Ισοδυναμία Αρχής Ελαχίστου και Επαγωγής

Συντονιστής: s.kap

Άβαταρ μέλους
Kostas Tzimoulias
Δημοσιεύσεις: 308
Εγγραφή: Τετ Μαρ 26, 2014 9:50 pm

Ισοδυναμία Αρχής Ελαχίστου και Επαγωγής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Kostas Tzimoulias » Παρ Αύγ 26, 2016 4:36 pm

Καλησπέρα βρήκα μια πρόταση που έχω κάποιους ενδοιασμούς για την πορεία της απόδειξης. ( συγγνώμη αν βρίσκομαι εκτός φακέλου)

\bullet Η αρχή του ελαχίστου και η αρχή της επαγωγής είναι ισοδύναμες προτάσεις. Να αποδειχθεί η ισοδυναμία τους.

\bullet σκέψη: Ουσιαστικά πρέπει να αποδείξω ότι αν για ένα τυχαίο μη κενό σύνολο φυσικών αριθμών ισχύει ή α.ελ. τότε ισχύει και η α.επ. και το αντίστροφο ;

\bullet Είναι απο τις σημειώσεις απειροστικού 1 του ΕΚΠΑ απο τον κύριο Γιαννόπουλο. Αλήθεια γιατί ή αναφορά γίνεται στο \mathbb{N} και όχι στο \mathbb{Z}


“Somewhere, something incredible is waiting to be known...”
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2699
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ισοδυναμία Αρχής Ελαχίστου και Επαγωγής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Αύγ 26, 2016 6:40 pm

Η μία κατεύθυνση είναι στις σημειώσεις που αναφέρεις.
Η άλλη είναι το Θ 0.15 στην σελίδα 6 του συνημμένου.
Στους ακεραίους δεν ισχύει η αρχή του ελαχίστου ούτε η επαγωγή.
Συνημμένα
realan_compl_natural_numbers.pdf
(160.41 KiB) Μεταφορτώθηκε 155 φορές


Άβαταρ μέλους
Kostas Tzimoulias
Δημοσιεύσεις: 308
Εγγραφή: Τετ Μαρ 26, 2014 9:50 pm

Re: Ισοδυναμία Αρχής Ελαχίστου και Επαγωγής

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Kostas Tzimoulias » Παρ Αύγ 26, 2016 6:52 pm

Ευχαριστώ για την απάντηση θα μελετήσω την εργασία όταν βρω χρόνο. Η επαγωγή δεν ισχύει στους ακέραιους? ( για την αρχή του ελαχίστου το γνώριζα) δεν έχει νόημα δηλαδή να μιλάμε για αρνητικούς ακεραίους στην μέθοδο της επαγωγής?


“Somewhere, something incredible is waiting to be known...”
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Ισοδυναμία Αρχής Ελαχίστου και Επαγωγής

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Σάβ Αύγ 27, 2016 4:18 am

Όταν μιλάμε για την αρχή της επαγωγής σε ένα σύνολο S εφοδιασμένο με τη διμελή σχέση <, εννοούμε την ιδιότητα:

Αν για κάποιο X \subseteq S ισχύει ότι \forall n \in S \left( (\forall x \in S (x < n \implies x \in X)) \implies n \in X \right) τότε X = S.

Με λόγια: Αν ένα υποσύνολο του S έχει την ιδιότητα, "για οποιοδήποτε n, αν περιέχει όλα τα στοιχεία x με x < n, τότε περιέχει και το n", τότε είναι το S.

Αυτή η ιδιότητα ισχύει στο \mathbb{N} αλλά, όπως μπορείς να διαπιστώσεις, το κενό σύνολο είναι αντιπαράδειγμα στην περίπτωση του \mathbb{Z}.

Γενικά, η αρχή της επαγωγής ισχύει αν και μόνο αν η διμελής σχέση είναι "καλώς θεμελιωμένη" (χωρίς απαραίτητα να είναι διάταξη) στο σύνολο.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Kostas Tzimoulias
Δημοσιεύσεις: 308
Εγγραφή: Τετ Μαρ 26, 2014 9:50 pm

Re: Ισοδυναμία Αρχής Ελαχίστου και Επαγωγής

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Kostas Tzimoulias » Σάβ Αύγ 27, 2016 11:00 am

Νομίζω κατάλαβα κύριε Σκουτέρη. ( οι παρενθέσεις χρησιμοποιούνται αντί της άνω-κάτω τελείας στη μαθηματική λογική; )


“Somewhere, something incredible is waiting to be known...”
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Ισοδυναμία Αρχής Ελαχίστου και Επαγωγής

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Δευ Αύγ 29, 2016 5:13 pm

Όχι, χρησιμοποιούνται ως παρενθέσεις (άλλο το \displaystyle (\forall n (n=1)) \implies 0=1 που είναι αληθές και άλλο το \displaystyle \forall n (n=1 \implies 0=1) που είναι ψευδές).


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Kostas Tzimoulias
Δημοσιεύσεις: 308
Εγγραφή: Τετ Μαρ 26, 2014 9:50 pm

Re: Ισοδυναμία Αρχής Ελαχίστου και Επαγωγής

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Kostas Tzimoulias » Δευ Αύγ 29, 2016 6:45 pm

dement έγραψε:Όχι, χρησιμοποιούνται ως παρενθέσεις (άλλο το \displaystyle (\forall n (n=1)) \implies 0=1 που είναι αληθές και άλλο το \displaystyle \forall n (n=1 \implies 0=1) που είναι ψευδές).
το εχάσα τώρα :( τι διαφορά έχουν? στο πρώτο απ'ότι κατάλαβα αναφέρει πως για κάθε n το n ισούται με 1. Αυτό συνεπάγεται ότι 0=1 ,23123=1 γενικά κάθε αριθμός ισούται με 1. σωστά;


“Somewhere, something incredible is waiting to be known...”
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Ισοδυναμία Αρχής Ελαχίστου και Επαγωγής

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Δευ Αύγ 29, 2016 11:12 pm

Όχι ακριβώς. Θυμήσου ότι μια συνεπαγωγή είναι αληθής αν και μόνο αν έχει ψευδή υπόθεση ή αληθές συμπέρασμα (ή και τα δύο).

Το πρώτο λέει ότι "Αν κάθε αριθμός n ισούται με 1, τότε 0=1" που ισχύει (ψευδής υπόθεση).

Το δεύτερο λέει ότι "Για κάθε αριθμό n, αν ισούται με 1, ισχύει 0=1" που δεν ισχύει στην περίπτωση n=1 (αληθής υπόθεση, ψευδές συμπέρασμα) οπότε δεν ισχύει καθολικά.

Εν πάση περιπτώσει, για να μη φεύγουμε από το θέμα: Οι παρενθέσεις χρησιμεύουν στο ίδιο ακριβώς που χρησιμεύουν και στην άλγεβρα - καθορίζουν την "προτεραιότητα" των λογικών πράξεων.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Kostas Tzimoulias
Δημοσιεύσεις: 308
Εγγραφή: Τετ Μαρ 26, 2014 9:50 pm

Re: Ισοδυναμία Αρχής Ελαχίστου και Επαγωγής

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Kostas Tzimoulias » Τρί Αύγ 30, 2016 10:54 am

ευχαριστώ το κατάλαβα


“Somewhere, something incredible is waiting to be known...”
Απάντηση

Επιστροφή σε “Μαθηματική απόδειξη & Λογική”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης