ΛΑΘΟΣ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ;

Συντονιστής: s.kap

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4388
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

ΛΑΘΟΣ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Νοέμ 25, 2009 4:30 pm

Έχοντας κλείσει ένα χρόνο παρακολούθησης και συμμετοχής στις συζητήσεις του mathematica (από την εποχή του pathfinder) βλέπω πολλά θέματα, που πριν τα προσπερνούσα αδιάφορος, με άλλο μάτι.
Π.χ. στη σελίδα 165 Μαθηματικά Θετικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου δείτε το ερώτημα 4iii.
orio.png
orio.png (11.6 KiB) Προβλήθηκε 3840 φορές
Πολλές χρονιές λύσαμε αυτήν την άσκηση, δίχως να σταθούμε σε κάτι. Οι μαθητές απαντούσαν: "Ψευδής, γιατί το όριο της f στο 1 δεν υπάρχει, αφού τα πλευρικά είναι διαφορετικά".

Κι όμως.
Έστω η πρόταση "Το όριο της f στο 1 είναι 2". Η άρνησή της, νομίζω ότι είναι: "Το όριο της f στο 1 είναι διάφορο του 2". Δηλαδή με τη διατύπωση της ερώτησης, θεωρείται δεδομένη η ύπαρξη του ορίου.
Η πρόταση: "Δεν υπάρχει το όριο της f στο 1" είναι η άρνηση της πρότασης: "Υπάρχει το όριο της f στο 1".

Σίγουρα δεν περιμένουμε από τους μαθητές να εντοπίσουν και να σχολιάσουν το σημείο αυτό.
Θα ήθελα τη γνώμη σας: Είναι σωστός ο παραπάνω συλλογισμός;
Κι αν ναι, αγγίζω τα όρια υποχονδριασμού με τέτοιους προβληματισμούς ή να προτείνουμε να αντικατασταθεί η εκφώνηση του 4iii με τη διατύπωση: Υπάρχει το \diplaystyle lim_{x\rightarrow 1}f(x);

Γιώργος Ρίζος


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6819
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: ΛΑΘΟΣ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τετ Νοέμ 25, 2009 4:43 pm

Γιώργο γειά χαρά!
Με την δική μου γρήγορη ματιά, η άρνηση της πρότασης '' το όριο της f στο 1 είναι 2'' , είναι ''το όριο της f στο 1 είναι διαφορετικό του 2 ή δεν υπάρχει''.
Νομίζω όμως πως αυτή είναι καλύτερα δουλειά των εμπειρότερων. Αναμένουμε!


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: ΛΑΘΟΣ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τετ Νοέμ 25, 2009 5:12 pm

Το ότι το όριο της f στο 1 ισούται με 2 περιγράφεται από το εξής:

\forall \varepsilon>0\,\,\exists \delta>0:\,\,(x\in D_{f}\wedge\,0<|x-1|<\delta)\Rightarrow|f(x)-2|<\varepsilon.

Η άρνηση της παραπάνω πρότασης είναι:
\exists \varepsilon>0:\,\,\forall \delta>0: \,\,(\exists\,\,x_{0}:(x_{0}\in D_{f}\wedge0<|x_{0}-1|<\delta))\wedge|f(x_{0})-2|\geq\varepsilon.

Η άρνηση ικανοποιείται για \varepsilon=\frac{1}{2}, ψηφίζω συνεπώς ότι η πρόταση είναι ψευδής :)
τελευταία επεξεργασία από Κοτρώνης Αναστάσιος σε Τετ Νοέμ 25, 2009 7:56 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΛΑΘΟΣ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Τετ Νοέμ 25, 2009 6:10 pm

Γιώργο γράφοντας το βιβλίο ότι το όριο της f(x) είναι 2 όταν το χ τείνει στο 1, εγώ καταλαβαίνω δύο πράγματα:

α) Ότι αρχικά υπάρχει το όριο της f στο 1 και
b) Κατά δεύτερον ισούται με 2

όμως το (α) δεν ισχύει [άρα πόσο μάλλον και το (β)...]. Οι μαθητές έχουν ήδη διαφωνήσει στο (α)...

Αν και η προσέγγιση του Αναστάση με εψιλοντικό ορισμό νομίζω ότι είναι η κατάλληλη...


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4244
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΛΑΘΟΣ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τετ Νοέμ 25, 2009 6:48 pm

chris_gatos έγραψε:Γιώργο γειά χαρά!
Με την δική μου γρήγορη ματιά, η άρνηση της πρότασης '' το όριο της f στο 1 είναι 2'' , είναι ''το όριο της f στο 1 είναι διαφορετικό του 2 ή δεν υπάρχει''.
Δεν βλέπω γιατι μπορεί να είναι κάτι άλλο απο αυτό που λέει ο Χρήστος.
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2542
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: ΛΑΘΟΣ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ;

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Τρί Ιουν 08, 2010 8:13 am

Με τον ένα (χρήστος) ή τον άλλο τρόπο (αναστάσης) η πρόταση είναι ψευδής.
Ο συμβολισμός του ορίου εννοεί το βιβλίο ότι ισχύει όπου έχει νόημα...


