δύο απλά θεματάκια

dimitrisman · #1

Αν $\left | z \right |=10$
i)να δείξετε ότι $\frac{z^{2}+100}{z}=2\mathbb{R}(z)$
ii)να δείξετε ότι $\frac{z^{2}-100}{z}=2Im(z)i$

2) $\left | z_{1} \right |=\left | z_{2} \right |=1$

να δείξετε ότι $\left ( \frac{z_{1}+z_{2}}{z_{1}-z_{2}} \right )^{2012} \epsilon \mathbb{R}$
και $\left ( \frac{z_{1}+z_{2}}{z_{1}-z_{2}} \right )^{2013} \epsilon Im$

BAGGP93 · #2

1i) $\frac{z^2+100}{z}=\frac{z^2+\left\vert z \right\vert^2}{z}=\frac{z^2+z\bar{z}}{z}=z+\bar{z}=2Re(z)$
1ii)Ομοίως

2i) $w=(\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2})^2^0^1^2$

$\left\vert z_1\right\vert=1\Rightarrow (\left\vert z_1\right\vert)^2=1\Rightarrow \bar{z_1}=\frac{1}{z_1}$

$\left\vert z_2\right\vert=1\Rightarrow (\left\vert z_2\right\vert)^2=1\Rightarrow \bar{z_2}=\frac{1}{z_2}$

$\bar{w}=(\frac{\bar{z_1}+\bar{z_2}}{\bar{z_1}-\bar{z_2}})^2^0^1^2=(\frac{z_1+z_2}{-(z_1-z_2)})^2^0^1^2=w\Rightarrow w\in R$

$=(\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2})^2^0^1^3=w(\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2})$

Όμως θέτοντας $v=\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}$ εύκολα βλεπουμε ότι $v=-\bar{v}$ και άρα $v\in Im$
Επομένως $(\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2})^2^0^1^3 \in Im$

Απόδειξη.Έστω z=a+bi

και $z=\bar{z}$
Τότε $a+bi=a-bi\Rightarrow 2bi=0\Rightarrow b=0\Rightarrow Im(z)=0\Rightarrow z\in R$

Ας υποθέσουμε τώρα ότι $z=-\bar{z}$
Άρα $a+bi=-a+bi\Rightarrow 2a=0\Rightarrow a=0\Rightarrow Re(z)=0\Rightarrow z\in Im$

dimitrisman · #3

τα έλυσες πολύ ωραία και σωστά απλά δεν καταλαβαίνω στο σκεπτικό σου με την σχέση που είναι υψωμένη στην 2013

BAGGP93 · #4

$(\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2})^2^0^1^3=(\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2})^2^0^1^2(\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2})$

Ο πρώτος παράγοντας σύμφωνα με το 2i) είναι ένας πραγματικός αριθμός.Στη συνέχεια αποδεικνύω ότι ο δεύτερος παράγοντας είναι
φανταστικός δείχνοντας ότι ο συζηγής του είναι ο αντίθετος του.

Άρα ο παραπάνω μιγαδικός (που είναι υψωμένος εις την 2013) είναι της μορφής $ki,k\in R$ και έτσι έχω το ζητούμενο.

dimitrisman · #5

τωρα μαλιστα

#6

dimitrisman έγραψε:τα καταφερα και με αυτην ευχαριστωωωω

1)να βρειτε που κινειται ο z (ειχε πολλα ερωτηματα αλλα σε αυτα τα δυο δυσκολευομαι μονο)
i) $\left | z-1 \right |^{2}+\left | z-3-2i \right |^{2}=6$
ii) $\left | z+4+i \right |^{2}-\left | z+1-i \right |^{2}=3$

Βάλε

και κάνε πράξεις...

δύο απλά θεματάκια

δύο απλά θεματάκια

Re: δύο απλά θεματάκια

Re: δύο απλά θεματάκια

Re: δύο απλά θεματάκια

Re: δύο απλά θεματάκια

Re: δύο απλά θεματάκια

Μέλη σε σύνδεση