1-Γεωμετρία

[Α.Κυριακόπουλος]

Έστω ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με: . Στην ημιευθεία ΑΒ παίρνουμε ένα σημείο Δ με: ΑΔ=ΒΓ. Να βρείτε το μέτρο( σε μοίρες) της γωνία .
( Η άσκηση είναι για τους μαθητές. Επειδή πρέπει να αφήνουμε τους μαθητές να αυτενεργούν, παρακαλώ πολύ τους συναδέλφους μαθηματικούς να μην στείλουν λύση πριν από δέκα ημέρες, δηλαδή πριν από τις 27-6-2009).

[S.E.Louridas]

AΝΤΩΝΗ χαίρομαι πολύ γιά αυτη την νοοτροπία που γιά μένα πρέπει να αποτελέσει
ένα καινούργιο δεδομένο ουσίας γιά νά προπονηθούν οι ΜΑΘΗΤΕΣ.Και μετά σου μιλούν γιά κύκλους πού κλείνουν.
Σωτήρης

[chris_gatos]

Συμφωνώ με την πρωτοβουλία του Κυρίου Αντώνη, αλλά ειλικρινά δε μπορώ να θυμηθώ ποιός απο το mathematica
απαγόρεψε τη συμμετοχή και την αυτενέργεια των μαθητών. Εγω πρώτος προσπαθώ να βάλω προσιτές ασκήσεις
(σε μαθητές εννοώ),άσχετα αν πολλές φορές κατηγορούμαι για έλλειψη ενδιαφέροντος ( πχ viewtopic.php?f=19&t=1632 ).
Πραγματικά οι ασκήσεις που επιλέγω στοχεύουν και εκεί. Σκέπτομαι πως ίσως μας παρακολουθεί και κάποιος μαθητής...

[Α.Κυριακόπουλος]

Συμφωνώ με την πρωτοβουλία του Κυρίου Αντώνη, αλλά ειλικρινά δε μπορώ να θυμηθώ ποιός απο το mathematica
απαγόρεψε τη συμμετοχή και την αυτενέργεια των μαθητών. Εγω πρώτος προσπαθώ να βάλω προσιτές ασκήσεις
(σε μαθητές εννοώ),άσχετα αν πολλές φορές κατηγορούμαι για έλλειψη ενδιαφέροντος ( πχ viewtopic.php?f=19&t=1632 ).
Πραγματικά οι ασκήσεις που επιλέγω στοχεύουν και εκεί. Σκέπτομαι πως ίσως μας παρακολουθεί και κάποιος μαθητής...

Αγαπητέ Χρήστο.
Εγώ δεν είπα ότι απαγόρευσε κάποιος τη συμμετοχή και την αυτενέργεια των μαθητών. Εκείνο που θέλω να πω είναι ότι, όταν δημοσιεύουμε μια άσκηση για τους μαθητές και σε πέντε λεπτά κάποιος συνάδελφος δημοσιεύει τη λύση, δεν αφήνουμε χρόνο στους μαθητές να αυτενεργήσουν.
• Όταν κάποιος μαθητής μου, μου έφερνε να του λύσω μια άσκηση, τον ρωτούσα αν είχε προσπαθήσει μόνος του να τη λύση. Αν μου έλεγε ναι, τον ρωτούσα το δρόμο που ακολούθησε ( για να δω αν μου έλεγε αλήθεια) . Αν μου έλεγε όχι ,του έλεγα προσπάθησε πρώτα μόνος σου και μετά έλα να σου τη λύσω.
Μερικοί μου έλεγαν «γιατί να χάσω το χρόνο μου, αφού δεν πρόκειται να την λύσω». Και η απάντησή μου ήταν: Καταρχήν δεν ξέρεις αν θα την λύσεις ή όχι. Αλλά ακόμα και αν δεν την λύσεις ο χρόνος που θα διαθέσεις δεν είναι χαμένος. Γιατί θα σου δοθεί η ευκαιρία να επαναλάβεις και να θυμηθείς πολλούς ορισμούς και θεωρήματα από τη θεωρία και το σπουδαιότερο είναι ότι θα ξέρεις αρκετούς τρόπους με τους οποίους δεν λύνεται η άσκηση, είναι αυτοί με το οποίους θα δοκιμάσεις.

Φιλικά.

Υ.Γ.
Επειδή ένας συνάδελφός μου έστειλε ένα προσωπικό μήνυμα, στο οποίο μου γράφει μία διεύθυνση στην οποία υπάρχει η ίδια σχεδόν άσκηση, είμαι αναγκασμένος να αναφέρω ό,τι την άσκηση αυτή την πείρα από το βιβλίο μου « ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ- Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ», σελίδα 224, άσκηση 832( που το είχα εκδώσει το έτος 1977).

[chris_gatos]

Καλησπερα Κύριε Αντώνη. Δηλώνω πως με το παραπάνω μήνυμα δεν εννοούσα εσάς (ούτε μια στο τρισεκατομμύριο).
Εκφράστηκα γενικότερα.

[grigkost]

Συμφωνώ με την πρωτοβουλία του Κυρίου Αντώνη, αλλά ειλικρινά δε μπορώ να θυμηθώ ποιός απο το mathematica απαγόρεψε τη συμμετοχή και την αυτενέργεια των μαθητών. Εγω πρώτος προσπαθώ να βάλω προσιτές ασκήσεις (σε μαθητές εννοώ), άσχετα αν πολλές φορές κατηγορούμαι για έλλειψη ενδιαφέροντος.
Πραγματικά οι ασκήσεις που επιλέγω στοχεύουν και εκεί. Σκέπτομαι πως ίσως μας παρακολουθεί και κάποιος μαθητής...

Γιά τό γνήσιο ενδιαφέρον τού Χρήστου - καί όχι μόνο αυτού - όσον αφορά τήν συμμετοχή καί τών μαθητών στήν επίλυση τών ασκήσεων στό mathematica...

... Εκείνο που θέλω να πω είναι ότι, όταν δημοσιεύουμε μια άσκηση για τους μαθητές και σε πέντε λεπτά κάποιος συνάδελφος δημοσιεύει τη λύση, δεν αφήνουμε χρόνο στους μαθητές να αυτενεργήσουν...

...χρειάσθηκε η πείρα τού Α. Κυριακόπουλου ώστε αυτό τό ενδιαφέρον νά συγκεκριμενοποιηθεί σάν: ασκήσεις ΜΟΝΟ γιά μαθητές.

Οί Διαχειριστές-Συντονιστές τού mathematica δέν θά μπορούσαμε νά αγνοήσουμε μιά τόσο καλή ιδέα - πού σύν τοίς άλλοις δηλώνει καί μιά μεγάλη ανάγκη: τήν ενθάρρυνση τών μαθητών. Έτσι ήδη συζητάμε γιά τούς καλύτερους όρους δημιουργίας φακέλου μέ "ασκήσεις μόνο γιά μαθητές".
Παρακαλούμε γιά τήν ελάχιστη υπομονή.

[andreas]

καλησπέρα, είμαι καινούριο μέλος, μαθητής Α προς Β Λυκ.

παιρνω ΒΕ=ΒΔ. Αρκει να δειξω ΔΕ=ΕΓ.
Φερνω ΔΘ=ΔΑ, τοτε εχω ΔΑΘ ισοσκελες (Δ=20) και ΕΑΓ ισοσκελες(ΑΓ=ΕΓ).Αρα ΘΑΕ ισοσκελες(ΑΘ=ΕΘ) και ΘΓ μεσοκαθετος του ΑΕ. Αρα ΕΘΓ ισοσκελες(ΕΘ=ΘΓ).Φερνω ΑΘΛ=20 μοιρες, τοτε εχω ΑΛΘ ισοσκελες(Α=Λ=80 μοιρες) αρα ΛΘ=ΑΘ=ΕΘ και ΛΘΕ=60 αρα ΛΘΕ ισοπλευρο.
Αρα ΒΛΕ ισοσκελες(Λ=Β=40) αρα ΒΕ=ΕΛ.
αρα τα τριγωνα ΔΒΕ και ΕΘΓ ειναι ισα, αρα ΔΕ=ΕΓ.

Δεν γραφω ολες τις δικαιολογησεις διοτι ειναι προφανεις

Συγχαρητηρια για την προσπαθεια

Ανδρεας

[Α.Κυριακόπουλος]

Αγαπητέ Ανδρέα.
•Γράφεις ότι είσαι μαθητής. Θα μου επιτρέψεις λοιπόν να σου συστήσω, όταν δημοσιεύεις τη λύση μιας άσκησης στα μαθηματικά, να είσαι σαφής, σύντομος και κατανοητός. Αυτό δεν είναι και τόσο εύκολο. Πρέπει όμως να προσπαθήσεις και είμαι σίγουρος ότι θα τα καταφέρεις. Πολλές φορές, στη λύση μιας άσκησης παραλείπουμε κάτι που για μας ίσως να είναι προφανές. Αυτό όμως δεν είναι ασφαλές κριτήριο ότι πράγματι είναι προφανές. Κατά τη γνώμη μου, ένα καλό κριτήριο για το αν μια λύση είναι κατανοητή ή όχι είναι να αναρωτιόμαστε: « Αν αυτά τα διαβάσει ένας μέτριος μαθητής θα καταλάβει τη λύση;». Τις λύσεις δεν τις δημοσιεύουμε για τον εαυτόν μας. Τις δημοσιεύουμε για να τις διαβάσουν οι άλλοι και να τις καταλάβουν. Διαφορετικά, δεν υπάρχει λόγος να τις δημοσιεύουμε.
•Η λύση κάθε άσκησης στα μαθηματικά, εύκολης ή δύσκολης, είναι μια μικρή ή μεγάλη «πραγματεία», με αρχή, συνέπεια, συνέχεια και τέλος. Είναι μια σειρά συλλογισμών, με σαφήνεια και με λογική αυστηρότητα, που μας οδηγεί σε αυτό που θέλουμε να αποδείξουμε. Πρέπει να ξέρουμε τι θα πούμε, πότε θα το πούμε και γιατί θα το πούμε. Κάνουμε αυστηρούς συλλογισμούς, για να έχουμε βέβαια συμπεράσματα. Αν θέλεις, είναι μια περιπέτεια ενός ήρωα των μικρών σου χρόνων, που μετά από πολλές δυσκολίες φθάνει στο στόχο του.
•Ανδρέα, όταν ένας που ξέρει μαθηματικά , διαβάζει τη λύση μιας άσκησης , θα πρέπει με ευκολία να καταλαβαίνει αυτά που διαβάζει. Διαφορετικά, αυτός που έχει γράψει τη λύση ή δεν τα έχει καλά στο μυαλό του ή θολώνει τα νερά για να φαίνονται βαθιά. Δικαιολογίες του τύπου: « Δεν προφθάνω», « Βιάζομαι να φύγω», « Είναι πολύ πρωί», «Είναι πολύ αργά» κτλ. δεν είναι σοβαρές και μάλλον κάτι άλλο προσπαθούν να κρύψουν. Αφού δεν προφθάνεις ή βιάζεσαι ή είναι πολύ πρωί ή είναι πολύ αργά κτλ. άστο. Αργότερα που θα έχεις χρόνο το ξανακοιτάς και το γράφεις με την ησυχία σου, όπως πρέπει. Γιατί βιάζεσαι; Άλλωστε: «Scripta manent».
•Ανδρέα, θα μου επιτρέψεις να σου πω και κάτι άλλο. Όταν γράφεις κάτι στα μαθηματικά, μη βιάζεσαι να το δείξεις στους άλλους και πολύ περισσότερο μη βιάζεσαι να το δημοσιεύσεις. Άστο. Δεν σε βιάζει κανένας. Δεν υπάρχει λόγος να εκτεθείς αν έχεις κάνει λάθος. Όλοι κάνουμε λάθη. Μην διστάζεις να ρωτάς όταν δεν ξέρεις κάτι ή κάπου έχεις αμφιβολίες. Κοίταξε το την άλλη ημέρα. Διόρθωσε το. Γράψε τις απαραίτητες διευκρινίσεις. Βάλτο πάλι στην άκρη. Αν την τρίτη φορά που θα το κοιτάξεις νομίζεις ότι είναι εντάξει, τότε δείξτο στους άλλους ή αν θέλεις δημοσίευσε το.
•Ανδρέα, θα ήθελα να ξαναγράψεις τη λύση της άσκησης με τον τρόπο που αναφέρω παραπάνω: Απλά, κατανοητά , με τις απαραίτητες δικαιολογίες και να την δημοσιεύσεις.
•Καλή πρόοδο και να ξέρεις ότι όλοι οι συνάδελφοι μαθηματικοί στο mathematica είμαστε πρόθυμοι να σε βοηθήσουμε όπου χρειαστεί.
Με αγάπη.

[andreas]

Ξαναγραφω τη λυση ολοκληρωμενη.

Παιρνω πανω στη ΒΓ τμημα ΒΕ=ΒΔ. Τοτε ΒΔΕ ισοσκελες με Β=140, αρα ΒΔΕ=ΒΕΔ=20. Αν δειξω οτι ΔΕ=ΕΓ τοτε η ΒΓΔ θα ειναι 10 μοιρες.

Προεκτεινω την ΔΕ και παιρνω ΔΘ=ΔΑ. Αρα ΔΑΘ ισοσκελες με Δ=20 αρα ΔΑΘ=ΔΘΑ=80. Αρα ΘΑΓ=20 μοιρες.
Ομως ΑΔ=ΒΓ αρα ΑΒ+ΔΒ=ΒΕ+ΕΓ αρα ΑΒ=ΕΓ=ΑΓ(απο υποθεση).
Αρα ΑΓΕ ισοσκελες Γ=40 αρα ΓΕΑ=ΓΑΕ=70 μοιρες. Αρα ΘΑΕ=50=ΘΕΑ(ΘΕΓ=20 κατακορυφην της ΒΕΔ). Αρα ΑΕΘ ισοσκελες αρα ΘΑ=ΘΕ. Αρα ΘΓ μεσοκαθετος του ΑΕ διοτι Γ,Θ ισαπεχουν απτα ακρα του ευθ. τμηματος. Αρα ΘΓ θα ειναι και διχοτομος της ΑΓΕ αρα ΑΓΘ=ΘΓΕ=20 μοιρες. Αρα ΘΕ=ΘΓ=ΑΘ. Παιρνω ΑΘΛ=20 μοιρες, αρα ΑΛΘ ισοσκελες με ΘΑΛ=ΘΛΑ=80 μοιρες και ΑΘ=ΘΛ=ΘΕ.

Αρα ΘΛΕ ισοσκελες με μια γωνια 60(ΛΘΕ=80-20) αρα ισοπλευρο και ΛΕ=ΛΘ=ΕΘ. Το τριγωνο ΒΕΛ ειναι ισοσκελες διοτι ΒΛΕ=180-ΑΛΘ-ΘΛΕ=180-80-60=40=ΛΒΕ. Αρα ΕΒ=ΕΛ=ΕΘ.
Απο Γ-Π-Γ τα τριγωνα ΔΒΕ και ΕΘΓ ειναι ισα(ΒΕ=ΘΕ, ΒΕΔ=ΘΕΓ=20, ΔΒΕ=ΕΘΓ=140).

Αρα ΔΕ=ΕΓ που θελαμε.

ειναι καλυτερα τωρα; περιμενω τα σχολια σας

Ανδρεας

[Α.Κυριακόπουλος]

Ανδρέα, ναι είναι πολύ καλύτερη τώρα. Θα ήταν όμως καλύτερα να μην γράψεις στην αρχή: « Αν δείξω ότι ΔΕ=ΕΓ, τότε…». Αυτό βεβαίως θα το είχες στο μυαλό σου. Στο τέλος, αφού αποδείξεις ότι ΔΕ=ΕΓ, προχωρείς και βρίσκεις την γωνία που ζητάς. Δεν πειράζει.
•Υπάρχει και άλλη ευκολότερη λύση. Αλλά αυτό δεν μειώνει στο ελάχιστο την αξία της λύσης που έκανες εσύ. Αργότερα , αν δεν στείλει άλλος ευκολότερη λύση, θα δημοσιεύσω τη λύση που έκανα εγώ.
• Προσπάθησε πάντοτε κάθε μέρα να γίνεσαι και καλύτερος. Παντού.
Με αγάπη.

[p_gianno]

Καλησπέρα
Ακόμη δύο λύσεις για την άσκηση αυτή

isosceles for students.pdf

(103.49 KiB) Μεταφορτώθηκε 195 φορές

Π.Γ

[lonis]

Τώρα που πέρασε η προθεσμία που έδωσε ο Αντώνης για τη λύση της όμορφης αυτής άσκησης, μπορούμε πλέον να "μαρτυρήσουμε" ότι συζητήθηκε κι εδώ: viewtopic.php?f=49&t=737

Καλημέρα σε όλους
Λεωνίδας

[Ηλιας Φραγκάκος]

Φέρω ισόπλευρο τρίγωνο με τα και εκατέρωθεν (αυτό το έμαθα από τον κ. Ν. Φραγκάκη) της . Έστω το κοινό σημείο των και . Βλέπω ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα εφόσον στο ισοσκελές τρ. . Άρα . Άρα τα και ορίζουν μεσοκάθετο της .