Εις άτοπο απαγωγή

Συντονιστής: s.kap

Aladdin
Δημοσιεύσεις: 162
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 05, 2010 2:25 pm

Εις άτοπο απαγωγή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Aladdin » Κυρ Νοέμ 13, 2011 9:32 am

Καλημέρα.
Γνωρίζουμε ότι σε απόδειξη (χρησιμοποιώντας τη μέθοδο απαγωγή σε άτοπο) υποθέτουμε πως δεν ισχύει αυτό που θέλουμε να αποδείξουμε και χρησιμοποιώντας αληθείς προτάσεις φθάνουμε σε ένα συμπέρασμα που έρχεται σε αντίθεση με αυτό που γνωρίζουμε ότι ισχύει.
Ερώτηση 1. Όταν ξεκινάμε την απόδειξη της συνεπαγωγής \displaystyle{p \Rightarrow q} τότε η πρόταση " 'εστω ότι δεν ισχύει η q" είναι αληθής ;
Ερώτηση 2. Αφού γράψουμε " 'εστω ότι δεν ισχύει η q" κάνουμε αληθείς ισχυριμούς. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε στα ενδιάμεσα βήματα ξανά την πρόταση " δεν ισχύει η q";
Παράδειγμα από λύση μαθητή
Άσκηση : Δίνεται περιττή συνάρτηση \displaystyle{f:R \to R} για την οποία ισχύει ότι \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) =  + \infty }. Να αποδείξετε ότι το όριο \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x)} δεν υπάρχει.
Λύση: Έστω ότι το όριο της f στο 0 υπάρχει
τότε \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) =  + \infty }
τότε \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \left[ { - f(y)} \right] =  + \infty }
τότε
επειδή το όριο της f στο 0 υπάρχει \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} [ - f(y)] =  - \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} f(y) =  + \infty }
τότε \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} f(y) =  - \infty }
άτοπο

Το ερώτημα μου είναι αν ενώ ξεκινήσαμε με την πρόταση " Έστω ότι το όριο της f στο 0 υπάρχει " μπορούμε να την χρησιμοποιήσουμε ξανά, όπως κάναμε στην 3η συνεπαγωγή
Πέτρος


Νίκος Ζαφειρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 283
Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
Επικοινωνία:

Re: Εις άτοπο απαγωγή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Ζαφειρόπουλος » Κυρ Νοέμ 13, 2011 10:08 am

1. Η πρόταση \bar {q},~~ είναι αληθής εφ'όσον υποθέσαμε ότι η q είναι ψευδής
2. Η πρόταση \bar {q},~~ είναι αληθής κατά την διάρκεια της αποδεικτικής διαδικασίας και μπορεί να ξαναχρησιμοποιηθεί .

Με \bar {q},~~ συμβολίζω την άρνηση της q,~~


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11346
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εις άτοπο απαγωγή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Νοέμ 13, 2011 11:28 am

Μαθηματικός έγραψε: Ερώτηση 1. Όταν ξεκινάμε την απόδειξη της συνεπαγωγής \displaystyle{p \Rightarrow q} τότε η πρόταση " 'εστω ότι δεν ισχύει η q" είναι αληθής ;
Ναι, με την έννοια ότι την υποθέτουμε (προσωρινά), αληθή.
Μαθηματικός έγραψε: Ερώτηση 2. Αφού γράψουμε " 'εστω ότι δεν ισχύει η q" κάνουμε αληθείς ισχυριμούς. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε στα ενδιάμεσα βήματα ξανά την πρόταση " δεν ισχύει η q ;
Βεβαίως και μπορούμε
Μαθηματικός έγραψε:
Παράδειγμα από λύση μαθητή <...>
Στον μαθητή :10sta10:

Φιλικά,

Μιχάλης


Ασλανίδης
Δημοσιεύσεις: 9
Εγγραφή: Τετ Απρ 23, 2014 1:18 pm

Re: Εις άτοπο απαγωγή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ασλανίδης » Τετ Απρ 22, 2015 10:20 pm

Αν p:A και q:A τότε p⇒q:A και οχιp:Ψ και οχιq:Ψ τότε οχιq⇒οχιp:A τότε (p⇒q)⇔(οχιq⇒οχιp):Α
Αν p:A και q:Ψ τότε p⇒q:Ψ και οχιp:Ψ και οχιq:Α τότε οχιq⇒οχιp:Ψ τότε (p⇒q)⇔(οχιq⇒οχιp):Α
Αν p:Ψ και q:A τότε p⇒q:A και οχιp:Α και οχιq:Ψ τότε οχιq⇒οχιp:A τότε (p⇒q)⇔(οχιq⇒οχιp):Α
Αν p:Ψ και q:Ψ τότε p⇒q:A και οχιp:Α και οχιq:Α τότε οχιq⇒οχιp:A τότε (p⇒q)⇔(οχιq⇒οχιp):Α
Άρα (p⇒q)⇔(οχιq⇒οχιp) ταυτολογία δηλαδή πάντα αληθής.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Μαθηματική απόδειξη & Λογική”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης