Παρατηρώ ή αποδεικνύω;

[Γιώργος Ρίζος]

Με αφορμή το θέμα ΕΔΩ

Α) Το είναι το μέσο του .

Β) Τα τέσσερα μικρά κυκλικά τμήματα είναι ίσα .

Γ) Το εμβαδόν του πέλεκυ είναι ίσο με εκείνο του μεγάλου κυκλικού τμήματος

Δηλαδή :

Συσχετίζοντας το με το παρόμοιο θέμα ΕΔΩ από διαγωνισμό Καγκουρό, μεταφέρω εδώ ένα προβληματισμό από συζητήσεις με συναδέλφους:

Χρειάζεται απόδειξη η διατύπωση της απάντησης στο (Α) και στο (Β);
Αρκεί η αναφορά π.χ. "λόγω συμμετρίας" ή "αν στρέψουμε το σχήμα κατά ;
Πού σταματούν τα όρια του "προφανούς" και πού ξεκινά η αναγκαιότητα για τεκμηρίωση;

Σαφώς, σε ένα διαγωνισμό, όπως το Καγκουρό, όπου έχεις δυνατότητα πολλαπλής επιλογής αρκεί ο εντοπισμός της σωστής απάντησης με οποιοδήποτε τρόπο, ακόμα και με δοκιμές μεταξύ των πέντε προτεινόμενων απαντήσεων.
Όμως, σε μια ευθεία διατύπωση: "Να δείξετε..., Να βρείτε... κ.λπ." η αποδεικτική διαδικασία εξαρτάται από το επίπεδο (π.χ. σε ποια τάξη βρίσκεται) του λύτη;

Τα παραπάνω ερωτήματα πάντα με απασχολούσαν και με απασχολούν. Ειδικότερα η "τάση" που βλέπω σε σχολικά μαθηματικά άλλων χωρών, όπου εκλείπει η διαδικασία της απόδειξης. Κάτι που προωθείται και εδώ, π.χ. με το ύφος των θεμάτων του προγράμματος PISA και την "θεοποίησή" τους, ως την πανάκεια που θα λύσει όλα τα προβλήματα της εκπαίδευσής μας.

Θα ήθελα να ακούσω τη γνώμη σας.

[Μπάμπης Στεργίου]

Γιώργο, εύλογος ο προβληματισμός σου, όπως και πολλών άλλων, μεταξύ τους και εγώ.

Η συμμετρία είναι μια αυστηρή μαθηματική έννοια, που όπως και τόσες άλλες διδάσκεται επιφανειακά. Αφού λοιπόν λείπει η σωστή θεωρητική θεμελίωση που συμπληρώνει την αρχική διαισθητική και εποπτική σχέση με αυτή την έννοια, λογικό είναι να αναρωτιέται κανείς τι είναι τελικά αυτό που προκύπτει από τη συμμετρία και πώς. Ακόμα και μερικές ιδιότητες του ισοπλεύρου τριγώνου ή του κύκλου που πηγάζουν προφανώς από τις συμμετρίες του σχήματος, φαντάζουν αυθαίρετες όταν ''αιτιολογούνται '' με το γενικό όρο ''λόγω συμμετρίας ''.

Μένει λοιπόν στη δική μας προσωπική πια κρίση να εκτιμήσουμε ποιες αποδείξεις είναι όντως ''λόγω συμμετρίας '' και ποιες όχι. Έχω πολλά παραδείγματα στο μυαλό μου, αλλά ας μην επεκταθώ για την ώρα.
Να σημειώσουμε απλά, ότι ως μαθηματικοί, πρέπει να δεχόμαστε τέτοιου είδους αποδείξεις από τα παιδιά, ακόμα και αν ξέρουμε ότι αυτά αδυνατούν να δώσουν αυστηρή απόδειξη με τις ιδότητες της συμμετρίας.Ήδη, το γεγονός ότι ένα παιδί διακρίνει συμμετρίες σε ένα σχήμα, είναι μια καλή ένδειξη ότι έχει μαθηματική κρίση και δεν πρέπει να το απογοητεύσουμε .Από κει και πέρα, είναι στο χέρι μας να του δείξουμε τις πιο σχολικές προσεγγίσεις, που βασίζονται στα σχετικά θεωρήματα.
Ας μην ξεχνάμε ότι οι ιδιότητες των μετασχηματισμών αποδεικνύονται με βάση το ίδιο αξιωματικό σύστημα, εκτός κι αν κάποιος κάνει αξιωματική θεμελίωση με μετασχηματισμούς, οπότε κάποια θεωρήματα έρχονται ως συνέπειες αυτών με διαφορετικό πια τρόπο.

Καταλαβαίνω ότι αυτό που φοβάσαι είναι ότι αν αρχίσουν όλοι μαθητές να πετάνε ένα '' από τη συμμετρία παίρνουμε '' , τότε κάπου χαλάει η ροή του μαθήματος, διότι δεν είναι ξεκάθαρο τι τελικά μπορεί να πάρουμε από τη συμμετρία και τι όχι ! Σε τέτοιες περιπτώσεις, πάμε την απόδειξη λίγο πιο πίσω, αρχίζοντας από πιο χαμηλά και προσπαθούμε να αποδείξουμε αυτό που η συμμετρία υποδεικνύει αλλά που ....δεν αποκνύει με στρωτό και κλιμακωτό τρόπο.Κι αν ο μαθητής επιμένει ''κύριε, γιατί να το αποδείξουμε , αφού προκύπτει από τη συμμετρία '',δεν έχουμε παρά να του πούμε απλά :
'' ας δούμε έναν ακόμα τρόπο ! ''.
Δεν βλέπω για την ώρα κάτι πιο ευέλικτο για να μην τον κάνουμε να παρατήσει την προσπάθεια !

Μπάμπης

[Σίλης]

Το ερώτημα «πού θέτουμε τα όρια του προφανούς στα μαθηματικά» μου θυμίζει το ερώτημα «πού θέτουμε τα όρια της σάτιρας στην τέχνη». Και για να παραφράσω τον Τζίμη Πανούση, τα όρια του προφανούς (πρέπει να) τα θέτει κάθε φορά η τάξη: άν ένας ισχυρισμός είναι προφανής (προκύπτει απο «παρατήρηση») για την τάξη, τότε τέρμα· άν ομως κάποιοι δέν μπορούν να τον δούν άμεσα, τότε χρειάζεται να επιχειρηματολογήσει κανείς (να δώσει απόδειξη).

Δηλαδή συμφωνώ πέρα για πέρα με τον Μπάμπη Στεργίου επάνω: άν ο άλλος έχει ακριβές μαθηματικό αισθητήριο, δέν χρειάζεται να το ψειρίζεις. Άν ωστόσο αρχίσουν να ακούγονται στην τάξη εσφαλμένες χρήσεις του «προφανώς» (που προφανώς, δέν αφορά μόνο ισχυρισμούς που αφορούν την έννοια της συμμετρίας), δηλαδή άν ακούσεις «προφανώς/απο συμμετρία/παρατηρούμε οτι/ώς γνωστόν(!)/απο τριγωνική ανισότητα/εξορισμού(!)/απο θουμουκουέ... ισχύει P» και το P ομως είναι λάθος :-), τότε αρχίζει και το ωραίο: να καταλάβεις τί ακριβώς έχει κάτσει στραβά και θολά στο μυαλό του άλλου, ωστε να το ξεκαθαρίσεις.

(Ελπίζω νά 'ναι όκέι που ξανανεβάζω παλιό θέμα επάνω, δέν είμαι σίγουρος.)