Αξιώματα των φυσικών αριθμών κατά Peano

mikemoke · #1

Δίνονται τα αξιώματα των φυσικών αριθμών κατά Peano.
Να αποδειχθεί ότι
1) $\forall n\in \mathbb{N} n\geq 0$
2) $\forall n\in \mathbb{N} \nexists p\in \mathbb{N}:n<p<n+1$
3) $(A\subseteq \mathbb{N} \wedge A\neq \varnothing)\Rightarrow (\exists n_0\in A:n\geq n_0\forall n\in A)$
4)Αν υπάρχει $T_m\equiv \left \{ n\in\mathbb{N}:n\leq m \right \}$ απεικονιζόμενο αμφιμονοσήμαντα επί συνόλου

, τότε στο

αντιστοιχεί ακριβώς ένα T_m

.
Για το 4) ας θεωρήσουμε δεδομένο ότι το σύνολο των φυσικών δεν απεικονίζεται αμφιμονοσήμαντα επί τμήματος αυτού.

Τα συμπεράσματα πρέπει να είναι αρκετά γνωστά.Στον Απειροστικό του Κάππου η απόδειξη παραλείπεται.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

mikemoke έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 11, 2018 8:54 pm
Δίνονται τα αξιώματα των φυσικών αριθμών κατά Peano.
Να αποδειχθεί ότι
1) $n\geq 0\forall n\in \mathbb{N}$
2) $\forall n\in \mathbb{N} \nexists p\in \mathbb{N}:n<p<n+1$
3) $(A\subseteq \mathbb{N} \wedge A\neq \varnothing)\Rightarrow (\exists n_0\in A:n\geq n_0\forall n\in A)$
4)Αν υπάρχει $T_m\equiv \left \{ n\in\mathbb{N}:n\leq m \right \}$ απεικονιζόμενο αμφιμονοσήμαντα επί συνόλου , τότε στο αντιστοιχεί ακριβώς ένα .
Για το 4) ας θεωρήσουμε δεδομένο ότι το σύνολο των φυσικών δεν απεικονίζεται αμφιμονοσήμαντα επί τμήματος αυτού.

Τα συμπεράσματα πρέπει να είναι αρκετά γνωστά.Στον Απειροστικό του Κάππου η απόδειξη παραλείπεται.

Κάποιες παρατηρήσεις.
1)ποια ακριβώς μορφή των αξιωμάτων του Peano;
(υπάρχουν διάφορες μορφές σε διάφορα βιβλία)
2)Οταν χρησιμοποιούμε τα $\forall ,\exists$ τα βάζουμε πάντα μπροστά.
Επίσης όταν γράφουμε με λογική τα γράφουμε σωστά.
π.χ το σύμβολο : δεν υπάρχει αν δεν κάνω λάθος στα σύμβολα της λογικής.

mikemoke · #3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 11, 2018 10:14 pm

mikemoke έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 11, 2018 8:54 pm
Δίνονται τα αξιώματα των φυσικών αριθμών κατά Peano.
Να αποδειχθεί ότι
1) $n\geq 0\forall n\in \mathbb{N}$
2) $\forall n\in \mathbb{N} \nexists p\in \mathbb{N}:n<p<n+1$
3) $(A\subseteq \mathbb{N} \wedge A\neq \varnothing)\Rightarrow (\exists n_0\in A:n\geq n_0\forall n\in A)$
4)Αν υπάρχει $T_m\equiv \left \{ n\in\mathbb{N}:n\leq m \right \}$ απεικονιζόμενο αμφιμονοσήμαντα επί συνόλου , τότε στο αντιστοιχεί ακριβώς ένα .
Για το 4) ας θεωρήσουμε δεδομένο ότι το σύνολο των φυσικών δεν απεικονίζεται αμφιμονοσήμαντα επί τμήματος αυτού.

Τα συμπεράσματα πρέπει να είναι αρκετά γνωστά.Στον Απειροστικό του Κάππου η απόδειξη παραλείπεται.
Κάποιες παρατηρήσεις.
1)ποια ακριβώς μορφή των αξιωμάτων του Peano;
(υπάρχουν διάφορες μορφές σε διάφορα βιβλία)
2)Οταν χρησιμοποιούμε τα $\forall ,\exists$ τα βάζουμε πάντα μπροστά.
Επίσης όταν γράφουμε με λογική τα γράφουμε σωστά.
π.χ το σύμβολο : δεν υπάρχει αν δεν κάνω λάθος στα σύμβολα της λογικής.

A)Τα αξιώματα :
1) $0\in \mathbb{N}$
2) $\forall n\in\mathbb{N}\Rightarrow n+1\in \mathbb{N}$
3) $\forall n\in\mathbb{N} n+1\neq 0$
4) $(n\in\mathbb{N}\wedge m\in\mathbb{N}\wedge n+1=m+1)\Rightarrow n+m$
5) $(A\subseteq \mathbb{N}\wedge 0\in A\wedge (\forall n\in A\Rightarrow n+1\in A))\Rightarrow A=\mathbb{N}$

Β) Μπορούμε να πούμε:

2) $(\forall n\in \mathbb{N} \forall p\in \mathbb{N} )\Rightarrow (p\leq n\vee p\geq n+1)$

3) $(A\subseteq \mathbb{N} \wedge A\neq \varnothing)\Rightarrow \forall n\in A(\exists n_0\in A(n\geq n_0))$

4) $T_m\equiv \left \{ n\in\mathbb{N}|n\leq m \right \}$
;

labrosb · #4

$\forall r\forall s(r\leq s\leftrightarrow\exists v(r+v=s))$
Αυτος είναι ο ορισμός
Τώρα για r=0 και για s=x και για v=y ειναιeq x\leftrightarrow\exists
$\forall x(0\leq x\leftrightarrow\exists y(0+y=x))$
Αλλά:
1) x+0=x...............αξιωμα
2) x+0=0+x....................θεώρημα
3) 0+x=x................αντικαθ. την 2 στην 1
4) $\exists y(0+y=x)$ ............κανών υπαρξιακής γενικεύσεις
5) άρα: σύμφωνα με τον (a) $\forall x(0\leq x)$

Αξιώματα των φυσικών αριθμών κατά Peano

Αξιώματα των φυσικών αριθμών κατά Peano

Re: Αξιώματα των φυσικών αριθμών κατά Peano

Re: Αξιώματα των φυσικών αριθμών κατά Peano

Re: Αξιώματα των φυσικών αριθμών κατά Peano

Μέλη σε σύνδεση