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8222
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: ΛΑΘΟΣ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ;

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Ιουν 08, 2010 11:37 am

Rigio έγραψε:Δηλαδή με τη διατύπωση της ερώτησης, θεωρείται δεδομένη η ύπαρξη του ορίου.
Γιώργο το λάθος βρίσκεται εδώ. Δεν θεωρείται δεδομένη η ύπαρξη του ορίου. Η πρόταση \displaystyle{ \lim_{x\to 2} f(x) = 3} λέει ότι το όριο της f στο x=2 υπάρχει και ισούται με 3. Αν λοιπόν το όριο δεν υπάρχει η πρόταση είναι λανθασμένη.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4388
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: ΛΑΘΟΣ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ;

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Ιουν 08, 2010 1:56 pm

Καλά :!:, που το θυμηθήκατε από τον περασμένο Νοέμβρη (πέντε μήνες προ Δ.Ν.Τ.)!

Κατάλαβα την απάντηση του Χρήστου (και όσες ακολούθησαν).

Δέχομαι τη διαφορά μεταξύ κοινής Λογικής και Μαθηματικής Λογικής (που έχει επισημανθεί σε άλλες συζητήσεις) και δεν επιμένω στην παρατήρησή μου.

Θα χαιρόμουν να έβλεπα με παραδείγματα κάποια σημεία όπου εντοπίζονται τέτοιες διαφορές.

Π.χ. (νομίζω ότι) στην καθημερινή ζωή στην πρόταση: "Ο γιος του Νίκου Τ... λέγεται Γιώργος", η αντίθετή της είναι ότι "Ο γιος του Νίκου Τ... δεν λέγεται Γιώργος".
Στον κόσμο των Μαθηματικών, θα μπορούσαμε να πούμε ότι η αντίθετη της παραπάνω πρότασης είναι: "Ο γιος του Νίκου Τ... δεν λέγεται Γιώργος ή ο Νίκος Τ.... δεν έχει γιο ή ... δεν υπάρχει Νίκος Τ...";

Και κάτι ακόμα, αν η διατύπωση ήταν: Αν υπάρχει το \displaystyle{ \lim_{x\to 2} f(x)}, τότε ισούται με 3, τότε αυτή η πρόταση είναι αληθής, έτσι;

Γιώργος Ρίζος


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5333
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: ΛΑΘΟΣ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ;

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τρί Ιουν 08, 2010 6:02 pm

Γιώργο, η ερώτηση του βιβλίου μοιάζει με κάτι σαν αυτό :

'' Η τετραγωνική ρίζα του -4 είναι το 3 ''.

Και εδώ έχουμε δύο προτάσεις στην ουσία !

Στην πρόταση, ας την ονομάσουμε R , του βιβλίου που είναι στη φυσική γλώσσα , δίνονται στην ουσία δύο προτάσεις :

p: Υπάρχει το όριο της συνάρτησης.

q: Το όριο είναι ίσο με 2 .

Έτσι , όπως ανέφερε και ο Χρήστος , έχουμε :

R : p και q

Για να είναι αληθής η R πρέπει και οι δύο προτάσεις p, q να είναι αληθείς. Η πρώτη είναι ήδη ψευδής και έτσι η αρχική πρόταση R είναι ψευδής .
Θα το ξανασκεφτώ μήπως κρύβεται και κάτι άλλο, αλλά για την ώρα δεν το βλέπω.

Μπάμπης


nik21
Δημοσιεύσεις: 103
Εγγραφή: Σάβ Μάιος 29, 2010 2:31 am
Τοποθεσία: Χαλκίδα

Re: ΛΑΘΟΣ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ;

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nik21 » Παρ Μαρ 01, 2013 10:42 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Θα χαιρόμουν να έβλεπα με παραδείγματα κάποια σημεία όπου εντοπίζονται τέτοιες διαφορές.
Αν και σχεδόν τρία χρόνια μετά :P , θέτω κάτι λίγο διαφορετικό:

"Αν η παράγωγος μιας συνάρτησης στο 1 δεν είναι 0", τότε θα συμπεράνουμε ότι :

α) η παράγωγος της συνάρτησης στο 1 είναι κάποιος άλλος πραγματικός αριθμός; ή ότι
β) η παράγωγος της συνάρτησης στο 1 είναι κάποιος άλλος πραγματικός αριθμός ή η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο 1;


Άβαταρ μέλους
Τηλέγραφος Κώστας
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1018
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:06 am
Τοποθεσία: ΦΕΡΕΣ-ΑΛΕΞ/ΠΟΛΗ
Επικοινωνία:

Re: ΛΑΘΟΣ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ;

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τηλέγραφος Κώστας » Παρ Μαρ 01, 2013 10:57 pm

Ας τα πάρουμε από την αρχή .
Γράφοντας \displaystyle{ \lim_{x\to 2} f(x)}, τι εννοούμε ;


Φιλικά
Τηλέγραφος Κώστας
\displaystyle{
F(x) = \int_a^x {f(t)dt} 
}
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: ΛΑΘΟΣ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ;

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Σάβ Μαρ 02, 2013 1:23 pm

Είναι ένας συμβολικός τρόπος γραφής για την πρόταση "Οι τιμές της συνάρτησης f στο x όταν το x πλησιάζει το 2".


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Απάντηση

Επιστροφή σε “Μαθηματική απόδειξη & Λογική”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης