συνεπαγωγή

Συντονιστής: s.kap

labrosb
Δημοσιεύσεις: 44
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 24, 2013 8:34 pm

συνεπαγωγή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από labrosb » Δευ Απρ 04, 2016 3:05 pm

ποιά η διαφορά μεταξύ της απλής συνεπαγωγής και της λογικής συνεπαγωγής.
Δώστε παραδείγματα.
Τι έχουμε στα μαθηματικά ;


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: συνεπαγωγή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Δευ Απρ 11, 2016 1:17 pm

Πολύ συνοπτικά, η απλή συνεπαγωγή A \implies B είναι μια λογική πρόταση που αληθεύει αν και μόνο αν η A είναι ψευδής ή η B αληθής (ή και τα δύο). Γενικά θα περιέχει και μη λογικούς όρους και η αλήθεια της θα εξαρτάται από το νόημά τους. Π.χ. αν το A σημαίνει "σκέπτομαι" και το B "υπάρχω", είναι αληθής.

Υπάρχουν όμως συνεπαγωγές που αληθεύουν ό,τι κι αν σημαίνουν οι μη λογικοί όροι. Π.χ. "αν αλφεύω και βητεύω, τότε αλφεύω". Αυτές είναι οι ταυτολογικές (ή λογικές) συνεπαγωγές για τις οποίες χρησιμοποιείται συνήθως το σύμβολο A \models B.

Ελπίζω να βοήθησα κάπως,

Δημήτρης


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
labrosb
Δημοσιεύσεις: 44
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 24, 2013 8:34 pm

Re: συνεπαγωγή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από labrosb » Τετ Απρ 13, 2016 8:13 pm

dement έγραψε:Πολύ συνοπτικά, η απλή συνεπαγωγή A \implies B είναι μια λογική πρόταση που αληθεύει αν και μόνο αν η A είναι ψευδής ή η B αληθής (ή και τα δύο). Γενικά θα περιέχει και μη λογικούς όρους και η αλήθεια της θα εξαρτάται από το νόημά τους. Π.χ. αν το A σημαίνει "σκέπτομαι" και το B "υπάρχω", είναι αληθής.
Δηλαδή : 3+4=7\Longrightarrow 3\geq 3 είναι ψευδής;
dement έγραψε:Υπάρχουν όμως συνεπαγωγές που αληθεύουν ό,τι κι αν σημαίνουν οι μη λογικοί όροι. Π.χ. "αν αλφεύω και βητεύω, τότε αλφεύω". Αυτές είναι οι ταυτολογικές (ή λογικές) συνεπαγωγές για τις οποίες χρησιμοποιείται συνήθως το σύμβολο A \models B.

Ελπίζω να βοήθησα κάπως,

Δημήτρης
Στα μαθηματικά που το ,"\Longrightarrow" χρησιμοποιήτε κατακόρως έχουμε απλές συνεπαγωγές;


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: συνεπαγωγή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Πέμ Απρ 14, 2016 9:50 am

labrosb έγραψε:Δηλαδή : 3+4=7\Longrightarrow 3\geq 3 είναι ψευδής;
Διάβασε αυτό που έγραψα. Όχι. Το συμπέρασμα είναι αληθές, οπότε η συνεπαγωγή είναι αληθής.
Στα μαθηματικά που το ,"\Longrightarrow" χρησιμοποιήτε κατακόρως έχουμε απλές συνεπαγωγές;
Ναι. Στα μαθηματικά έχουμε εκ των προτέρων συμφωνήσει σε μια ερμηνεία των μη λογικών όρων (ένα μοντέλο) και βασίζουμε σε αυτήν την αλήθεια ή μη των συνεπαγωγών. Οι ταυτολογίες δεν έχουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον (έξω από το ίδιο το πεδίο της Μαθ. Λογικής φυσικά).


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
labrosb
Δημοσιεύσεις: 44
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 24, 2013 8:34 pm

Re: συνεπαγωγή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από labrosb » Κυρ Απρ 17, 2016 3:34 pm

dement έγραψε:
labrosb έγραψε:Δηλαδή : 3+4=7\Longrightarrow 3\geq 3 είναι ψευδής;
Διάβασε αυτό που έγραψα. Όχι. Το συμπέρασμα είναι αληθές, οπότε η συνεπαγωγή είναι αληθής.
Στα μαθηματικά που το ,"\Longrightarrow" χρησιμοποιήτε κατακόρως έχουμε απλές συνεπαγωγές;
Ναι. Στα μαθηματικά έχουμε εκ των προτέρων συμφωνήσει σε μια ερμηνεία των μη λογικών όρων (ένα μοντέλο) και βασίζουμε σε αυτήν την αλήθεια ή μη των συνεπαγωγών. Οι ταυτολογίες δεν έχουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον (έξω από το ίδιο το πεδίο της Μαθ. Λογικής φυσικά).
Είναι αυτό ποτέ δυνατόν?? Οι ταυτολογίες (λογικές συνεπαγωγές) να μην έχουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον στα μαθηματικά ;; αλλά μόνο οι απλές συνεπαγωγές ;;

Ο κανόνας αποσπάσεως (M.Ponens) που είναι ταυτολογία δεν έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον στα μαθηματικά ;;


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: συνεπαγωγή

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Κυρ Απρ 17, 2016 5:14 pm

labrosb έγραψε: Είναι αυτό ποτέ δυνατόν?? Οι ταυτολογίες (λογικές συνεπαγωγές) να μην έχουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον στα μαθηματικά ;; αλλά μόνο οι απλές συνεπαγωγές ;;

Ο κανόνας αποσπάσεως (M.Ponens) που είναι ταυτολογία δεν έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον στα μαθηματικά ;;
Δε χρειάζεται να εξάπτεσαι, δεν είπα ότι οι ταυτολογίες είναι προτάσεις β' κατηγορίας. Το θέμα είναι ότι, όπως είπα, στα μαθηματικά περιοριζόμαστε σε συγκεκριμένα μοντέλα και, μοιραία, οι προτάσεις που αληθεύουν σε όλα τα μοντέλα δεν είναι ιδιαίτερα χρήσιμες. Π.χ. σε μια απόδειξη Ανάλυσης κάποιος μπορεί να χρησιμοποιήσει τη συνεπαγωγή "Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη, τότε είναι συνεχής". Είναι μάλλον απίθανο να χρησιμοποιήσει τη συνεπαγωγή "Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη και συνεχής, τότε είναι συνεχής".

Όσο για το modus ponens, όπως έγραψες κι εσύ, μας ενδιαφέρει ως συμπερασματικός κανόνας και όχι τόσο ως λογική πρόταση. Σε μια απόδειξη μπορείς θαυμάσια να βρεις την πρόταση A και τη συνεπαγωγή A \implies B, από τις οποίες θα έπεται η B. Αλλά είναι μάλλον απίθανο να βρεις την πρόταση ((A \wedge (A \implies B)) \implies B).


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
labrosb
Δημοσιεύσεις: 44
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 24, 2013 8:34 pm

Re: συνεπαγωγή

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από labrosb » Δευ Απρ 18, 2016 2:37 am

dement έγραψε:
labrosb έγραψε: Είναι αυτό ποτέ δυνατόν?? Οι ταυτολογίες (λογικές συνεπαγωγές) να μην έχουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον στα μαθηματικά ;; αλλά μόνο οι απλές συνεπαγωγές ;;

Ο κανόνας αποσπάσεως (M.Ponens) που είναι ταυτολογία δεν έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον στα μαθηματικά ;;
Δε χρειάζεται να εξάπτεσαι, δεν είπα ότι οι ταυτολογίες είναι προτάσεις β' κατηγορίας. Το θέμα είναι ότι, όπως είπα, στα μαθηματικά περιοριζόμαστε σε συγκεκριμένα μοντέλα και, μοιραία, οι προτάσεις που αληθεύουν σε όλα τα μοντέλα δεν είναι ιδιαίτερα χρήσιμες. Π.χ. σε μια απόδειξη Ανάλυσης κάποιος μπορεί να χρησιμοποιήσει τη συνεπαγωγή "Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη, τότε είναι συνεχής". Είναι μάλλον απίθανο να χρησιμοποιήσει τη συνεπαγωγή "Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη και συνεχής, τότε είναι συνεχής".

Όσο για το modus ponens, όπως έγραψες κι εσύ, μας ενδιαφέρει ως συμπερασματικός κανόνας και όχι τόσο ως λογική πρόταση. Σε μια απόδειξη μπορείς θαυμάσια να βρεις την πρόταση A και τη συνεπαγωγή A \implies B, από τις οποίες θα έπεται η B. Αλλά είναι μάλλον απίθανο να βρεις την πρόταση ((A \wedge (A \implies B)) \implies B).
Στις παρακάτω αποδείξεις στους πραγματικούς αριθμούς ,οι συνεπαγωγές είναι απλές η λογικές;

1η) a>2\wedge b>3\Longrightarrow a>0\wedge b>0\Longrightarrow ab>0\Longrightarrow ab\geq 0.

2η) 0+a=a\Longrightarrow 0+0=0\Longrightarrow (0+0)a=0a\Longrightarrow 0a+0a=0a\Longrightarrow 0a+0a=0a+0\Longrightarrow 0a=0


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: συνεπαγωγή

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Δευ Απρ 18, 2016 5:07 pm

labrosb έγραψε: Στις παρακάτω αποδείξεις στους πραγματικούς αριθμούς ,οι συνεπαγωγές είναι απλές η λογικές;

1η) a>2\wedge b>3\Longrightarrow a>0\wedge b>0\Longrightarrow ab>0\Longrightarrow ab\geq 0.

2η) 0+a=a\Longrightarrow 0+0=0\Longrightarrow (0+0)a=0a\Longrightarrow 0a+0a=0a\Longrightarrow 0a+0a=0a+0\Longrightarrow 0a=0
Απλές. Η λογική από μόνη της δεν είναι σε θέση να μου πει τι σημαίνουν τα μη λογικά σύμβολα 0, +, \cdot, \geq, >, ... και τι ιδιότητες έχουν. Για να ελέγξω την αλήθεια αυτών που γράφεις πρέπει να υποθέσω ένα μοντέλο της γλώσσας που χρησιμοποιείς (π.χ. το σύνηθες μοντέλο των πραγματικών αριθμών αλλά όχι υποχρεωτικά) και να το περιγράψω όσο καλύτερα μπορώ με αξιώματα. Έτσι ξεφεύγω από την απλή λογική όπου οι μόνες σίγουρα αληθείς προτάσεις είναι οι ταυτολογίες.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
labrosb
Δημοσιεύσεις: 44
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 24, 2013 8:34 pm

Re: συνεπαγωγή

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από labrosb » Τρί Απρ 19, 2016 4:12 am

ποιό αναλυτικά:

a>2\wedge b>3\Longrightarrow a>2\Longrightarrow a>2\wedge 2>0

a>2\wedge b>3\Longrightarrow b>3\Longrightarrow b>3\wedge 3>0

μέχρι εδώ οι συνεπαγωγές είναι λογικές. Ναί η όχι ;;


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: συνεπαγωγή

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τρί Απρ 19, 2016 10:06 am

labrosb έγραψε:ποιό αναλυτικά:

a>2\wedge b>3\Longrightarrow a>2\Longrightarrow a>2\wedge 2>0

a>2\wedge b>3\Longrightarrow b>3\Longrightarrow b>3\wedge 3>0

μέχρι εδώ οι συνεπαγωγές είναι λογικές. Ναί η όχι ;;
Και για τις δύο γραμμές η πρώτη συνεπαγωγή ναι, η δεύτερη όχι. Τα 2 > 0, 3 > 0 δεν έπονται λογικά από τα a > 2, b > 3.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
labrosb
Δημοσιεύσεις: 44
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 24, 2013 8:34 pm

Re: συνεπαγωγή

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από labrosb » Πέμ Απρ 21, 2016 3:49 am

dement έγραψε:
labrosb έγραψε:ποιό αναλυτικά:

a>2\wedge b>3\Longrightarrow a>2\Longrightarrow a>2\wedge 2>0

a>2\wedge b>3\Longrightarrow b>3\Longrightarrow b>3\wedge 3>0

μέχρι εδώ οι συνεπαγωγές είναι λογικές. Ναί η όχι ;;
Και για τις δύο γραμμές η πρώτη συνεπαγωγή ναι, η δεύτερη όχι. Τα 2 > 0, 3 > 0 δεν έπονται λογικά από τα a > 2, b > 3.
Έχουμε λοιπόν : a>2 , 2>0 από αυτά τα δύο δεν συνεπάγεται λογικώς
a>2\wedge 2>0 ;


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: συνεπαγωγή

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Πέμ Απρ 21, 2016 11:03 am

labrosb έγραψε: Έχουμε λοιπόν : a>2 , 2>0 από αυτά τα δύο δεν συνεπάγεται λογικώς
a>2\wedge 2>0 ;
Από αυτά τα δύο ναι, εσύ όμως είχες γράψει μόνο το ένα στις υποθέσεις σου. Αν θέλεις να συζεύξεις τη συνήθη θεωρία των πραγματικών αριθμών στις συνεπαγωγές σου τότε γίνονται λογικές, αλλά από κάπου πρέπει να φαίνεται ότι το κάνεις αυτό. Δεν είναι προφανές απλά και μόνο από το γεγονός ότι χρησιμοποιείς την ίδια γλώσσα.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
labrosb
Δημοσιεύσεις: 44
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 24, 2013 8:34 pm

Re: συνεπαγωγή

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από labrosb » Παρ Απρ 22, 2016 3:42 pm

dement έγραψε: . Αν θέλεις να συζεύξεις τη συνήθη θεωρία των πραγματικών αριθμών στις συνεπαγωγές σου τότε γίνονται λογικές, αλλά από κάπου πρέπει να φαίνεται ότι το κάνεις αυτό. .
lambrosb έγραψε:Στις παρακάτω αποδείξεις στους πραγματικούς αριθμούς ,οι συνεπαγωγές είναι απλές η λογικές;
Αυτό έγραψα σε προηγούμενο post.

Συνεχίζουμε: από θεώρημα η αξίωμα στους πραγματικούς έχουμε :

A>B\wedge B>C\Longrightarrow A>C για όλα τα A,B,C.Επομένως γιαA=a,B=2,C=0 , έχουμε :

a>2\wedge 2>0\Longrightarrow a>0.

Αλλά a>2\wedge 2>0 από προηγούμενη συνεπαγωγή.

Επομένως λογικά συνεπάγεται a>0.

Το ίδιο και γιά το b ,b>0 σωστά;;


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: συνεπαγωγή

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Παρ Απρ 22, 2016 4:48 pm

Δε μπορείς να φτιάξεις μια λογική συνεπαγωγή "παίρνοντας τα τάδε αξιώματα" (π.χ. τη μεταβατική ιδιότητα που πήρες εδώ)! Τα αξιώματα πρέπει να είναι μέρος της συνεπαγωγής, αλλιώς η τελευταία δεν είναι λογική. Επειδή αρχίζω να το βρίσκω κουραστικό όλο αυτό, συνοψίζω εδώ και δεν προτίθεμαι να επανέλθω:

Παίρνω ως παράδειγμα τη συνεπαγωγή \left( \left( 2 > 1 \wedge 1 > 0 \right) \implies 2 > 0 \right). Έστω T το σύνολο της θεωρίας της Πραγματικής Ανάλυσης.

1. Χρησιμοποιώντας μόνο τη θεωρία T, χωρίς ένα μοντέλο, η συνεπαγωγή δεν είναι αληθής ή ψευδής αλλά μόνο τυπικά αποδείξιμη στην T. Και οπωσδήποτε δεν είναι λογική.

2. Εναλλακτικά, μπορείς να γράψεις τη διαφορετική συνεπαγωγή \left( T \implies \left( \left( 2 > 1 \wedge 1 > 0 \right) \implies 2 > 0 \right) \right). Αυτή είναι λογική συνεπαγωγή αλλά δε γράφονται έτσι οι συνεπαγωγές σε μια συνηθισμένη απόδειξη.

3. Τέλος, αν θες να μιλήσεις για αλήθεια ή ψεύδος της συνεπαγωγής στην αρχική της μορφή, πρέπει να διαλέξεις μια ερμηνεία των συμβόλων, ένα μοντέλο. Στο μοντέλο των πραγματικών αριθμών η συνεπαγωγή είναι αληθής (αλλά όχι λογική).


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
labrosb
Δημοσιεύσεις: 44
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 24, 2013 8:34 pm

Re: συνεπαγωγή

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από labrosb » Σάβ Απρ 30, 2016 1:44 am

dement έγραψε:Δε μπορείς να φτιάξεις μια λογική συνεπαγωγή "παίρνοντας τα τάδε αξιώματα" (π.χ. τη μεταβατική ιδιότητα που πήρες εδώ)! Τα αξιώματα πρέπει να είναι μέρος της συνεπαγωγής, αλλιώς η τελευταία δεν είναι λογική. Επειδή αρχίζω να το βρίσκω κουραστικό όλο αυτό, συνοψίζω εδώ και δεν προτίθεμαι να επανέλθω:

Παίρνω ως παράδειγμα τη συνεπαγωγή \left( \left( 2 > 1 \wedge 1 > 0 \right) \implies 2 > 0 \right). Έστω T το σύνολο της θεωρίας της Πραγματικής Ανάλυσης.

1. Χρησιμοποιώντας μόνο τη θεωρία T, χωρίς ένα μοντέλο, η συνεπαγωγή δεν είναι αληθής ή ψευδής αλλά μόνο τυπικά αποδείξιμη στην T. Και οπωσδήποτε δεν είναι λογική.

2. Εναλλακτικά, μπορείς να γράψεις τη διαφορετική συνεπαγωγή \left( T \implies \left( \left( 2 > 1 \wedge 1 > 0 \right) \implies 2 > 0 \right) \right). Αυτή είναι λογική συνεπαγωγή αλλά δε γράφονται έτσι οι συνεπαγωγές σε μια συνηθισμένη απόδειξη.

3. Τέλος, αν θες να μιλήσεις για αλήθεια ή ψεύδος της συνεπαγωγής στην αρχική της μορφή, πρέπει να διαλέξεις μια ερμηνεία των συμβόλων, ένα μοντέλο. Στο μοντέλο των πραγματικών αριθμών η συνεπαγωγή είναι αληθής (αλλά όχι λογική).
Εγώ (είπα εγώ) βρήσκω το τελευταίο σου πόστ τελείως ακατανόητο.
dement έγραψε:Δε μπορείς να φτιάξεις μια λογική συνεπαγωγή "παίρνοντας τα τάδε αξιώματα" (π.χ. τη μεταβατική ιδιότητα που πήρες εδώ)! Τα αξιώματα πρέπει να είναι μέρος της συνεπαγωγής, αλλιώς η τελευταία δεν είναι λογική.
Γιατί ,η πρόταση:a>2\wedge 2>0\Longrightarrow a>0, δεν είναι μέρος της συνεπαγωγής :

[(a>2\wedge 2>0\Longrightarrow a>0)\wedge(a>2\wedge 2>0)]\Longrightarrow a>0 που είναι λογική συνεπαγωγή;
dement έγραψε: Χρησιμοποιώντας μόνο τη θεωρία T, χωρίς ένα μοντέλο, η συνεπαγωγή δεν είναι αληθής ή ψευδής αλλά μόνο τυπικά αποδείξιμη στην T. Και οπωσδήποτε δεν είναι λογική.
Στις παρακάτω απλές συνεπαγωγές τι να αποδείξεις:

Εάν είσαι φρόνιμιμος θα σε πάρω διακοπές.

Εάν 3+4=7 ,τότε η Σελήνη είναι στρογγυλή


dement έγραψε: Στο μοντέλο των πραγματικών αριθμών η συνεπαγωγή είναι αληθής (αλλά όχι λογική).
Αρα η παρακάτω απόδειξη, δεχόμενοι οτι το a>2\wedge b>3 είναι αληθές, είναι σωστή:

a>2\wedge b>3\Longrightarrow 3\geq 3\Longrightarrow a^2\geq 0\Longrightarrow ab\geq 0

Αφού οι συνεπαγωγές είναι μόνο αληθείς και οχι λογικές

Γιατί, κάθε λογική συνεπαγωγή δεν είναι και αληθής συνεπαγωγή;;


Απάντηση

Επιστροφή σε “Μαθηματική απόδειξη & Λογική”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης