Απορία
Συντονιστής: s.kap
- Χρήστος Λαζαρίδης
- Δημοσιεύσεις: 656
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
- Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
- Επικοινωνία:
Απορία
Παρουσιάζω την παρακάτω απορία χωρίς να είμαι σίγουρος, αν απευθύνομαι στο κατάλληλο post.
Η άσκηση φυσικά είναι ενδεικτική, αλλά το πρόβλημα παρουσιάζεται αρκετές φορές.
ΑΣΚΗΣΗ
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(λ-1,λ+1), όπου ο λ είναι πραγματικός.
ΛΥΣΗ
Ο τρόπος, που συνήθως παρουσιάζεται είναι ο ακόλουθος:
Έστω Μ(x,y) τυχαίο σημείο του γεωμετρικού τόπου, τότε:
Με απαλοιφή του λ, προκύπτει y = x+2, που παριστάνει ευθεία.
Κατά τη γνώμη μου δεν έχουμε ισοδυναμία, άρα δεν έχουμε απάντηση για τον γεωμετρικό τόπο.
Η απορία μου είναι με ποιο τρόπο θα μπορούσαμε να πετύχουμε ισοδυναμία και πώς αυτός παρουσιάζεται, με αυστηρότητα;
Φιλικά Χρήστος
Η άσκηση φυσικά είναι ενδεικτική, αλλά το πρόβλημα παρουσιάζεται αρκετές φορές.
ΑΣΚΗΣΗ
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(λ-1,λ+1), όπου ο λ είναι πραγματικός.
ΛΥΣΗ
Ο τρόπος, που συνήθως παρουσιάζεται είναι ο ακόλουθος:
Έστω Μ(x,y) τυχαίο σημείο του γεωμετρικού τόπου, τότε:
Με απαλοιφή του λ, προκύπτει y = x+2, που παριστάνει ευθεία.
Κατά τη γνώμη μου δεν έχουμε ισοδυναμία, άρα δεν έχουμε απάντηση για τον γεωμετρικό τόπο.
Η απορία μου είναι με ποιο τρόπο θα μπορούσαμε να πετύχουμε ισοδυναμία και πώς αυτός παρουσιάζεται, με αυστηρότητα;
Φιλικά Χρήστος
Ο ηλίθιος είναι αήττητος
- ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ
- Δημοσιεύσεις: 704
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2009 7:07 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΒΑΛΑ
Re: Απορία
Καλησπέρα !!
Αν το εμφανίσουμε όπως στο συνημμένο που στέλνω , υπάρχει πρόβλημα ;
Αν το εμφανίσουμε όπως στο συνημμένο που στέλνω , υπάρχει πρόβλημα ;
- Συνημμένα
-
- τόπος.pdf
- (123.96 KiB) Μεταφορτώθηκε 161 φορές
Χρήστος Καρδάσης
Re: Απορία
Καλησπέρα
Χρήστο αν και απάντησε ο έτερος Χρήστος λέω την γνώμη μου.
Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει στον ζητούμενο Γ.Τ, αν και μόνο αν,υπάρχει λ στο R , τέτοιο ώστε:
Επομένως ο ζητούμενος Γ.Τ είναι η ευθεία (ε) με εξίσωση την (1) αφού από τις παραπάνω ισοδυναμίες προκύπτει ότι τα σημεία Μ(λ-1,λ+1) επαληθεύουν την (1)
αλλά και κάθε σημείο (x , y) , ,της ευθείας (ε) γράφεται στην μορφή (λ-1,λ+1) ,επιλέγοντας κάθε φορά λ στο R με λ = x+1 .
Γιώργος
Χρήστο αν και απάντησε ο έτερος Χρήστος λέω την γνώμη μου.
Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει στον ζητούμενο Γ.Τ, αν και μόνο αν,υπάρχει λ στο R , τέτοιο ώστε:
Επομένως ο ζητούμενος Γ.Τ είναι η ευθεία (ε) με εξίσωση την (1) αφού από τις παραπάνω ισοδυναμίες προκύπτει ότι τα σημεία Μ(λ-1,λ+1) επαληθεύουν την (1)
αλλά και κάθε σημείο (x , y) , ,της ευθείας (ε) γράφεται στην μορφή (λ-1,λ+1) ,επιλέγοντας κάθε φορά λ στο R με λ = x+1 .
Γιώργος
Γιώργος Ροδόπουλος
Re: Απορία
Η καμπύλη είναι επαναπαραμέτρηση της
με . Ο γεωμετρικός τόπος (η καλύτερα ο φορές) της είναι ο ίδιος.
Αυτό που αλλάζει είναι η ταχύτητα της καμπύλης. Με άλλα λόγια μπορείς να
παραμετρηκοποιήσεις με πολλούς τρόπους μία καμπύλη που δίνεται με πεπλεγμένη μορφή.
Η αντιστοιχία από παραμετρικές καμπύλες σε ισοδύναμες πεπλεγμένες δεν είναι ένα προς ένα.
Αυτό βέβαια δεν χαλάει τις παραπάνω ισοδυναμίες αλλά τη μοναδικότητα παραμέτρησης των σημείων.
Αυτό φαίνεται στο παράδειγμα του hsiοdos όπου για να πάς από την (1) στο αρχικό σύστημα χρειάζεσαι
και την .
με . Ο γεωμετρικός τόπος (η καλύτερα ο φορές) της είναι ο ίδιος.
Αυτό που αλλάζει είναι η ταχύτητα της καμπύλης. Με άλλα λόγια μπορείς να
παραμετρηκοποιήσεις με πολλούς τρόπους μία καμπύλη που δίνεται με πεπλεγμένη μορφή.
Η αντιστοιχία από παραμετρικές καμπύλες σε ισοδύναμες πεπλεγμένες δεν είναι ένα προς ένα.
Αυτό βέβαια δεν χαλάει τις παραπάνω ισοδυναμίες αλλά τη μοναδικότητα παραμέτρησης των σημείων.
Αυτό φαίνεται στο παράδειγμα του hsiοdos όπου για να πάς από την (1) στο αρχικό σύστημα χρειάζεσαι
και την .
1. Mathematics is the language of nature.
2. Everything around us can be represented and understood through numbers.
3. If you graph these numbers of any system patterns emerge.
Therefore: There are patterns everywhere in nature.
2. Everything around us can be represented and understood through numbers.
3. If you graph these numbers of any system patterns emerge.
Therefore: There are patterns everywhere in nature.
Re: Απορία
Σε ερωτήματα της μορφής: Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων , όπου ο είναι πραγματικός, αφού απαλείψουμε την παράμετρο - όπου αυτό είναι εφικτό- καταλήγουμε ότι το σημείο βρίσκεται-κινείται σε μία γραμμή . Για να είναι αυτή η γραμμή ο γεωμετρικός τόπος του , πρέπει να αποδείξουμε ότι το σύστημα είναι επιλύσιμο ως προς , για οποιαδήποτε επαληθεύουν την εξίσωση της γραμμής που βρήκαμε. Ένα πρόχειρο παράδειγμα: Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων με δεν είναι η ευθεία , η εξίσωση της οποίας προκύπτει άμεσα με απαλοιφή του , αλλά οι δύο ημιευθείες της ευθείας αυτής που προκύπτουν για , . Αυτό, επειδή η εξίσωση , έχει λύση ως προς μόνον όταν ή .
Λεωνίδας
Λεωνίδας
Κάνε το θαύμα για να τ' αρνηθείς (Α. Μπρετόν - Π. Ελυάρ)
- Α.Κυριακόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 988
- Εγγραφή: Κυρ Ιαν 04, 2009 9:49 am
- Τοποθεσία: ΧΟΛΑΡΓΟΣ
Re: Απορία
Αγαπητέ Χρήστο.Χρήστος Λαζαρίδης έγραψε:Παρουσιάζω την παρακάτω απορία χωρίς να είμαι σίγουρος, αν απευθύνομαι στο κατάλληλο post.
Η άσκηση φυσικά είναι ενδεικτική, αλλά το πρόβλημα παρουσιάζεται αρκετές φορές.
ΑΣΚΗΣΗ
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(λ-1,λ+1), όπου ο λ είναι πραγματικός.
ΛΥΣΗ
Ο τρόπος, που συνήθως παρουσιάζεται είναι ο ακόλουθος:
Έστω Μ(x,y) τυχαίο σημείο του γεωμετρικού τόπου, τότε:
Με απαλοιφή του λ, προκύπτει y = x+2, που παριστάνει ευθεία.
Κατά τη γνώμη μου δεν έχουμε ισοδυναμία, άρα δεν έχουμε απάντηση για τον γεωμετρικό τόπο.
Η απορία μου είναι με ποιο τρόπο θα μπορούσαμε να πετύχουμε ισοδυναμία και πώς αυτός παρουσιάζεται, με αυστηρότητα;
Φιλικά Χρήστος
Eίναι θέμα Μαθηματικής Λογικής και συγκεκριμένα , θέμα ποσοδεικτών.
Πρώτα όμως πρέπει να διορθώσουμε λίγο τη διατύπωση της άσκησης, η οποία πρέπει να γίνει:
« Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(λ-1,λ+1) ( του επιπέδου), όταν το λ διατρέχει το σύνολο R».
Λύση. Ένα σημείο Μ(x,y), όπου, ανήκει στο ζητούμενο γ,τ. αν, και μόνο αν:
(1).
α) Έστω ότι η (1) ισχύει. Τότε, υπάρχει με: λ=y-1 και x=λ-1. Έτσι, τότε θα έχουμε: x=(y-1)-1, δηλαδή: y=x+2.
β) Αντιστρόφως. Έστω ότι για δύο πραγματικούς αριθμούς x και y, ισχύει: y=x+2. Τότε: x=(y-1)-1. Έτσι, αν θέσουμε: λ=y-1, θα έχουμε: x=λ-1.Άρα,τότε υπάρχει (ο y-1) με: λ=y-1 και x=λ-1. Δηλαδή, η (1) ισχύει. Συνεπώς, για κάθε ισχύει:
(1) y=x+2.
Άρα, o ζητούμενος γ.τ. είναι η ευθεία με εξίσωση: y=x+2.
Υ.Γ.1. Χωρίς να θέλω να μειώσω κανέναν, διαβάζοντας τις λύσεις των συναδέλφων, έχω την αίσθηση ότι αφήνουν μια «γεύση» ανικανοποίητου. Γράφουν ισοδυναμίες χωρίς να ξεκαθαρίζουν πότε ισχύουν κτλ.Τα ίδια κάνει και το σχολικό βιβλίο σε μια ίδια άσκηση.
Υ.Γ.2. Κώστα Σερίφη. Σου στέλνω χαιρετίσματα.
Αντώνης Κυριακόπουλος
•Ο έξυπνος παραδέχεται •Ο πονηρός δικαιολογείται •Ο βλάκας επιμένει
•Ο έξυπνος παραδέχεται •Ο πονηρός δικαιολογείται •Ο βλάκας επιμένει
- Χρήστος Λαζαρίδης
- Δημοσιεύσεις: 656
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
- Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
- Επικοινωνία:
Re: Απορία
Διαδικτυακοί φίλοι
Οι απαντήσεις σας στην απορία μου, νομίζω ότι αποτελούν μία ακόμη "καλή στιγμή" του forum.
Καλύφθηκα πληρέστατα και σας ευχαριστώ όλους.
Ενδεχομένως βοηθήθηκαν και αρκετοί άλλοι, οι οποίοι έχουν δει παρόμοια θέματα λυμένα όχι με την απαραίτητη αυστηρότητα.
Φιλικά
Χρήστος
Οι απαντήσεις σας στην απορία μου, νομίζω ότι αποτελούν μία ακόμη "καλή στιγμή" του forum.
Καλύφθηκα πληρέστατα και σας ευχαριστώ όλους.
Ενδεχομένως βοηθήθηκαν και αρκετοί άλλοι, οι οποίοι έχουν δει παρόμοια θέματα λυμένα όχι με την απαραίτητη αυστηρότητα.
Φιλικά
Χρήστος
Ο ηλίθιος είναι αήττητος
- ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ
- Δημοσιεύσεις: 704
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2009 7:07 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΒΑΛΑ
Re: Απορία
Καλημέρα σε όλους ! Αν παρακολουθήσουμε χρονικά τις απαντήσεις στο μήνυμα του Χρήστου Λαζαρίδη που ανέβηκε στις 8.19 θα δούμε τα εξής
1. Η απάντηση μου δόθηκε στις 8.43 κυρίως ως προς την ύπαρξη ισοδυναμίας .
2. Ο συνάδελφος hsiodos στις 9.24 συμπλήρωσε με τους ποσοδείκτες και νομίζω ολοκληρώθηκε ως προς το παράδειγμα που ζήτησε ο Χρήστος Λαζαρίδης .
3. Ο Λεωνίδας στις 10.01 το γενίκευσε με απαντήσεις σε άλλες περιπτώσεις που θα μπορούσαν να εμφανιστούν.
4. Στις 11.02 ο Α. Κυριακόπουλος δημοσίευσε την απάντηση του με την προσθήκη των υστερόγραφων .
Την ίδια περίπου απάντηση την έστειλε ξανά στις 12.04
5. Στη συνέχεια στις 12.08 διέγραψε την αρχική του απάντηση και τώρα βλέπω στη θέση της μια αγκύλη .
Διαβάζοντας τον κανονισμό ( είμαι καινούριος στην παρέα ) είδα ότι δεν επιτρέπεται να ανεβάζουμε παρεμφερή μηνύματα .
Με δεδομένο ότι ο κύριος Κυριακόπουλος το γνωρίζει συμπεραίνω ότι κάτι δεν του άρεσε στο αρχικό του μήνυμα .
Τελικό συμπέρασμα : σε όλους μας έμεινε μία γεύση του " ανικανοποίητου" ...
Φιλικά
Χρήστος
1. Η απάντηση μου δόθηκε στις 8.43 κυρίως ως προς την ύπαρξη ισοδυναμίας .
2. Ο συνάδελφος hsiodos στις 9.24 συμπλήρωσε με τους ποσοδείκτες και νομίζω ολοκληρώθηκε ως προς το παράδειγμα που ζήτησε ο Χρήστος Λαζαρίδης .
3. Ο Λεωνίδας στις 10.01 το γενίκευσε με απαντήσεις σε άλλες περιπτώσεις που θα μπορούσαν να εμφανιστούν.
4. Στις 11.02 ο Α. Κυριακόπουλος δημοσίευσε την απάντηση του με την προσθήκη των υστερόγραφων .
Την ίδια περίπου απάντηση την έστειλε ξανά στις 12.04
5. Στη συνέχεια στις 12.08 διέγραψε την αρχική του απάντηση και τώρα βλέπω στη θέση της μια αγκύλη .
Διαβάζοντας τον κανονισμό ( είμαι καινούριος στην παρέα ) είδα ότι δεν επιτρέπεται να ανεβάζουμε παρεμφερή μηνύματα .
Με δεδομένο ότι ο κύριος Κυριακόπουλος το γνωρίζει συμπεραίνω ότι κάτι δεν του άρεσε στο αρχικό του μήνυμα .
Τελικό συμπέρασμα : σε όλους μας έμεινε μία γεύση του " ανικανοποίητου" ...
Φιλικά
Χρήστος
Χρήστος Καρδάσης
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4454
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Απορία
Καλή σας μέρα
Χρήστο ευχαριστούμε για την επισήμανση. Το μετέωρο μήνυμα με την αγκύλη (δεν ξέρω πως προήλθε, ίσως από εσφαλμένο χειρισμό) διαγράφηκε και το μήνυμα του Αντώνη Κυριακόπουλου ξαναπεράστηκε χωρίς την αυτοαναφορά που είχε. Νομίζω ότι τώρα η ανάγνωση των μηνυμάτων είναι ευχερέστερη
Πάντως, προς Θεού, δεν είναι θέμα παραβίασης του κανονισμού. Ένα άδειο μήνυμα δεν είναι επανάληψη κάποιου άλλου. Και φυσικά ο καθένας μας μπορεί να τροποποιήσει ένα μήνυμα του ή να προσθέσει κάτι σε αυτό. Φυσικά για ευνόητους λόγους τροποποιήσεις σε εκφωνήσεις προβλημάτων πρέπει να ακολουθούνται και από σχετική ενημέρωση για να μην παιδευόμαστε άδικα.
Μαυρογιάννης
Χρήστο ευχαριστούμε για την επισήμανση. Το μετέωρο μήνυμα με την αγκύλη (δεν ξέρω πως προήλθε, ίσως από εσφαλμένο χειρισμό) διαγράφηκε και το μήνυμα του Αντώνη Κυριακόπουλου ξαναπεράστηκε χωρίς την αυτοαναφορά που είχε. Νομίζω ότι τώρα η ανάγνωση των μηνυμάτων είναι ευχερέστερη
Πάντως, προς Θεού, δεν είναι θέμα παραβίασης του κανονισμού. Ένα άδειο μήνυμα δεν είναι επανάληψη κάποιου άλλου. Και φυσικά ο καθένας μας μπορεί να τροποποιήσει ένα μήνυμα του ή να προσθέσει κάτι σε αυτό. Φυσικά για ευνόητους λόγους τροποποιήσεις σε εκφωνήσεις προβλημάτων πρέπει να ακολουθούνται και από σχετική ενημέρωση για να μην παιδευόμαστε άδικα.
Μαυρογιάννης
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
- Α.Κυριακόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 988
- Εγγραφή: Κυρ Ιαν 04, 2009 9:49 am
- Τοποθεσία: ΧΟΛΑΡΓΟΣ
Re: Απορία
Αγαπητέ Χρήστο (Καρδάση).ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ έγραψε:Καλημέρα σε όλους ! Αν παρακολουθήσουμε χρονικά τις απαντήσεις στο μήνυμα του Χρήστου Λαζαρίδη που ανέβηκε στις 8.19 θα δούμε τα εξής
1. Η απάντηση μου δόθηκε στις 8.43 κυρίως ως προς την ύπαρξη ισοδυναμίας .
2. Ο συνάδελφος hsiodos στις 9.24 συμπλήρωσε με τους ποσοδείκτες και νομίζω ολοκληρώθηκε ως προς το παράδειγμα που ζήτησε ο Χρήστος Λαζαρίδης .
3. Ο Λεωνίδας στις 10.01 το γενίκευσε με απαντήσεις σε άλλες περιπτώσεις που θα μπορούσαν να εμφανιστούν.
4. Στις 11.02 ο Α. Κυριακόπουλος δημοσίευσε την απάντηση του με την προσθήκη των υστερόγραφων .
Την ίδια περίπου απάντηση την έστειλε ξανά στις 12.04
5. Στη συνέχεια στις 12.08 διέγραψε την αρχική του απάντηση και τώρα βλέπω στη θέση της μια αγκύλη .
Διαβάζοντας τον κανονισμό ( είμαι καινούριος στην παρέα ) είδα ότι δεν επιτρέπεται να ανεβάζουμε παρεμφερή μηνύματα .
Με δεδομένο ότι ο κύριος Κυριακόπουλος το γνωρίζει συμπεραίνω ότι κάτι δεν του άρεσε στο αρχικό του μήνυμα .
Τελικό συμπέρασμα : σε όλους μας έμεινε μία γεύση του " ανικανοποίητου" ...
Φιλικά
Χρήστος
Δεν με ενδιαφέρει τι υπονοείς με αυτά που γράφεις. Δεν διεκδικώ κανένα τίτλο. Αν όμως με αυτά που γράφεις ικανοποιήσε, εγώ δεν έχω λόγους να σε δυσαρεστήσω. Μάθε τώρα ποια είναι η πραγματικότητα:
• Όταν έγραψα το πρώτο μήνυμα διαπίστωσα ότι είχα κάνει ένα ασήμαντο ορθογραφικό λάθος ( μετά από μια τελεία δεν άρχιζα με κεφαλαίο). Το είδα αμέσως. Στην προσπάθειά μου να το διορθώσω ( λόγω ηλικίας δεν είμαι και τόσο καλός στα κομπιούτερ ) φαίνεται ότι πάτησα λάθος κουμπιά και εκτός από το μήνυμα με τη διόρθωση που έκανα, εμφανίστηκε πάλι το πρώτο μήνυμα(αυτό το είχα πάθει και στο παρελθόν). Η διαφορά μεταξύ των δύο μηνυμάτων ήταν ένα γράμμα, το έψιλον. Στο πρώτο ήταν πεζό στο δεύτερο το έκανα κεφαλαίο. Αυτό μπορούν να το βεβαιώσουν οι συνάδελφοι που είδαν το πρώτο μήνυμα. Μετά διέγραψα το πρώτο μήνυμα(και ειδοποίησα τον Κώστα τον Σερίφη να το διαγράψει τελείως. Πράγμα που όπως είδα το έκανε σήμερα ή μήπως το έκανε κάποιος άλλος;) Αυτή είναι όλη η ιστορία.Βεβαίως, θα μπορούσε να είχα κάνει και μαθηματικό λάθος. Στην περίπτωση αυτή όμως δεν είχα κάνει και να σου πω το γιατί. Πριν μερικά χρόνια είχα βγάλει τρία βιβλία για τους μαθητές Β΄ Λυκείου, Θετικής Κατευθύνσεις( εκδόσεις Πατάκη):
Τόμος 1: « Διανύσματα. Ευθεία στο επίπεδο».
