1 \oplus 1 = 1$ .
Να δειχθεί ότι το σύνολο $A = \{0,1\}$ είναι κλειστό ως προς την δυαδική πράξη $\oplus$ .

Όταν τα διατρέξουν το πεδίο ορισμού και φτάσουν στις περιπτώσεις $(x,y) \in \left\{(0,0),(0,1), (1,0)\right\}$ , τότε το $x \oplus y$ δεν παράγει αποτέλεσμα, διότι δεν ορίζεται, επομένως πως θα διαπιστωθεί η τιμή αληθείας για την πρόταση $x\oplus y \in A$ ;
Δυαδική πράξη στο σύνολο είναι μια οποιαδήποτε απεικόνιση $\oplus : S \times S \rightarrow S$ .
Στο συγκεκριμένο παράδειγμα σου η πράξη δεν ορίζεται στο .
Άρα για να διαπιστώσουμε κλειστότητα ενός συνόλου ως προς μια πράξη πρέπει να την ορίσουμε σε ένα υπερσύνολο αυτού του συνόλου.
Αλλιώς δεν έχει νόημα.

Προχθές διάβασα ότι η δυαδική πράξη μπορεί να είναι μια συνάρτηση $\tau: X \times Y \to Z$ και με λίγη προσπάθεια
έγραψα πότε ένα σύνολο

είναι κλειστό ως προς τη δυαδική πράξη $\tau$ .
$\displaystyle A\subseteq X\cap Y \wedge \forall x,y \in A ~ x\tau y\in A$

Επίσης δεν κατάφερα να βρω πληροφορίες σχετικά με το πότε ένα σύνολο είναι κλειστό ως προς κάποια σχέση, μήπως μπορείτε σας παρακαλώ να με παραπέμψετε σε κάποια πηγή;

Ο προβληματισμός μου:
Έστω, ο υποθετικός ορισμός ii)

παρόμοιος με τον υπάρχον ορισμό

.
$i) ~ \forall x,y(x\equiv y \wedge x\in A\Rightarrow y\in A) ]$
$ii) ~ \forall x,y(x\equiv y \wedge y\in A\Rightarrow x\in A) ]$

Επιπλέον, αν θεωρήσουμε ότι το σύνολο $A = \{ 1, 4 \}$ .
Να βρεθεί κατά πόσο το σύνολο

είναι κλειστό ως προς τις ακόλουθες σχέσεις:
$1)~ <_1~ = \{ (-1, 0), (0, 1) \}$
$2)~ <_2~ = \{ (1,3), (1, 4) \}$

Το σύνολο

:
Στην περίπτωση

με εφαρμογή του ορισμού:

Eίναι κλειστό ως προς <_1

.

Δεν είναι κλειστό ως προς <_1

εξαιτίας του ζεύγους (0,1)

διότι $0\notin A$ .

Στην περίπτωση

με εφαρμογή του ορισμού:

Δεν είναι κλειστό ως προς <_2

εξαίτιας του ζεύγους (1,3)

διότι $3\notin A$ .
ii)

Eίναι κλειστό ως προς <_2

.

Εφόσον παραπάνω αποδείχθηκε ότι οι ορισμοί δεν είναι ισοδύναμοι.
Γιατί επιλέξαμε τον ορισμό

το να διατρέχει τα στοιχεία του συνόλου προσπαθώντας να δειχθεί ότι το στοιχείο $y\in A$ μόνο αν η σχέση $\equiv$ ισχύει ανάμεσα στα στοιχεία και

και δεν επιλέξαμε τον ορισμό

το να διατρέχει τα στοιχεία του συνόλου προσπαθώντας να δειχθεί ότι το στοιχείο $x\in A$ μόνο αν η σχέση $\equiv$ ισχύει ανάμεσα στα στοιχεία και

ή κάποια σύνθεση των παραπάνω ορισμών;

stranger · #6

Nikitas K. έγραψε: ↑
Δευ Απρ 08, 2024 5:30 am

stranger έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 06, 2024 1:13 pm

Nikitas K. έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 06, 2024 1:29 am

stranger έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 06, 2024 12:20 am
Λέμε ότι το σύνολο είναι κλειστό ως προς τη σχέση $\equiv$ όταν για κάθε αν $x \equiv y$ και $x \in A$ συνεπάγεται ότι $y \in A$ .
Τώρα αν έχουμε μια πράξη $\oplus$ η κλειστότητα ορίζεται ως: για κάθε $x,y \in A$ έχουμε $x \oplus y \in A$ .
Σχετικά με τον ορισμό της δυαδικής πράξης, μου δημιουργήθηκε ο παρακάτω προβληματισμός.
Έστω, η δυαδική πράξη $\oplus : \{1,2\}\times \{1,2\}\to \{1,2\}$ με $1 \oplus 1 = 1$ .
Να δειχθεί ότι το σύνολο $A = \{0,1\}$ είναι κλειστό ως προς την δυαδική πράξη $\oplus$ .

Όταν τα διατρέξουν το πεδίο ορισμού και φτάσουν στις περιπτώσεις $(x,y) \in \left\{(0,0),(0,1), (1,0)\right\}$ , τότε το $x \oplus y$ δεν παράγει αποτέλεσμα, διότι δεν ορίζεται, επομένως πως θα διαπιστωθεί η τιμή αληθείας για την πρόταση $x\oplus y \in A$ ;
Δυαδική πράξη στο σύνολο είναι μια οποιαδήποτε απεικόνιση $\oplus : S \times S \rightarrow S$ .
Στο συγκεκριμένο παράδειγμα σου η πράξη δεν ορίζεται στο .
Άρα για να διαπιστώσουμε κλειστότητα ενός συνόλου ως προς μια πράξη πρέπει να την ορίσουμε σε ένα υπερσύνολο αυτού του συνόλου.
Αλλιώς δεν έχει νόημα.
Προχθές διάβασα ότι η δυαδική πράξη μπορεί να είναι μια συνάρτηση $\tau: X \times Y \to Z$ και με λίγη προσπάθεια
έγραψα πότε ένα σύνολο είναι κλειστό ως προς τη δυαδική πράξη $\tau$ .
$\displaystyle A\subseteq X\cap Y \wedge \forall x,y \in A ~ x\tau y\in A$

Επίσης δεν κατάφερα να βρω πληροφορίες σχετικά με το πότε ένα σύνολο είναι κλειστό ως προς κάποια σχέση, μήπως μπορείτε σας παρακαλώ να με παραπέμψετε σε κάποια πηγή;

Ο προβληματισμός μου:
Έστω, ο υποθετικός ορισμός παρόμοιος με τον υπάρχον ορισμό .
$i) ~ \forall x,y(x\equiv y \wedge x\in A\Rightarrow y\in A) ]$
$ii) ~ \forall x,y(x\equiv y \wedge y\in A\Rightarrow x\in A) ]$

Επιπλέον, αν θεωρήσουμε ότι το σύνολο $A = \{ 1, 4 \}$ .
Να βρεθεί κατά πόσο το σύνολο είναι κλειστό ως προς τις ακόλουθες σχέσεις:
$1)~ <_1~ = \{ (-1, 0), (0, 1) \}$
$2)~ <_2~ = \{ (1,3), (1, 4) \}$

Το σύνολο :
Στην περίπτωση με εφαρμογή του ορισμού:
Eίναι κλειστό ως προς .
Δεν είναι κλειστό ως προς εξαιτίας του ζεύγους διότι $0\notin A$ .

Στην περίπτωση με εφαρμογή του ορισμού:
Δεν είναι κλειστό ως προς εξαίτιας του ζεύγους διότι $3\notin A$ .
Eίναι κλειστό ως προς .

Εφόσον παραπάνω αποδείχθηκε ότι οι ορισμοί δεν είναι ισοδύναμοι.
Γιατί επιλέξαμε τον ορισμό

το να διατρέχει τα στοιχεία του συνόλου προσπαθώντας να δειχθεί ότι το στοιχείο $y\in A$ μόνο αν η σχέση $\equiv$ ισχύει ανάμεσα στα στοιχεία και

και δεν επιλέξαμε τον ορισμό

το να διατρέχει τα στοιχεία του συνόλου προσπαθώντας να δειχθεί ότι το στοιχείο $x\in A$ μόνο αν η σχέση $\equiv$ ισχύει ανάμεσα στα στοιχεία και

ή κάποια σύνθεση των παραπάνω ορισμών;

Οι δύο ορισμοί σου δεν είναι ισοδύναμοι. Θα ήταν ισοδύναμοι αν η σχέση ικανοποιούσε την ιδιότητα $x \equiv y \rightarrow y \equiv x$ .
Το επιχείρημα σου είναι σωστό και δείχνει ότι οι δύο ορισμοί δεν είναι ισοδύναμοι.
Οι δύο ορισμοί δεν κάνουν διαφορά στο τέλος με την έννοια ότι κάποιον από τους δυο πρέπει να επιλέξουμε.
Είτε επιλέγουμε τον πρώτο είτε τον δεύτερο.
Αυτό που θέλω να πω είναι ότι είναι θέμα ορισμού. Θεωρείς την πρώτη μεταβλητή ως σημείο αναφοράς για να διατυπώσεις την πρόταση $x \in A$ η την δεύτερη.
Ο πρώτος ορισμός ορίζει κάποια σύνολα κλειστά και ο δεύτερος κάποια άλλα.

Κλειστότητα ως προς ισότητα;

Κλειστότητα ως προς ισότητα;

Re: Κλειστότητα ως προς ισότητα;

Re: Κλειστότητα ως προς ισότητα;

Re: Κλειστότητα ως προς ισότητα;

Re: Κλειστότητα ως προς ισότητα;

Re: Κλειστότητα ως προς ισότητα;

Μέλη σε σύνδεση