Εύρεση τύπου συνάρτησης

Γιώργος Απόκης · #1

Η συνάρτηση $\displaystyle{f:(0,+\infty)\to\mathbb R}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$ . Αν ισχύουν $\displaystyle{f(1)=0}$ και

$\displaystyle{x^2f'(x)=(x-\ln x)e^{1/x},~x\in \mathbb (0,+\infty)}$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f(x)=e^{1/x}\ln x ,x\in \mathbb (0,+\infty)}$

(Κατ. Γ' - Μέχρι 22/1/17)

kostas232 · #2

Αφού $x \in (0, + \infty )$ έχουμε:

$x^2f'(x)=(x-lnx)e^{1/x} \Leftrightarrow f'(x)=\frac{1}{x} e^{1/x} -\frac{1}{x^2} e^{1/x} lnx \Leftrightarrow f'(x)=(e^{1/x} lnx)'$ ,για κάθε $x \in (0, + \infty )$ .

Άρα, υπάρχει $c \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $f(x)=e^{1/x} lnx +c, x \in (0, + \infty )$ . Για χ=1 προκύπτει:
$f(1)=c \Leftrightarrow c=0$ . Άρα:

$\boxed{f(x)=e^{1/x} lnx, x \in (0, + \infty )}$

Γιώργος Απόκης · #3

kfd · #4

Γιώργος Απόκης · #5

kfd έγραψε: $g(x)=f(x)-e^{1/x}lnx\Rightarrowg\Rightarrow {g}'(x)={f}'(x)-(e^{1/x}){}'lnx -e^{^{1/x}}*(1/x)=...=0$

Tolaso J Kos · #6

Γιώργος Απόκης έγραψε:
kfd έγραψε: $g(x)=f(x)-e^{1/x}lnx\Rightarrowg\Rightarrow {g}'(x)={f}'(x)-(e^{1/x}){}'lnx -e^{^{1/x}}*(1/x)=...=0$

Γιώργο,

έχω την εντύπωση ότι κάτι τέτοιο δε μπορούμε να το κάνουμε διότι έτσι δεν αποδεικνύουμε τη μοναδικότητα. Αν μπορούσαμε τότε σε κάθε άσκηση που ζητάει επίλυση διαφορικής εξίσωσης δε θα λύναμε τη διαφορική αλλά θα θεωρούσαμε $h(x)=\cdots$ αυτό που θέλουμε να δείξουμε και θα τελειώναμε.

Τι λες;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Tolaso J Kos έγραψε:
Γιώργος Απόκης έγραψε:
kfd έγραψε: $g(x)=f(x)-e^{1/x}lnx\Rightarrowg\Rightarrow {g}'(x)={f}'(x)-(e^{1/x}){}'lnx -e^{^{1/x}}*(1/x)=...=0$

Γιώργο,

έχω την εντύπωση ότι κάτι τέτοιο δε μπορούμε να το κάνουμε διότι έτσι δεν αποδεικνύουμε τη μοναδικότητα. Αν μπορούσαμε τότε σε κάθε άσκηση που ζητάει επίλυση διαφορικής εξίσωσης δε θα λύναμε τη διαφορική αλλά θα θεωρούσαμε $h(x)=\cdots$ αυτό που θέλουμε να δείξουμε και θα τελειώναμε.

Τι λες;

Τόλη δεν έχεις δίκιο στα
1)Η μοναδικότητα είναι άμεση γιατί:
$g'(x)=0\Rightarrow g(x)=c$ και για x=1

προκύπτει

2)Δεν ζητάει να λυθεί η διαφορική εξίσωση αλλά να βρεθεί η συνάρτηση.Εξάλλου στο Λύκειο υποτίθεται ότι δεν υπάρχουν διαφορικές εξισώσεις.

Στο ότι στην ουσία είναι κλέψιμο έχεις δίκιο.

Άλλο είναι το ουσιώδες ερώτημα εδώ.
Αν στις πανελλήνιες έλεγε
Βρείτε την συνάρτηση που ικανοποιεί .........
Επερνες τον τύπο της συνάρτησης που έδινε παρακάτω και έκανες μια ανάλογη λύση
πόσες μονάδες θα έπαιρνες;

Γιώργος Απόκης · #8

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε:
Γιώργος Απόκης έγραψε:
kfd έγραψε: $g(x)=f(x)-e^{1/x}lnx\Rightarrowg\Rightarrow {g}'(x)={f}'(x)-(e^{1/x}){}'lnx -e^{^{1/x}}*(1/x)=...=0$

Γιώργο,

έχω την εντύπωση ότι κάτι τέτοιο δε μπορούμε να το κάνουμε διότι έτσι δεν αποδεικνύουμε τη μοναδικότητα. Αν μπορούσαμε τότε σε κάθε άσκηση που ζητάει επίλυση διαφορικής εξίσωσης δε θα λύναμε τη διαφορική αλλά θα θεωρούσαμε $h(x)=\cdots$ αυτό που θέλουμε να δείξουμε και θα τελειώναμε.

Τι λες;
Τόλη δεν έχεις δίκιο στα
1)Η μοναδικότητα είναι άμεση γιατί:
$g'(x)=0\Rightarrow g(x)=c$ και για προκύπτει
2)Δεν ζητάει να λυθεί η διαφορική εξίσωση αλλά να βρεθεί η συνάρτηση.Εξάλλου στο Λύκειο υποτίθεται ότι δεν υπάρχουν διαφορικές εξισώσεις.

Στο ότι στην ουσία είναι κλέψιμο έχεις δίκιο.

Άλλο είναι το ουσιώδες ερώτημα εδώ.
Αν στις πανελλήνιες έλεγε
Βρείτε την συνάρτηση που ικανοποιεί .........
Επερνες τον τύπο της συνάρτησης που έδινε παρακάτω και έκανες μια ανάλογη λύση
πόσες μονάδες θα έπαιρνες;

Kαλησπέρα. Συμφωνώ στο ότι είναι "κλέψιμο" αλλά η λύση είναι σωστή. Δεν έκανε απλή επαλήθευση, απέδειξε

ότι η διαφορά των δύο συναρτήσεων είναι σταθερή (και μετά ταυτοτικά μηδέν) άρα οι συναρτήσεις είναι ίσες.

kostas232 · #9

Γιώργος Απόκης έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε:
Γιώργος Απόκης έγραψε:
kfd έγραψε: $g(x)=f(x)-e^{1/x}lnx\Rightarrowg\Rightarrow {g}'(x)={f}'(x)-(e^{1/x}){}'lnx -e^{^{1/x}}*(1/x)=...=0$

Γιώργο,

έχω την εντύπωση ότι κάτι τέτοιο δε μπορούμε να το κάνουμε διότι έτσι δεν αποδεικνύουμε τη μοναδικότητα. Αν μπορούσαμε τότε σε κάθε άσκηση που ζητάει επίλυση διαφορικής εξίσωσης δε θα λύναμε τη διαφορική αλλά θα θεωρούσαμε $h(x)=\cdots$ αυτό που θέλουμε να δείξουμε και θα τελειώναμε.

Τι λες;
Τόλη δεν έχεις δίκιο στα
1)Η μοναδικότητα είναι άμεση γιατί:
$g'(x)=0\Rightarrow g(x)=c$ και για προκύπτει
2)Δεν ζητάει να λυθεί η διαφορική εξίσωση αλλά να βρεθεί η συνάρτηση.Εξάλλου στο Λύκειο υποτίθεται ότι δεν υπάρχουν διαφορικές εξισώσεις.

Στο ότι στην ουσία είναι κλέψιμο έχεις δίκιο.

Άλλο είναι το ουσιώδες ερώτημα εδώ.
Αν στις πανελλήνιες έλεγε
Βρείτε την συνάρτηση που ικανοποιεί .........
Επερνες τον τύπο της συνάρτησης που έδινε παρακάτω και έκανες μια ανάλογη λύση
πόσες μονάδες θα έπαιρνες;
Kαλησπέρα. Συμφωνώ στο ότι είναι "κλέψιμο" αλλά η λύση είναι σωστή. Δεν έκανε απλή επαλήθευση, απέδειξε

ότι η διαφορά των δύο συναρτήσεων είναι σταθερή (και μετά ταυτοτικά μηδέν) άρα οι συναρτήσεις είναι ίσες.

Συμφωνώ απόλυτα.
Η παραπάνω τεχνική είναι απόλυτα σωστή και μπορεί να προσφέρει πολλά. Δε νομίζω ότι αν εφαρμοζόταν από κάποιον στις Πανελλήνιες θα έπρεπε να υπάρχει πρόβλημα...

Εύρεση τύπου συνάρτησης

Εύρεση τύπου συνάρτησης

Re: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Re: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Re: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Re: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Re: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Re: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Re: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Re: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση