Εικασία του συνεχούς, λελυμένη

[Mihalis_Lambrou]

Στον σύνδεσμο

https://www.quantamagazine.org/mathemat ... -20170912/

θα βρείτε το τελευταίο συνταρακτικό αποτέλεσμα σχετικά με πληθαρίθμους μεταξύ του συνεχούς και του αριθμήσιμα απείρου. Οι μη αριθμήσιμοι πληθάριθμοι αποδεικνύονται τώρα ίσοι με του συνεχούς.

Το αποτέλεσμα οφείλεται στον διάσημο Συνολοθεωρητικό S. Shela και την ελληνικής καταγωγής (δεύτερη γενιά) αμερικανίδα Μαριάνθη Μαλλιάρη του Πανεπιστημίου του Chicago.

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Continuum_hypothesis

[gbaloglou]

Στο άρθρο του Quanta ο Shelah εμφανίζεται να λέει πως πίστευε και αυτός στην ανισότητα p < t: αυτό που εννοεί είναι ότι πίστευε στην ύπαρξη μοντέλων της 'βασικής' Θεωρίας Συνόλων (ZFC) όπου θα ίσχυε η παραπάνω ανισότητα^ διότι αν ίσχυε εντός της ZFC ... τότε θα γνωρίζαμε ότι δεν ισχύει η Υπόθεση του Συνεχούς εντός της ZFC (κάτι που ήδη από το 1940 είχε δείξει αδύνατο ο Goedel). (Πράγματι από τις ω < p <= c, ω < t <= c, p < t, όπου ω ο πληθάριθμος των φυσικών αριθμών και c ο πληθάριθμος των πραγματικών αριθμών, θα προέκυπτε ότι ο p είναι αυστηρά ανάμεσα στον ω και στον c!)

[gbaloglou]

Στο άρθρο του Quanta ο Shelah εμφανίζεται να λέει πως πίστευε και αυτός στην ανισότητα p < t: αυτό που εννοεί είναι ότι πίστευε στην ύπαρξη μοντέλων της 'βασικής' Θεωρίας Συνόλων (ZFC) όπου θα ίσχυε η παραπάνω ανισότητα^ διότι αν ίσχυε εντός της ZFC ... τότε θα γνωρίζαμε ότι δεν ισχύει η Υπόθεση του Συνεχούς εντός της ZFC (κάτι που ήδη από το 1940 είχε δείξει αδύνατο ο Goedel). (Πράγματι από τις ω < p <= c, ω < t <= c, p < t, όπου ω ο πληθάριθμος των φυσικών αριθμών και c ο πληθάριθμος των πραγματικών αριθμών, θα προέκυπτε ότι ο p είναι αυστηρά ανάμεσα στον ω και στον c!)

Δηλαδή: αν ίσχυε η p < t εντός της ZFC, τότε θα καταρρίπτονταν 'απόλυτα' η Υπόθεση του Συνεχούς (αδύνατον)^ τουναντίον, η ισχύς της p = t εντός της ZFC -- που θεαματικά και αναπάντεχα απέδειξαν οι Malliaris και Shelah -- δεν μας λέει τίποτα καινούργιο για την Υπόθεση του Συνεχούς (που γνωρίζουμε ότι σε κάποια μοντέλα της ZFC ισχύει (Godel 1940) και ότι σε κάποια μοντέλα της ZFC δεν ισχύει (Cohen 1963)).

[Demetres]

Οι μη αριθμήσιμοι πληθάριθμοι αποδεικνύονται τώρα ίσοι με του συνεχούς.

Μιχάλη μια διευκρίνηση.

Σίγουρα δεν μπορεί όλοι οι μη αριθμήσιμοι πληθάριθμοι να είναι ίσοι με τον πληθάριθμο του συνεχούς. Αν ίσχυε κάτι τέτοιο τότε η υπόθεση του συνεχούς θα είχε καταφατική απάντηση. Γνωρίζουμε όμως ότι υπάρχουν μοντέλα της ZFC στα οποία έχει αρνητική απάντηση.

Αυτό που απέδειξαν οι Malliaris και Shelah είναι ότι δύο συγκεκριμένοι πληθάριθμοι, οι οποίοι όπως πιστευόταν (υπήρχαν μοντέλα της ΖFC στα οποία) ήταν άνισοι, στην πραγματικότητα είναι ίσοι.

[Mihalis_Lambrou]

Οι μη αριθμήσιμοι πληθάριθμοι αποδεικνύονται τώρα ίσοι με του συνεχούς.

Μιχάλη μια διευκρίνηση.

Σίγουρα δεν μπορεί όλοι οι μη αριθμήσιμοι πληθάριθμοι να είναι ίσοι με τον πληθάριθμο του συνεχούς.

Δημήτρη, εννοείται. Π.χ. πάντα ισχύει για πληθαρίθμους. Αυτό που εννούσα και ίσως δεν διευκρίνησα είναι αυτό που έγραψα στην αμέσως προηγούμενη πρόταση, δηλαδή

"αποτέλεσμα σχετικά με πληθαρίθμους μεταξύ του συνεχούς και του αριθμήσιμα απείρου".

[S.E.Louridas]

Ας μου επιτραπεί
https://www.facebook.com/permalink.php? ... 9784420181

[Mihalis_Lambrou]

Ας μου επιτραπεί
https://www.facebook.com/permalink.php? ... 9784420181

Σωτήρη,

δεν μου ανοίγει ο παραπάνω σύνδεσμος. Φταίει μόνο το δικό μου ιντερνέτ ή είναι γενικό το πρόβλημα; Μήπως η εν λόγω ιστοσελίδα είναι διαθέσιμη μόνο σε συγκεκριμένο κοινό;

[S.E.Louridas]

Μιχάλη η διεύθυνση ανοίγει αρκεί να είναι κανείς μέλος του face book. Έτσι παραθέτω αυτούσια την παρέμβαση του Καθηγητή κ. Σ. Νεγρεπόντη.

ΤO ΣΠΟΥΔΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΠΙΤΕΥΓΜΑ (BREAKTHROUGH) ΤΩΝ MARYANTHE MALLIARIS ΚΑΙ SAHARON SHELAH
O Rothberger, 70 χρόνια πριν, στην εργασία του
Fritz Rothberger, On some problems of Hausdorff and of Sierpiński, Fund. Math. 35 (1948), 29–46.
είχε θέσει το συνολοθεωρητικό/τοπολογικό πρόβλημα κατά πόσον ισχύει η ισότητα δύο πληθαρίθμων p=t. Για να γίνει κατανοητή η διατύπωση του προβλήματος παραθέτουμε τους παρακάτω ορισμούς.
Ορισμοί. Ν συμβολίζει το σύνολο των φυσικών αριθμών.
Το σύνολο Α σχεδόν περιέχεται στο σύνολο Β αν το συμπλήρωμα Α\Β είναι πεπερασμένο σύνολο.
Θα λέμε ότι μια οικογένεια Φ υποσυνόλων του Ν ικανοποιεί
την ιδιότητα (1) αν κάθε πεπερασμένη τομή στοιχείων της Φ είναι άπειρη,
την ιδιότητα (2) αν η ιδιότητα (1) ισχύει για μη τετριμμένο λόγο, δηλαδή αν δεν υπάρχει ένα άπειρο σύνολο Α, ώστε η Φ περιέχει τη οικογένεια όλων των σχεδον υπερσυνόλων του Α, και
την ιδιότητα (3) αν η Φ είναι γραμμικά διατεταγμένη ως προς σχεδόν εγκλεισμό.
Θέτουμε
p=ελάχιστος {α: α πληθάριθμος, υπάρχει oικογένεια Φ υποσυνόλων του Ν, η οποία ικανοποιεί τις ιδιότητες (1) και (2),και πληθάριθμος Φ=α},
t= ελάχιστος {α: α πληθάριθμος, υπάρχει oικογένεια Φ υποσυνόλων του Ν, η οποία ικανοποιεί τις ιδιότητες (1),(2),kai (3), και πληθάριθμος Φ=α}.
Οι Malliaris και Shelah στην εργασία τους
M. Malliaris and S. Shelah, Cofinality spectrum theorems in model theory, set theory, and general topology, J. Amer. Math. Soc. 29 (2016), 237-297
απέδειξαν ότι πράγματι ισχύει η ισότητα p=t.
Είχε προηγηθεί συνοπτική δημοσίευση
M. Malliaris, S. Shelah, General topology meets model theory, on p and t. Proc Natl Acad Sci USA 110(2013), 13300–13305.
Στις ίδιες δημοσιεύσεις (στα κορυφαία περιοδικά Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS), Journal of the American Mathematical Society) οι δύο συγγραφείς έλυσαν και ένα πρόβλημα της θεωρίας μοντέλων (μαθηματικής λογικής) pου είχε τεθεί από τον Jerome Keisler πριν 40 χρόνια, με το να δείξουν ότι η μεγιστικότητα στην διάταξη που είχε ορίσει ο Keisler, δεν χαρακτηρίζεται από την ιδιότητα της γνήσιας διάταξης, αλλά από μια ασθενέστερη ιδιότητα.
Τα αποτελέσματα αυτά χρησιμοποιούν, μεταξύ άλλων, εκλέπτυνση των καλών κατά Keisler υπερφίλτρων και των υπεργινομένων ως προς αυτά τα υπερφίλτρα. Τις θεμελιώδεις παλαιότερες συμβολές των J. Los, J. Keisler, S. Shelah, K.Kunen, με τις οποίες αυτά τα αποτελέματα σχετίζονται, μπορεί ο αναγνώστης να βρεί στο βιβλίο Theory of Ultrafilters των W.W.Comfort & S. Negrepontis, 1974.
Σημειώνουμε ότι στο περιοδικό PNAS, η δημοσιεύση της σύνοψης της εργασίας συνοδεύθηκε από ένα διθυραμβικό σχολιασμό στο ίδιο τεύχος του περιοδικού από τον Καθηγητή, στο Μαθηματικό Τμήμα του Πανεπιστημίου Cornell, Justin Tatch Moore, COMMENTARY Model theory and the cardinal numbers p and t, PNAS 110 (2013) 13238–13239, 2013. http://www.pnas.org/content/110/33/13238.full.pdf
Η ισχυρή εντύπωση που έχει προκληθεί από αυτές τις εργασίες διαπιστώνεται και από το άρθρο του Kevin Hartnett, Mathematicians Measure Infinities and Find They’re Equal, Quanta Magazine, το οποίο αναδημοσιεύθηκε στο Scientific American https://www.scientificamerican.com/…/ma ... ans-measur…/
Για το επίτευγμα αυτό οι δύο συγγραφείς τιμήθηκαν από την Ευρωπαϊκή Εταιρεία Θεωρίας Συνόλων (European Set Theory Society) κατά το 2017 με το Τρίτο Μετάλλιο Hausdorff.
https://ests.wordpress.com/…/07/05/thir ... ff-medal-2…/
Στην απόφαση της απονομής αναφέρεται ότι «Και τα δύο αποτελέσματα
είναι συνέπεια μιας θαυμαστής (brilliant) αναλύσης της ορισιμότητος σε υπεργινόμενα πεπερασμένων γραμμικών διατλάξεων. Αυτή η ανάλυση είναι επίσης μοναδική καθ’ ότι αποδεικνύει ότι στην διάταξη πολυπλκότητος Keisler υπάρχουν θεωρίες και πιο πολύπλοκες από τις ευσταθείς (stable) , δηλαδή τις ελαχιστικές θεωρίες, και λιγότερο πολύπλοκες από τις μεγιστικές.
Συμπεραίνουμε ότι το σημαντικό έργο των Malliaris και Shelah ανοίγει την πόρτα για σημαντικές και γόνιμες νέες αλληλεπιδράσεις μεταξύ της θεωρίας συνόλων και της θεωρίας μοντέλων.»
Ο Saharon Shelah είναι πολύ διάσημος μαθηματικός-λογικός, πιθανόν ο πλέον διάσημος εν ζωή λογικός.
Η Maryanthe Malliaris είναι αμερικανίδα Ελληνικής καταγωγής, η οποία διδάσκει στο Πανεπιστήμιο του Chicago. Η Ελληνική της συνείδηση διαφαίνεται στο παλαιότερό της (2001) άρθρο ‘Antiquity’, στο φοιτητικό περιοδικό Harvard Crimson
http://www.thecrimson.com/…/antiquity-p ... aid-that-b

[Mihalis_Lambrou]

Από τον συνάδελφο Θανάση Φειδά, Καθηγητή με ειδικότητα Λογική στο Πανεπιστήμιο Κρήτης, έλαβα το
ακόλουθο επεξηγηματικό σχόλιο.


Θεωρείστε μία κλάση υποσυνόλων του με την ιδιότητα οτι "κάθε δύο σύνολα έχουν άπειρη τομή" (π.χ. θεωρείστε την
κλάση των συν-πεπερασμένων υποσυνόλων του ). Από Αξίωμα Επιλογής αυτή η κλάση επεκτείνεται σε μία μεγίστη κλάση
με την ίδια ιδιότητα. Θεωρείστε τους πληθαρίθμους όλων των κλάσεων που παράγονται με τον τρόπο αυτό και πάρτε τον
μικρότερο (οι πληθάριθμοι είναι και διατακτικοί αριθμοί, άρα είναι καλώς διατεταγμένοι, άρα κάθε μη κενό σύνολο έχει ελάχιστο
στοιχείο). Αυτός ο μικρότερος είναι ο p.

Ο πληθάριμος t κατασκευάζεται με τρόπο “ίδιας γεύσης”. Και οι δύο είναι μη αριθμήσιμοι (δεν είναι προφανές) αλλά (ως πληθάριμοι
υποσυνόλων του δυναμοσυνόλου του ) είναι το πολύ τόσο μεγάλοι όσο και το “συνεχές”.

Προ του αποτελέσματος του Goedel οι δύο αυτοί πληθάριμοι ήσαν υποψήφιοι για να αποδειχθεί η άρνηση του Αξιώματος του
Συνεχούς (αν ήσαν διάφοροι). Υποθέτοντας το Αξίωμα του Συνεχούς και οι δύο έχουν τον πληθάριθμο του Συνεχούς (από την
προ-προηγούμενη πρόταση). Το ερώτημα όμως είναι αν η ZFC (Zermelo-Frankel συν Επιλογή, αλλά ΧΩΡΙΣ Αξίωμα Συνεχούς) μπορεί
να αποδειχθεί οτι p=t. Η απάντηση είναι ΝΑΙ (Malliaris-Shelah). Αν δεν συνέβαινε αυτό, τότε, μετά την απόδειξη των Goedel-Cohen της
ανεξαρτησίας του Αξιώματος του Συνεχούς από την ZFC, το μόνο άλλο ενδεχόμενο θα ήταν οτι η απάντηση θα ήταν “αυτό δεν μπορεί
να αποδειχθεί από την ZFC”. (Ή, αλλιώς, τα Μαθηματικά έχουν αντιφάσεις, στην οποία περίπτωση πάμε όλοι για ψάρεμα και άλλα
συναφή επαγγέλματα).

Το Αξίωμα Συνεχούς θεωρείται “φιλοσοφικώς μη αποδεκτό”, αν δεν είναι όντως αναγκαίο. Και να που εδώ δεν είναι!

[gbaloglou]

Αυτός ο Justin Tatch Moore που εξυμνεί την εργασία των Malliaris-Shelah έλυσε ένα από τα διασημότερα προβλήματα της Συνολοθεωρητικής Τοπολογίας (αναπάντεχα σχετιζόμενο με την ισότητα p = t των Malliaris-Shelah, δείτε παρακάτω) κατασκευάζοντας, εντός της ZFC, έναν L-χώρο (L-space) πριν 12 περίπου χρόνια: ένας L-χώρος είναι ένας κανονικός (regular) τοπολογικός χώρος κάθε υποχώρος του οποίου έχει την ιδιότητα του Lindelof (είναι δηλαδή ο αρχικός χώρος hereditarily Lindelof) ... χωρίς να έχει αριθμήσιμο πυκνό υποσύνολο, δεν είναι δηλαδή διαχωρίσιμος (separable). [Ένας τοπολογικός χώρος έχει την ιδιότητα Lindelof αν και μόνον αν κάθε κάλυψη του με ανοικτά σύνολα έχει αριθμήσιμη υποκάλυψη.]

Οι δύο ιδιότητες, Lindelof και separable, ταυτίζονται στους μετρικούς χώρους, από εκεί και πέρα αρχίζει ο ... διαχωρισμός Εικάσθηκε όμως πριν κάποιες δεκαετίες ότι κάθε hereditarily separable regular χώρος έχει την ιδιότητα Lindelof, και, αντίστροφα, κάθε hereditarily Lindelof regular χώρος είναι separable. Το όποιο αντιπαράδειγμα στην πρώτη εικασία ονομάστηκε S-space, ενώ το όποιο αντιπαράδειγμα στην δεύτερη εικασία ονομάστηκε L-space. Οι τοπολόγοι κατασκεύασαν παραδείγματα L-space και S-space σε διάφορα μοντέλα της ZFC, αλλά δεν μπορούσαν να δώσουν τέτοια παραδείγματα εντός της ZFC. Πριν 35 χρόνια περίπου ο Stevo Todorcevic κατασκεύασε μοντέλο της ZFC όπου δεν μπορεί να υπάρχει S-space, οπότε όλοι ή σχεδόν όλοι πίστεψαν ότι θα υπήρχε και κάποιο μοντέλο της ZFC όπου δεν θα μπορούσε να υπάρχει L-space. Αυτό ... μέχρι να κατασκευάσει L-space εντός της ZFC ο Justin Tatch Moore!

Τι το κοινό έχουν τα παραπάνω -- για τα οποία μπορείτε να διαβάσετε και το παλιό μου άρθρο On the Inequality and Related Topics (εδώ) -- με την ισότητα p = t; Πολύ απλά (;) ... και η ύπαρξη L-space εντός της ZFC και η ισότητα p = t εντός της ZFC ... αποδείχθηκαν 'δια της πλαγίας οδού', χρησιμοποιώντας δηλαδή βαριά εργαλεία από την Μαθηματική Λογική, Model Theory συγκεκριμένα: είναι τα ΜΟΝΑΔΙΚΑ (γνωστά σε μένα) θεωρήματα που, ενώ ισχύουν εντός της Βασικής Θεωρίας Συνόλων (ZFC), απαιτούν ... ηρωική εξ αυτής έξοδο για να αποδειχθούν! Να το πω αλλιώς, θα περίμενε κανείς να μπορούσε να κατασκευαστεί κάποιο 'απλούστερο' παράδειγμα L-space εντός της ZFC, όπως και να δοθεί 'απλούστερη' απόδειξη της p = t εντός της ZFC: έχοντας ΕΝΑ παράδειγμα L-space θα μπορούσαμε λογικά (;) να κατασκευάσουμε και άλλα απλούστερα, έχοντας ΜΙΑ απόδειξη της p = t θα μπορούσαμε λογικά (;) να κατασκευάσουμε και άλλες απλούστερες! (Γι αυτό το διπλό "λογικά" της προηγούμενης πρότασης θα λέγαμε Αγγλιστί pun not intended -- "μη σκόπιμο το λογοπαίγνιο" )