Γεωμετρία (Α Γυμν)

#1

: ΣΧ1,26-5-17.png (15.18 KiB) Προβλήθηκε 1094 φορές

Οι ευθείες (ε) και (ζ) είναι παράλληλες και τα A , B

είναι σημεία της (ε). Ο κύκλος (A,AB)

τέμνει την (ε) σε ένα δεύτερο σημείο

.
Έστω $\Gamma$ σημείο του κύκλου τέτοιο ώστε η γωνία $\displaystyle{AZ\Gamma}$ να έχει μέτρο $32^{o}$ . Αν η ημιευθεία $B\Gamma$ τέμνει
την (ζ) στο

,
(a) Να υπολογίσετε την γωνία

(b) Να βρείτε το είδος του τριγώνου $\displaystyle{ZB\Gamma}$ ως προς τις γωνίες και τις πλευρές του.

(Μέχρι 3-5-17)

(ΣΗΜ: Να χρησιμοποιηθεί μόνο η ύλη της Α Γυμνασίου)

Κατερινόπουλος Νικόλας · #2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: Οι ευθείες (ε) και (ζ) είναι παράλληλες και τα είναι σημεία της (ε). Ο κύκλος τέμνει την (ε) σε ένα δεύτερο σημείο . Έστω $\Gamma$ σημείο του κύκλου τέτοιο ώστε η γωνία $\displaystyle{AZ\Gamma}$ να έχει μέτρο $32^{o}$ . Αν η ημιευθεία $B\Gamma$ τέμνει την (ζ) στο ,

(a) Να υπολογίσετε την γωνία

(b) Να βρείτε το είδος του τριγώνου $\displaystyle{ZB\Gamma}$ ως προς τις γωνίες και τις πλευρές του.

Καλησπέρα σας κύριε Δημήτρη! Πολύ ωραία άσκηση!!!

(a)

Επειδή $A\Gamma$ διάμετρος και $\hat{B\Gamma Z}$ εγγεγραμένη που βαίνει σε ημικύκλιο, έχω ότι $\hat{\Gamma}=90^{0}(1)$ .

Άρα, $B=180^{0}-32^{0}-90^{0}=58^{0}$ . Αφού (ε) και (ζ) είναι παράλληλες, έχω ως εντός εναλλάξ ότι $\boxed{x=58^{0}}$

$(\beta)$ Λόγω της (1)

, $BZ\Gamma$ ορθογώνιο.

#3

Νίκο καλό βράδυ . Ωραία η λύση σου , η οποία δείχνει ότι έχεις προχωρήσει τις γνώσεις σου στην γεωμετρία πιο πάνω από την ύλη που έχει
το σχολικό βιβλίο της Α Γυμνασίου.
Για τους μη προχωρημένους μαθητές, ας δούμε πως θα μπορούσαν να την λύσουν χωρίς να χρησιμοποιήσουν την πρόταση ότι κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή:

: ΣΧ2,26-5-17.png (16.41 KiB) Προβλήθηκε 1030 φορές

Φέρνουμε την ακτίνα $A\Gamma$ . Τότε το τρίγωνο $AZ\Gamma$ είναι ισοσκελές (διότι $AZ=A\Gamma$ , ως ακτίνες του κύκλου) και έχει
βάση την $Z\Gamma$ . Άρα γων. $A\Gamma Z = 32^{o}$ , (αφού οι παρά την βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες)
Άρα γων. $ZA\Gamma =180^{o} - 32^{o} - 32^{o} = 116^{o}$ , οπότε γων. $BA\Gamma = 180^{o} - 116^{o} = 64^{o}$ .

Όμως και το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ισοσκελές με βάση την $B\Gamma$ . Άρα γων. $\displaystyle{AB\Gamma =\frac{180^{o}-64^{o}}{2}=58^{o}}$

Οι γωνίες τώρα

και $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι εντός εναλλάξ των παραλλήλων (ε) και (ζ) που τέμνονται από την

. Άρα $\displaystyle{x= 58^{o}}$

Κατερινόπουλος Νικόλας · #4

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:Νίκο καλό βράδυ . Ωραία η λύση σου , η οποία δείχνει ότι έχεις προχωρήσει τις γνώσεις σου στην γεωμετρία πιο πάνω από την ύλη που έχει
το σχολικό βιβλίο της Α Γυμνασίου.
Για τους μη προχωρημένους μαθητές, ας δούμε πως θα μπορούσαν να την λύσουν χωρίς να χρησιμοποιήσουν την πρόταση ότι κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή:
ΣΧ2,26-5-17.png

Φέρνουμε την ακτίνα $A\Gamma$ . Τότε το τρίγωνο $AZ\Gamma$ είναι ισοσκελές (διότι $AZ=A\Gamma$ , ως ακτίνες του κύκλου) και έχει
βάση την $Z\Gamma$ . Άρα γων. $A\Gamma Z = 32^{o}$ , (αφού οι παρά την βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες)
Άρα γων. $ZA\Gamma =180^{o} - 32^{o} - 32^{o} = 116^{o}$ , οπότε γων. $BA\Gamma = 180^{o} - 116^{o} = 64^{o}$ .

Όμως και το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ισοσκελές με βάση την $B\Gamma$ . Άρα γων. $\displaystyle{AB\Gamma =\frac{180^{o}-64^{o}}{2}=58^{o}}$

Οι γωνίες τώρα και $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι εντός εναλλάξ των παραλλήλων (ε) και (ζ) που τέμνονται από την . Άρα $\displaystyle{x= 58^{o}}$

Κατερινόπουλος Νικόλας · #5

Ας βάλω κι άλλον ένα τρόπο:

Φέρνω την ακτίνα $A\Gamma$ . Επειδή

διάμετρος, έχω $AZ=AB=A\Gamma$ . Άρα, $BZ\Gamma$ ορθογώνιο.

Τα υπόλοιπα, εύκολα!

Καλό βράδυ!!!

Κατερινόπουλος Νικόλας · #6

Και μια τελευταία...

Φέρνω την $A\Gamma.$ Οι $\hat{BZ\Gamma},\hat{B A \Gamma}$ βαίνουν στο ίδιο τόξο. Επειδή κάθε εγγεγραμένη ισούται με το μισό της επίκεντρης όταν βαίνουν σε ίσα τόξα,

έχω $\hat{BA\Gamma}=64^{0}.$

Τα υπόλοιπα, εύκολα!

Γεωμετρία (Α Γυμν)

Γεωμετρία (Α Γυμν)

Re: Γεωμετρία (Α' Γυμνασίου)

Re: Γεωμετρία (Α Γυμν)

Re: Γεωμετρία (Α' Γυμνασίου)

Re: Γεωμετρία (Α' Γυμνασίου)

Re: Γεωμετρία (Α' Γυμνασίου)

Μέλη σε σύνδεση