Άσκηση Μαθηματική επαγωγή

Συντονιστής: s.kap

Άβαταρ μέλους
evry
Δημοσιεύσεις: 11
Εγγραφή: Τετ Μάιος 22, 2013 12:53 pm

Άσκηση Μαθηματική επαγωγή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από evry » Τετ Φεβ 03, 2016 1:42 pm

Καλημέρα, δεν ήξερα που να ποστάρω αυτή την άσκηση, και την έβαλα εδώ επειδή έχει σχέση με μαθηματική επαγωγή.
Νομίζω όμως ότι είναι σε λυκειακό επίπεδο. Μου την έφερε ένας μαθητής στο σχολείο και μπορεί να την έχει αντιγράψει λάθος

Λέει να αποδείξουμε ότι:
\sqrt[n]{n!} \leq \frac{n+1}{2}

Το έχω φτάσει μέχρι τέλος στο k+1 επαγωγικό βήμα αλλά ή κάνω λάθος στις πράξεις ή κάτι μου διαφεύγει
Ύψωσα την πρώτη σχέση στην n-οστή και την χρησιμοποίησα στο k+1 βήμα αλλά μετά κάτι δεν πάει καλά?
καμιά ιδέα?
τελευταία επεξεργασία από Demetres σε Τετ Φεβ 03, 2016 2:02 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Διόρθωση latex


Know how to solve every problem that has been solved.
--- Richard Feynman
Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: Άσκηση Μαθηματική επαγωγή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Τετ Φεβ 03, 2016 1:51 pm

Χωρίς επαγωγή με ΑΜ-GM.

\displaystyle{\sqrt[n]{n!} = \sqrt[n]{1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot (n-1)\cdot n} \leq \frac{1+2+3+\ldots + n-1 + n}{n} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n}=\frac{n+1}{2}}


What's wrong with a Greek in Hamburg?
Άβαταρ μέλους
evry
Δημοσιεύσεις: 11
Εγγραφή: Τετ Μάιος 22, 2013 12:53 pm

Re: Άσκηση Μαθηματική επαγωγή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από evry » Τετ Φεβ 03, 2016 1:55 pm

Ευχαριστώ πολύ αλλά επειδή το ξεκίνησα με επαγωγή και έχω κολλήσει τώρα
βγαίνει και με επαγωγή ή τσάμπα παιδεύομαι?


Know how to solve every problem that has been solved.
--- Richard Feynman
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11358
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άσκηση Μαθηματική επαγωγή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Φεβ 03, 2016 1:58 pm

evry έγραψε:Καλημέρα, δεν ήξερα που να ποστάρω αυτή την άσκηση, και την έβαλα εδώ επειδή έχει σχέση με μαθηματική επαγωγή.
Νομίζω όμως ότι είναι σε λυκειακό επίπεδο. Μου την έφερε ένας μαθητής στο σχολείο και μπορεί να την έχει αντιγράψει λάθος

Λέει να αποδείξουμε ότι:
\sqrt[n]{n!} \leq \frac{n+1}{2}

Το έχω φτάσει μέχρι τέλος στο κ+1 επαγωγικό βήμα αλλά ή κάνω λάθος στις πράξεις ή κάτι μου διαφεύγει
Ύψωσα την πρώτη σχέση στην ν-οστή και την χρησιμοποίησα στο κ+1 βήμα αλλά μετά κάτι δεν πάει καλά?
καμιά ιδέα?
Είναι πιο απλό να αποδείξεις επαγωγικά την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ και μετά να την χρησιμοποιήσεις για άμεση απόδειξη του παραπάνω (*).
Αν δεν σου αρέσει αυτό, μπορείς να μιμηθείς λέξη προς λέξη την παραπάνω απόδειξη αλλά αντί για γενικά a_n να έχει n

(*) Από ΑΜ-ΓΜ είναι \sqrt[n]{n!} =\sqrt[n]{1\cdot 2 \cdot ... \cdot n}    \leq \frac {1+2+...+n}{n}=     \frac{n+1}{2}


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2580
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Άσκηση Μαθηματική επαγωγή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Φεβ 03, 2016 2:06 pm

Με απλή επαγωγή χρειάζεται στο τέλος η ανισότητα Bernoulli.
Ισως αυτό δεν βλέπεις


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8222
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Άσκηση Μαθηματική επαγωγή

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Φεβ 03, 2016 2:08 pm

Βγαίνει και με επαγωγή.

Αν υποθέσουμε ότι \displaystyle{ k! \leqslant \frac{(k+1)^k}{2^k}} τότε στο επαγωγικό βήμα αρκεί να δείξουμε ότι

\displaystyle{ \frac{(k+1)^k}{2^k} \times (k+1) \leqslant \frac{(k+2)^{k+1}}{2^{k+1}}.}

Ισοδύναμα αρκεί το \displaystyle{ \left(1 + \frac{1}{k+1} \right)^{k+1} \geqslant 2} το οποίο όντως ισχύει. [Π.χ. εφαρμόζοντας το διωνυμικό θεώρημα στο αριστερό μέλος.]


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11358
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άσκηση Μαθηματική επαγωγή

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Φεβ 03, 2016 2:13 pm

Και αλλιώς, μπορείς να δείξεις επαγωγικά ότι για a>0 είναι (1+a)^n\ge 1+na\, (*) (απλό). Με χρήση αυτού, για το επαγωγικό βήμα στην αρχική ερώτηση, δηλαδή απόδειξη του

\displaystyle{ \left  (\frac {n+1}{2}\right )^n (n+1)\le  \left  (\frac {n+2}{2}\right )^{n+1}}

ισοδύναμα \displaystyle{ 2 (n+1)^{n+1} \le (n+2)^{n+1} }, ισοδύναμα \displaystyle{  \left  (1+\frac {1}{n+1}\right )^{n+1}\ge 2} , που έπεται αμέσως από την(*)

Το ευκολότερο είναι να λύσεις την άσκηση απευθείας, χωρίς επαγωγή. Το αφήνω ως άσκηση.

Edit: Και οι δύο απαντήσεις μου διασταυρώθηκαν με άλλες. Τις αφήνω ως έχουν...


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11358
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άσκηση Μαθηματική επαγωγή

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Φεβ 03, 2016 6:10 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: Το ευκολότερο είναι να λύσεις την άσκηση απευθείας, χωρίς επαγωγή.
Για να κλείνει το θέμα, και προς όφελος των μαθητών, ας γράψω μία τέτοια απόδειξη. Είναι χωρίς επαγωγή και απλούστερη από ότι οι επαγωγικές.

Από την ανισότητα \sqrt {ab} \le  \frac {a+b}{2} έχουμε

\sqrt {1\cdot n }\le  \frac {n+1}{2}
\,
\sqrt {2\cdot (n-1)}\le \frac {n+1}{2}
\,
\sqrt {3\cdot (n-2)}\le  \frac {n+1}{2}
....
\,
\sqrt {n\cdot 1}\le  \frac {n+1}{2}

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη έχουμε n!\le \left ( \frac {n+1}{2} \right ) ^n, που ισοδυναμεί με την ζητούμενη.


Άβαταρ μέλους
evry
Δημοσιεύσεις: 11
Εγγραφή: Τετ Μάιος 22, 2013 12:53 pm

Re: Άσκηση Μαθηματική επαγωγή

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από evry » Πέμ Φεβ 04, 2016 1:25 pm

Ευχαριστώ πολύ
Εξαιρετικές οι απαντήσεις σας.


Know how to solve every problem that has been solved.
--- Richard Feynman
Απάντηση

Επιστροφή σε “Μαθηματική απόδειξη & Λογική”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης