Μία με άρρητους αριθμούς(Α-ΛΥΚ-ΑΛΓ)

#1

Να αποδειχθεί ότι η κυβική ρίζα κάθε θετικού άρρητου αριθμού είναι επίσης αριθμός άρρητος.
Ισχύει το ίδιο συμπέρασμα για τον κύβο ενός άρρητου αριθμού;

Μαυρογιάννης
_________________________________________________________________________________
Έως 22 Ιουλίου 2009, A ΛΥΚΕΙΟΥ, ΑΛΓΕΒΡΑ
_________________________________________________________________________________

Stavroulitsa · #2

Καλημέρα! Θα προσπαθήσω να λύσω την άσκηση αλλά σίγουρα έχω κάποιο λάθος... Λοιπόν ο αριθμός $\chi =\sqrt[3]{\psi }$ όπου ο ψ είναι άρρητος άρα $\chi =\sqrt[3]{\sqrt{\alpha }}$ όπου $\sqrt[3]{\sqrt{\alpha }}=\sqrt{\beta }$ και $\chi ,\alpha ,\beta ,\psi \in$ Ν άρα $\sqrt[3]{\sqrt{\alpha }}=\sqrt{\beta }\Leftrightarrow \sqrt{\sqrt[3]{\alpha }}=\sqrt{\beta }\Leftrightarrow \sqrt[3]{\alpha }=\beta$ .
Έστω ένας άρρητος $z^{3}=\sqrt{y}^{3}= \sqrt{y}\cdot \sqrt{y}\cdot \sqrt{y}=y\sqrt{y}$ άρα είναι άρρητος...
Τι λάθος έχω κάνει;

#3

Stavroulitsa έγραψε:Λοιπόν ο αριθμός $\chi =\sqrt[3]{\psi }$

Stavroulitsa αυτή είναι η βασική ιδέα. Δούλεψε σε αυτήν λίγο ακόμη. Αν το καλοσκεφτείς θα δεις ότι πολλά από αυτά που γράφεις μετά δεν χρειάζονται.

Θα την αφήσω την άσκηση μερικές μέρες ακόμη. Γιαυτό άλλαξα την αρχική προθεσμία.
Μαυρογιάννης

andreas · #4

Καλημέρα,

Έστω α άρρητος, και η τρίτη ρίζα του α είναι ρητός, δηλαδή μπορεί να γραφεί σαν κλάσμα ακεραίων (κ/λ).
Τότε
$\displaystyle{\displaystyle \sqrt[3]{a} = \frac{k}{l} \Rightarrow a = {\left( {\frac{k}{l}} \right)^3} \Rightarrow a = \frac{{{k^3}}}{{{l^3}}} = \frac{m}{n}}$ , δηλαδή α= ρητός, άτοπο.
Άρα η τρίτη ρίζα άρρητου είναι άρρητος.

Για τον κύβο άρρητου δεν ισχύει το ίδιο αφού $\displaystyle{\displaystyle {\left( {\sqrt[3]{2}} \right)^3} = 2}$ .

Ανδρέας

#5

Ανδρέα καλλίτερα δεν γίνεται!
Μαυρογιάννης

Μία με άρρητους αριθμούς(Α-ΛΥΚ-ΑΛΓ)

Μία με άρρητους αριθμούς(Α-ΛΥΚ-ΑΛΓ)

Re: Μία με άρρητους αριθμούς

Re: Μία με άρρητους αριθμούς

Re: Μία με άρρητους αριθμούς

Re: Μία με άρρητους αριθμούς

Μέλη σε σύνδεση