Επαγωγη
Συντονιστής: s.kap
Επαγωγη
Ξερουμε πως δουλευει η μεθοδος της τελειας επαγωγης. Για να αποδειξουμε οτι ενα συνολο ταυτιζεται με το :
1. Υποθετουμε οτι για ολους τους φυσικους .
2. Αποδεικνυουμε οτι .
Αν αυτο ισχυει για καθε , τοτε .
Μπορουμε να φανταστουμε την ιδια μεθοδο και σε αλλα συνολα εκτος του . Σε ποια απο τα ακολουθα συνολα 'δουλευει' η ιδια μεθοδος επαγωγης;
1.
2.
3.
4.
5.
6. , αλλα τωρα το δεν ειναι η συνηθης σχεση αλλα μια καλη διαταξη (η οποια υπαρχει συμφωνα με το Αξιωμα της Επιλογης).
(Αλλαξα τα συνολα 2 και 3 ωστε να 'μοιαζουν' λιγο περισσοτερο με το ).
Δημητρης Σκουτερης
1. Υποθετουμε οτι για ολους τους φυσικους .
2. Αποδεικνυουμε οτι .
Αν αυτο ισχυει για καθε , τοτε .
Μπορουμε να φανταστουμε την ιδια μεθοδο και σε αλλα συνολα εκτος του . Σε ποια απο τα ακολουθα συνολα 'δουλευει' η ιδια μεθοδος επαγωγης;
1.
2.
3.
4.
5.
6. , αλλα τωρα το δεν ειναι η συνηθης σχεση αλλα μια καλη διαταξη (η οποια υπαρχει συμφωνα με το Αξιωμα της Επιλογης).
(Αλλαξα τα συνολα 2 και 3 ωστε να 'μοιαζουν' λιγο περισσοτερο με το ).
Δημητρης Σκουτερης
τελευταία επεξεργασία από dement σε Τρί Μαρ 02, 2010 1:37 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Επαγωγη
Ας κάνω την αρχή.
Η μέθοδος δεν δουλέυει για το :
Έστω . Έστω . Υποθέτω ότι για κάθε ισχύει ότι . Τότε , άρα και άρα . Άρα .
Όμως
Η μέθοδος δεν δουλέυει για το :
Έστω . Έστω . Υποθέτω ότι για κάθε ισχύει ότι . Τότε , άρα και άρα . Άρα .
Όμως
Re: Επαγωγη
Επαναφερω το θεμα γιατι μαλλον ξεχαστηκε, μαζι με μερικες επεξηγησεις για την περιπτωση που δεν ειναι ξεκαθαρο.
Σε ενα συνολο λεμε οτι το υποσυνολο εχει την επαγωγικη ιδιοτητα αν και μονο αν, για καθε , αν το περιεχει ολα τα για τα οποια , τοτε περιεχει και το .
Η επαγωγικη μεθοδος δουλευει σε εκεινα ακριβως τα συνολα , των οποιων το μονο υποσυνολο με την επαγωγικη ιδιοτητα ειναι το ιδιο το .
Ο Demetres στην ουσια απεδειξε οτι, στο συνολο , το κενο συνολο εχει την επαγωγικη ιδιοτητα και κατα συνεπεια η τελεια επαγωγη δε δουλευει στους ακεραιους.
Αντιθετα, στους φυσικους η τελεια επαγωγη δουλευει - το δεν εχει εκει την επαγωγικη ιδιοτητα (γιατι;).
Σε ποια απο τα προαναφερθεντα συνολα δουλευει η τελεια επαγωγη;
Δημητρης Σκουτερης
Σε ενα συνολο λεμε οτι το υποσυνολο εχει την επαγωγικη ιδιοτητα αν και μονο αν, για καθε , αν το περιεχει ολα τα για τα οποια , τοτε περιεχει και το .
Η επαγωγικη μεθοδος δουλευει σε εκεινα ακριβως τα συνολα , των οποιων το μονο υποσυνολο με την επαγωγικη ιδιοτητα ειναι το ιδιο το .
Ο Demetres στην ουσια απεδειξε οτι, στο συνολο , το κενο συνολο εχει την επαγωγικη ιδιοτητα και κατα συνεπεια η τελεια επαγωγη δε δουλευει στους ακεραιους.
Αντιθετα, στους φυσικους η τελεια επαγωγη δουλευει - το δεν εχει εκει την επαγωγικη ιδιοτητα (γιατι;).
Σε ποια απο τα προαναφερθεντα συνολα δουλευει η τελεια επαγωγη;
Δημητρης Σκουτερης
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Re: Επαγωγη
Εδω δινω την απαντηση στο προαναφερθεν προβλημα.
Για να δουλεψει η επαγωγη σε ενα συνολο εφοδιασμενο με διμελη σχεση , δηλαδη με αλλα λογια να ισχυει οτι το μονο υποσυνολο που υπακουει στην επαγωγικη ιδιοτητα ειναι το ιδιο το , η σχεση πρεπει και αρκει να ειναι καλως θεμελιωμενη, δηλ. καθε μη κενο υποσυνολο να εχει ελαχιστικο στοιχειο.
Ετσι, στα συνολα (1)-(3) η επαγωγη δε δουλευει. Το για την πρωτη περιπτωση και το για τις αλλες δυο δεν εχουν ελαχιστο στοιχειο.
Στο συνολο (4) η επαγωγη δουλευει, ενω στο (5) οχι. Τα σημεια συσσωρευσης ειναι ιδια και στα δυο συνολα, αλλα στο (4) ειναι σημεια συσσωρευσης 'εξ αριστερων' ενω στο (5) 'εκ δεξιων'. Αυτο καθιστα τη σχεση καλως θεμελιωμενη στο (4) αλλα οχι στο (5).
Τελος, στο συνολο (6) η επαγωγη δουλευει. Μια καλη διαταξη ειναι εξ ορισμου καλως θεμελιωμενη.
Δημητρης Σκουτερης
Για να δουλεψει η επαγωγη σε ενα συνολο εφοδιασμενο με διμελη σχεση , δηλαδη με αλλα λογια να ισχυει οτι το μονο υποσυνολο που υπακουει στην επαγωγικη ιδιοτητα ειναι το ιδιο το , η σχεση πρεπει και αρκει να ειναι καλως θεμελιωμενη, δηλ. καθε μη κενο υποσυνολο να εχει ελαχιστικο στοιχειο.
Ετσι, στα συνολα (1)-(3) η επαγωγη δε δουλευει. Το για την πρωτη περιπτωση και το για τις αλλες δυο δεν εχουν ελαχιστο στοιχειο.
Στο συνολο (4) η επαγωγη δουλευει, ενω στο (5) οχι. Τα σημεια συσσωρευσης ειναι ιδια και στα δυο συνολα, αλλα στο (4) ειναι σημεια συσσωρευσης 'εξ αριστερων' ενω στο (5) 'εκ δεξιων'. Αυτο καθιστα τη σχεση καλως θεμελιωμενη στο (4) αλλα οχι στο (5).
Τελος, στο συνολο (6) η επαγωγη δουλευει. Μια καλη διαταξη ειναι εξ ορισμου καλως θεμελιωμενη.
Δημητρης Σκουτερης
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες