Ισοδυναμία Αρχής Ελαχίστου και Επαγωγής

[Kostas Tzimoulias]

Καλησπέρα βρήκα μια πρόταση που έχω κάποιους ενδοιασμούς για την πορεία της απόδειξης. ( συγγνώμη αν βρίσκομαι εκτός φακέλου)

Η αρχή του ελαχίστου και η αρχή της επαγωγής είναι ισοδύναμες προτάσεις. Να αποδειχθεί η ισοδυναμία τους.

σκέψη: Ουσιαστικά πρέπει να αποδείξω ότι αν για ένα τυχαίο μη κενό σύνολο φυσικών αριθμών ισχύει ή α.ελ. τότε ισχύει και η α.επ. και το αντίστροφο ;

Είναι απο τις σημειώσεις απειροστικού 1 του ΕΚΠΑ απο τον κύριο Γιαννόπουλο. Αλήθεια γιατί ή αναφορά γίνεται στο και όχι στο

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Η μία κατεύθυνση είναι στις σημειώσεις που αναφέρεις.
Η άλλη είναι το Θ 0.15 στην σελίδα 6 του συνημμένου.
Στους ακεραίους δεν ισχύει η αρχή του ελαχίστου ούτε η επαγωγή.

[Kostas Tzimoulias]

Ευχαριστώ για την απάντηση θα μελετήσω την εργασία όταν βρω χρόνο. Η επαγωγή δεν ισχύει στους ακέραιους? ( για την αρχή του ελαχίστου το γνώριζα) δεν έχει νόημα δηλαδή να μιλάμε για αρνητικούς ακεραίους στην μέθοδο της επαγωγής?

[dement]

Όταν μιλάμε για την αρχή της επαγωγής σε ένα σύνολο εφοδιασμένο με τη διμελή σχέση , εννοούμε την ιδιότητα:

Αν για κάποιο ισχύει ότι τότε .

Με λόγια: Αν ένα υποσύνολο του έχει την ιδιότητα, "για οποιοδήποτε , αν περιέχει όλα τα στοιχεία με , τότε περιέχει και το ", τότε είναι το .

Αυτή η ιδιότητα ισχύει στο αλλά, όπως μπορείς να διαπιστώσεις, το κενό σύνολο είναι αντιπαράδειγμα στην περίπτωση του .

Γενικά, η αρχή της επαγωγής ισχύει αν και μόνο αν η διμελής σχέση είναι "καλώς θεμελιωμένη" (χωρίς απαραίτητα να είναι διάταξη) στο σύνολο.

[Kostas Tzimoulias]

Νομίζω κατάλαβα κύριε Σκουτέρη. ( οι παρενθέσεις χρησιμοποιούνται αντί της άνω-κάτω τελείας στη μαθηματική λογική; )

[dement]

Όχι, χρησιμοποιούνται ως παρενθέσεις (άλλο το που είναι αληθές και άλλο το που είναι ψευδές).

[Kostas Tzimoulias]

Όχι, χρησιμοποιούνται ως παρενθέσεις (άλλο το που είναι αληθές και άλλο το που είναι ψευδές).

το εχάσα τώρα τι διαφορά έχουν? στο πρώτο απ'ότι κατάλαβα αναφέρει πως για κάθε το ισούται με . Αυτό συνεπάγεται ότι , γενικά κάθε αριθμός ισούται με 1. σωστά;

[dement]

Όχι ακριβώς. Θυμήσου ότι μια συνεπαγωγή είναι αληθής αν και μόνο αν έχει ψευδή υπόθεση ή αληθές συμπέρασμα (ή και τα δύο).

Το πρώτο λέει ότι "Αν κάθε αριθμός ισούται με , τότε " που ισχύει (ψευδής υπόθεση).

Το δεύτερο λέει ότι "Για κάθε αριθμό , αν ισούται με , ισχύει " που δεν ισχύει στην περίπτωση (αληθής υπόθεση, ψευδές συμπέρασμα) οπότε δεν ισχύει καθολικά.

Εν πάση περιπτώσει, για να μη φεύγουμε από το θέμα: Οι παρενθέσεις χρησιμεύουν στο ίδιο ακριβώς που χρησιμεύουν και στην άλγεβρα - καθορίζουν την "προτεραιότητα" των λογικών πράξεων.

[Kostas Tzimoulias]

ευχαριστώ το κατάλαβα