Τόμος 2: « Κωνικές τομές».
Τόμος 3: « Θεωρία αριθμών».
Λοιπόν, στον πρώτο τόμο και στη σελίδα 240 έχω λυμένη μια εντελώς όμοια άσκηση. Στο μήνυμα δεν έκανα τίποτα περισσότερο από το να αντιγράψω τη λύση από το βιβλίο αυτό και να προσθέσω μερικές επεξηγήσεις.
• Με αυτά που σου γράφω δεν θέλω να σου πω ότι είμαι αλάνθαστος. Στην περίπτωση όμως αυτή ,έτσι έγιναν τα πράγματα. Όλοι κάνουμε λάθη. Και τον χώρο αυτόν του mathematica τον θεωρώ σημαντικό, ακριβώς επειδή μας δίνεται η ευκαιρία να διορθώνουμε ο ένας τον άλλον, ώστε συνεχώς να γινόμαστε καλύτεροι. Και να σου πω και κάτι; Κατά τη γνώμη μου, η μεγαλύτερη «μαγκιά» ενός συναδέλφου θα είναι να εκμεταλλευτεί αυτό το χώρο και χωρίς εγωισμούς να τακτοποιήσει στο μυαλό του όσο γίνεται περισσότερα πράγματα στα μαθηματικά. Κανένας δεν τα ξέρει όλα. Πολλές φορές έχω πει ότι:« Ο εγωισμός ενός μαθηματικού είναι αντιστρόφως ανάλογος με τις γνώσεις του».
• Και να σου πω και κάτι τελευταίο. Κατά τη γνώμη μου, ένας άνθρωπος είναι «προοδευτικός» όταν δεν είναι φανατικός και σκέφτεται ότι υπάρχει περίπτωση να μην τα έχει σωστά στο μυαλό του ( μιλάω γενικά και όχι μόνο για τα μαθηματικά) και όταν καταλάβει ό,τι κάπου κάνει λάθος, άμεσες αλλάζει θέση. Είναι πολύ σπουδαίο πράγμα να μπορεί κάποιος να κάνει «ρήξεις» με το παρελθόν. Δεν είναι εύκολο. Θαυμάζω τους ανθρώπους που έχουν αυτή την ευελιξία. Από τέτοιους ανθρώπους προόδευσε η ανθρωπότητα. Όχι μόνο στις επιστήμες. Παντού.
• Σε ευχαριστώ που μου έδωσες την ευκαιρία να πω μερικές σκέψεις μου.
(Όλα αυτά που γράφω δεν απευθύνονται σε εσένα. Μιλάω γενικά)
Να είσαι πάντα καλά.
Με εκτίμηση και αγάπη
τελευταία επεξεργασία από Α.Κυριακόπουλος σε Κυρ Ιουν 14, 2009 6:45 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Αντώνης Κυριακόπουλος
•Ο έξυπνος παραδέχεται •Ο πονηρός δικαιολογείται •Ο βλάκας επιμένει
•Ο έξυπνος παραδέχεται •Ο πονηρός δικαιολογείται •Ο βλάκας επιμένει
- ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ
- Δημοσιεύσεις: 704
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2009 7:07 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΒΑΛΑ
Re: Απορία
Καλησπέρα σε όλους . Η παρέμβαση του γενικού συντονιστή με κάλυψε πλήρως .
Συμφωνώ στα περισσότερα από όσα έγραψε ο Α . Κυριακόπουλος στις τελευταίες παραγράφους
Φιλικά
Χρήστος
Συμφωνώ στα περισσότερα από όσα έγραψε ο Α . Κυριακόπουλος στις τελευταίες παραγράφους
Φιλικά
Χρήστος
τελευταία επεξεργασία από ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ σε Κυρ Ιουν 14, 2009 6:40 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Χρήστος Καρδάσης
- ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ
- Δημοσιεύσεις: 704
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2009 7:07 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΒΑΛΑ
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης