Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος

#1

Οι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle {x^4} - (3a + 5){x^2} + {(a + 1)^2} = 0$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό

καθώς και τις ρίζες.

Ένα 24ωρο για μαθητές.

throwaway123 · #2

Έστω

έχω

και έστω ρίζες u_1 και u_2

με

και

παρατηρούμε ότι οι λύσεις της αρχικής είναι $\pm \sqrt{u_1}$ η $\pm \sqrt{u_2}$
άρα έπεται $-\sqrt{u_2}<-\sqrt{u_1}<\sqrt{u_1}<\sqrt{u_2}$ οι οποίοι είναι όροι αριθμιτικής προόδου άρα έστω d η διαφορά προόδου είναι $\sqrt{u_1}-(-\sqrt{u_1})=d\Leftrightarrow u_1=\frac{d^2}{4}$ και $-\sqrt{u_2}+3d=\sqrt{u_2}\Leftrightarrow u_2=\frac{9d^2}{4}$ και από vieta έχω $\begin{Bmatrix} u_1+u_2=3a+5& \\u_1u_2=(a+1)^2 & \end{Bmatrix}\Leftrightarrow \begin{Bmatrix} \frac{10d^2}{4}=3a=5 & \\\frac{9d^4}{16}=a^2+2a+1 & \end{Bmatrix}$ το οποίο μετά απο πράξεις δίνει τα ζευγάρια $(d,a)=(2\sqrt{2},5),(-2\sqrt{2},5),(\frac{2\sqrt{38}}{19},-\frac{25}{19}),(-\frac{2\sqrt{38}}{19},-\frac{25}{19})$ όμωs στην αρχική πρέπει $D>0\Leftrightarrow 5a^2+22a +21> 0\forall a\in (-\infty,-3)\cup(-\frac{14}{10},+\infty)$ άρα δεκτά είναι μόνο τα 2 πρώτα ζευγάργια και έχω $u_1=\frac{(\pm 2\sqrt{2})^2}{4}=2$ και $u_2=9\frac{(\pm 2\sqrt{2})^2}{4}=18$ άρα a=5

και $x_1=-\sqrt{2},x_2=\sqrt{2},x_3=-3\sqrt{2},x_4=3\sqrt{2}$
[*Λανθασμένα απέριψα την $a=-\frac{25}{9}$
]

Τσιαλας Νικολαος · #3

Κύριε Γιώργο υποθέτουμε ότι έχει 4 λύσεις?

#4

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: Παρ Μάιος 15, 2020 3:06 pm Κύριε Γιώργο υποθέτουμε ότι έχει 4 λύσεις?

Ναι. Η άσκηση είναι από τις εισαγωγικές εξετάσεις στη Σ.Μ.Α (προ αμνημονεύτων χρόνων). Είχε δοθεί έτσι, χωρίς περαιτέρω διευκρίνιση. Η εξήγηση είναι ότι αφού μιλάμε για αριθμητική πρόοδο, η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες και αφού είναι διτετράγωνη θα έχει δύο ή τέσσερις ρίζες. Αν όμως είναι δύο τότε δεν έχει νόημα η αριθμητική πρόοδος. Άρα οι ρίζες είναι τέσσερις.

Τσιαλας Νικολαος · #5

george visvikis έγραψε: Παρ Μάιος 15, 2020 4:13 pm
Τσιαλας Νικολαος έγραψε: Παρ Μάιος 15, 2020 3:06 pm Κύριε Γιώργο υποθέτουμε ότι έχει 4 λύσεις?
Ναι. Η άσκηση είναι από τις εισαγωγικές εξετάσεις στη Σ.Μ.Α (προ αμνημονεύτων χρόνων). Είχε δοθεί έτσι, χωρίς περαιτέρω διευκρίνιση. Η εξήγηση είναι ότι αφού μιλάμε για αριθμητική πρόοδο, η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες και αφού είναι διτετράγωνη θα έχει δύο ή τέσσερις ρίζες. Αν όμως είναι δύο τότε δεν έχει νόημα η αριθμητική πρόοδος. Άρα οι ρίζες είναι τέσσερις.

Ναι την ίδια σκέψη ακριβώς έκανα και εγώ! Οπότε μια ωραία εξωσχολική λύση θα ήταν με γενικευμένο vietta!

throwaway123 · #6

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: Παρ Μάιος 15, 2020 4:29 pm
george visvikis έγραψε: Παρ Μάιος 15, 2020 4:13 pm
Τσιαλας Νικολαος έγραψε: Παρ Μάιος 15, 2020 3:06 pm Κύριε Γιώργο υποθέτουμε ότι έχει 4 λύσεις?
Ναι. Η άσκηση είναι από τις εισαγωγικές εξετάσεις στη Σ.Μ.Α (προ αμνημονεύτων χρόνων). Είχε δοθεί έτσι, χωρίς περαιτέρω διευκρίνιση. Η εξήγηση είναι ότι αφού μιλάμε για αριθμητική πρόοδο, η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες και αφού είναι διτετράγωνη θα έχει δύο ή τέσσερις ρίζες. Αν όμως είναι δύο τότε δεν έχει νόημα η αριθμητική πρόοδος. Άρα οι ρίζες είναι τέσσερις.
Ναι την ίδια σκέψη ακριβώς έκανα και εγώ! Οπότε μια ωραία εξωσχολική λύση θα ήταν με γενικευμένο vietta!

ωραία ιδέα αλλά πως θα υλοποιηθεί σε διτετράγωνη;
ρωτώ γιατί η δικιά μου απόδειξη είναι κάπως βαρετή και άκομψη.

Τσιαλας Νικολαος · #7

4ptil έγραψε: Παρ Μάιος 15, 2020 4:45 pm
Τσιαλας Νικολαος έγραψε: Παρ Μάιος 15, 2020 4:29 pm
george visvikis έγραψε: Παρ Μάιος 15, 2020 4:13 pm
Τσιαλας Νικολαος έγραψε: Παρ Μάιος 15, 2020 3:06 pm Κύριε Γιώργο υποθέτουμε ότι έχει 4 λύσεις?
Ναι. Η άσκηση είναι από τις εισαγωγικές εξετάσεις στη Σ.Μ.Α (προ αμνημονεύτων χρόνων). Είχε δοθεί έτσι, χωρίς περαιτέρω διευκρίνιση. Η εξήγηση είναι ότι αφού μιλάμε για αριθμητική πρόοδο, η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες και αφού είναι διτετράγωνη θα έχει δύο ή τέσσερις ρίζες. Αν όμως είναι δύο τότε δεν έχει νόημα η αριθμητική πρόοδος. Άρα οι ρίζες είναι τέσσερις.
Ναι την ίδια σκέψη ακριβώς έκανα και εγώ! Οπότε μια ωραία εξωσχολική λύση θα ήταν με γενικευμένο vietta!
ωραία ιδέα αλλά πως θα υλοποιηθεί σε διτετράγωνη;
ρωτώ γιατί η δικιά μου απόδειξη είναι κάπως βαρετή και άκομψη.

Καλησπέρα!! Είναι εξωσχολικό το γενικευμένο vietta! Δεν είναι η ειδική περίπτωση του σχολείου

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #8

Μάλλον αυτό εννοεί ο κύριος Νίκος.
Έστω $\rm r_1=x-3w,r_2=x-w,r_3=x+w,r_4=x+3w$ οι ρίζες ,με $\rm 2w$ την διαφορά της προόδου.
Είναι $\rm r_1+r_2+r_3+r_4=S_1(r_1,r_2,r_3,r_4)=(-1)^{1}\dfrac{0}{1}=0\Leftrightarrow \sum r_i=0\Leftrightarrow x=0$ άρα $\rm r_1=-3w,r_2=-w,r_3=w,r_4=3w$ .
Επίσης $\rm r_1r_2r_3r_4=S_4(r_1,r_2,r_3,r_4)=(-1)\dfrac{(a+1)^}{1}\Leftrightarrow 9w^4=(a+1)^2$ .
Επίσης $\displaystyle \rm \sum_{1\leq i<j\leq 4}r_ir_j=S_2(r_1,r_2,r_3,r_4)=(-1)^2\dfrac{-(3a+5)}{1} \leftrightarrrow -10w^2=-3a-5\Leftrightarrow 10w^2=3a+5$ .
Αν $\rm 3w^2=a+1$ τότε $\rm 10w^2=\dfrac{10}{3}(a+1)$ οπότε $\rm \dfrac{10}{3}(a+1)=3a+5\Leftrightarrow a=5,w=\sqrt{2}$
Αν ήταν $\rm 3w^2=-a-1$ τότε $\rm 10w^2=\dfrac{10}{3}(-a-1)$ οπότε αντικαθιστώντας $\rm 3a+5=\dfrac{10}{3}(-a-1)$ που δίνει $\rm a=\dfrac{-25}{19}$ ,εύκολα βλέπουμε πως τότε στην αρχική είναι $\rm \Delta=\dfrac{16}{19}$ οπότε δεν προκύπτουν 4 ρίζες (αυτό δεν ισχύει,είχα λάθος στις πράξεις) .
Άρα $\rm a=5,w=\sqrt{2},r_1=-3\sqrt{2},r_2=-\sqrt{2},r_3=\sqrt{2},r_4=3\sqrt{2}$ .

Συμπλήρωση μετά: Για $\rm a=\dfrac{-25}{19}$ έχουμε πάλι λύσεις .

throwaway123 · #9

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: Παρ Μάιος 15, 2020 5:22 pm Μάλλον αυτό εννοεί ο κύριος Νίκος.
Έστω $\rm r_1=x-3w,r_2=x-w,r_3=x+w,r_4=x+3w$ οι ρίζες ,με $\rm 2w$ την διαφορά της προόδου.
Είναι $\rm r_1+r_2+r_3+r_4=S_1(r_1,r_2,r_3,r_4)=(-1)^{1}\dfrac{0}{1}=0\Leftrightarrow \sum r_i=0\Leftrightarrow x=0$ άρα $\rm r_1=-3w,r_2=-w,r_3=w,r_4=3w$ .
Επίσης $\rm r_1r_2r_3r_4=S_4(r_1,r_2,r_3,r_4)=(-1)\dfrac{(a+1)^}{1}\Leftrightarrow 9w^4=(a+1)^2$ .
Επίσης $\displaystyle \rm \sum_{1\leq i<j\leq 4}r_ir_j=S_2(r_1,r_2,r_3,r_4)=(-1)^2\dfrac{-(3a+5)}{1} \leftrightarrrow -10w^2=-3a-5\Leftrightarrow 10w^2=3a+5$ .
Αν $\rm 3w^2=a+1$ τότε $\rm 10w^2=\dfrac{10}{3}(a+1)$ οπότε $\rm \dfrac{10}{3}(a+1)=3a+5\Leftrightarrow a=5,w=\sqrt{2}$
Αν ήταν $\rm 3w^2=-a-1$ τότε $\rm 10w^2=\dfrac{10}{3}(-a-1)$ οπότε αντικαθιστώντας $\rm 3a+5=\dfrac{10}{3}(-a-1)$ που δίνει $\rm a=\dfrac{-25}{19}$ ,εύκολα βλέπουμε πως τότε στην αρχική είναι $\rm \Delta=\dfrac{16}{19}$ οπότε δεν προκύπτουν 4 ρίζες.
Άρα $\rm a=5,w=\sqrt{2},r_1=-3\sqrt{2},r_2=-\sqrt{2},r_3=\sqrt{2},r_4=3\sqrt{2}$ .

Τσιαλας Νικολαος · #10

Μπράβο Πρόδρομε!!! Αυτό ακριβώς εννοούσα!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #11

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: Παρ Μάιος 15, 2020 5:22 pm Μάλλον αυτό εννοεί ο κύριος Νίκος.
Έστω $\rm r_1=x-3w,r_2=x-w,r_3=x+w,r_4=x+3w$ οι ρίζες ,με $\rm 2w$ την διαφορά της προόδου.
Είναι $\rm r_1+r_2+r_3+r_4=S_1(r_1,r_2,r_3,r_4)=(-1)^{1}\dfrac{0}{1}=0\Leftrightarrow \sum r_i=0\Leftrightarrow x=0$ άρα $\rm r_1=-3w,r_2=-w,r_3=w,r_4=3w$ .
Επίσης $\rm r_1r_2r_3r_4=S_4(r_1,r_2,r_3,r_4)=(-1)\dfrac{(a+1)^}{1}\Leftrightarrow 9w^4=(a+1)^2$ .
Επίσης $\displaystyle \rm \sum_{1\leq i<j\leq 4}r_ir_j=S_2(r_1,r_2,r_3,r_4)=(-1)^2\dfrac{-(3a+5)}{1} \leftrightarrrow -10w^2=-3a-5\Leftrightarrow 10w^2=3a+5$ .
Αν $\rm 3w^2=a+1$ τότε $\rm 10w^2=\dfrac{10}{3}(a+1)$ οπότε $\rm \dfrac{10}{3}(a+1)=3a+5\Leftrightarrow a=5,w=\sqrt{2}$
Αν ήταν $\rm 3w^2=-a-1$ τότε $\rm 10w^2=\dfrac{10}{3}(-a-1)$ οπότε αντικαθιστώντας $\rm 3a+5=\dfrac{10}{3}(-a-1)$ που δίνει $\rm a=\dfrac{-25}{19}$ ,εύκολα βλέπουμε πως τότε στην αρχική είναι $\rm \Delta=\dfrac{16}{19}$ οπότε δεν προκύπτουν 4 ρίζες.
Άρα $\rm a=5,w=\sqrt{2},r_1=-3\sqrt{2},r_2=-\sqrt{2},r_3=\sqrt{2},r_4=3\sqrt{2}$ .

Πως δικαιολογείται το

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: Παρ Μάιος 15, 2020 5:22 pm εύκολα βλέπουμε πως τότε στην αρχική είναι $\rm \Delta=\dfrac{16}{19}$ οπότε δεν προκύπτουν 4 ρίζες

Θα μπορούσε να συντομεφθεί ως εξής.
Αφου

ρίζα είναι w^4-(3a+5)w^2+(a+1)^2=0

μαζί με την 9w^4=(a+1)^2

παίρνουμε

η

κλπ

Αν a=-1

οι ρίζες είναι $-\sqrt{2},0,\sqrt{2}$ αριθμητική πρόοδος.

Εχω την γνώμη ότι δεν είναι σαφώς διατυπωμένη η εκφώνηση.

#12

Δείτε το θέμα όπως δόθηκε στις Εισαγωγικές εξετάσεις για τη Σ.Μ.Α (1957). Η λύση είναι του Αριστείδη Πάλλα.

: Αριθμητική πρόοδος-1.jpg.png (758.74 KiB) Προβλήθηκε 3110 φορές

(Άλλαξα το $\lambda$ με

γιατί με βόλευε στην πληκτρολόγηση).

Λάμπρος Κατσάπας · #13

george visvikis έγραψε: Παρ Μάιος 15, 2020 8:01 pm Δείτε το θέμα όπως δόθηκε στις Εισαγωγικές εξετάσεις για τη Σ.Μ.Α (1957). Η λύση είναι του Αριστείδη Πάλλα.
Αριθμητική πρόοδος-1.jpg.png
(Άλλαξα το $\lambda$ με γιατί με βόλευε στην πληκτρολόγηση).

Για $\lambda =-25/19$ έχουμε ρίζες τις $-3\sqrt{2/19},-\sqrt{2/19},\sqrt{2/19},3\sqrt{2/19}$ οι οποίες είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #14

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Παρ Μάιος 15, 2020 6:18 pm
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: Παρ Μάιος 15, 2020 5:22 pm Μάλλον αυτό εννοεί ο κύριος Νίκος.
Έστω $\rm r_1=x-3w,r_2=x-w,r_3=x+w,r_4=x+3w$ οι ρίζες ,με $\rm 2w$ την διαφορά της προόδου.
Είναι $\rm r_1+r_2+r_3+r_4=S_1(r_1,r_2,r_3,r_4)=(-1)^{1}\dfrac{0}{1}=0\Leftrightarrow \sum r_i=0\Leftrightarrow x=0$ άρα $\rm r_1=-3w,r_2=-w,r_3=w,r_4=3w$ .
Επίσης $\rm r_1r_2r_3r_4=S_4(r_1,r_2,r_3,r_4)=(-1)\dfrac{(a+1)^}{1}\Leftrightarrow 9w^4=(a+1)^2$ .
Επίσης $\displaystyle \rm \sum_{1\leq i<j\leq 4}r_ir_j=S_2(r_1,r_2,r_3,r_4)=(-1)^2\dfrac{-(3a+5)}{1} \leftrightarrrow -10w^2=-3a-5\Leftrightarrow 10w^2=3a+5$ .
Αν $\rm 3w^2=a+1$ τότε $\rm 10w^2=\dfrac{10}{3}(a+1)$ οπότε $\rm \dfrac{10}{3}(a+1)=3a+5\Leftrightarrow a=5,w=\sqrt{2}$
Αν ήταν $\rm 3w^2=-a-1$ τότε $\rm 10w^2=\dfrac{10}{3}(-a-1)$ οπότε αντικαθιστώντας $\rm 3a+5=\dfrac{10}{3}(-a-1)$ που δίνει $\rm a=\dfrac{-25}{19}$ ,εύκολα βλέπουμε πως τότε στην αρχική είναι $\rm \Delta=\dfrac{16}{19}$ οπότε δεν προκύπτουν 4 ρίζες.
Άρα $\rm a=5,w=\sqrt{2},r_1=-3\sqrt{2},r_2=-\sqrt{2},r_3=\sqrt{2},r_4=3\sqrt{2}$ .
Πως δικαιολογείται το
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: Παρ Μάιος 15, 2020 5:22 pm εύκολα βλέπουμε πως τότε στην αρχική είναι $\rm \Delta=\dfrac{16}{19}$ οπότε δεν προκύπτουν 4 ρίζες

Κύριε Σταύρο έκανα ένα λάθος στις πράξεις και μου έβγαινε $\rm x^2<0$ .....Και για $\rm a=-25/19$ έχουμε τις λύσεις που γράφει ο κ.Λάμπρος.

Θα το επισημάνω και στην λύση μου ,για να μην μπερδευτεί κανείς.

throwaway123 · #15

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: Παρ Μάιος 15, 2020 9:27 pm
george visvikis έγραψε: Παρ Μάιος 15, 2020 8:01 pm Δείτε το θέμα όπως δόθηκε στις Εισαγωγικές εξετάσεις για τη Σ.Μ.Α (1957). Η λύση είναι του Αριστείδη Πάλλα.
Αριθμητική πρόοδος-1.jpg.png
(Άλλαξα το $\lambda$ με γιατί με βόλευε στην πληκτρολόγηση).
Για $\lambda =-25/19$ έχουμε ρίζες τις $-3\sqrt{2/19},-\sqrt{2/19},\sqrt{2/19},3\sqrt{2/19}$ οι οποίες είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

αχχ, απέριψα αυτή τη λύση πιστεύοντας ότι $-\frac{25}{19}<- \frac{7}{5}$

Πάντως αστείο ότι και στη λύση του Αριστείδη Πάλλα γίνεται το ίδιο λάθως

#16

Διαβάζοντας τη λύση από το Δελτίο του Πάλλα της εποχής εκείνης, είδα ότι απέρριψε την τιμή $\displaystyle \lambda = - \frac{{25}}{{19}},$ πράγμα

που δεν είναι σωστό. Σκοπίμως έβαλα λοιπόν την άσκηση για να δω πώς θα την αντιμετωπίσουν κυρίως οι μαθητές.
Ωστόσο, αυτό που μου διέφυγε τελείως

ήταν η περίπτωση των τριών ριζών που γράφει ο Σταύρος. Αν στην

εκφώνηση έγραφε "Να ορισθεί ο θετικός αριθμός $\displaystyle \lambda$ ", νομίζω ότι όλα θα ήταν μια χαρά.

#17

Φαντάζομαι ότι οι θεματοδότες πήραν το θέμα από το βιβλίο του ‎George Pólya, How to Solve it (Πώς να το λύσω) το οποίο είχε κυκλοφορήσει νωρίτερα. Πράγματι, στα προβλήματα που παραθέτει ο συγγραφέας στο τέλος του βιβλίου, το 14ο είναι το εξής:

$\displaystyle{\rule{230pt}{5pt}}$

Να βρείτε τις τιμές του $\displaystyle{m}$ για τις οποίες η εξίσωση

$\displaystyle{x^4-(3m+2)x^2+m^2=0}$

έχει τέσσερις πραγματικές ρίζες που αποτελούν αριθμητική πρόοδο.

$\displaystyle{\rule{230pt}{5pt}}$

Παρατηρούμε ότι το θέμα στις Εισαγωγικές εξετάσεις για τη Σ.Μ.Α είναι ακριβώς το ίδιο, θέτοντας απλώς όπου $\displaystyle{m}$ το $\displaystyle{\lambda +1.}$

Μάλιστα, φαίνεται ότι το πρόβλημα αυτό άρεσε μέχρι κάποιες δεκαετίες αργότερα, αφού ήταν θέμα στο διαγωνισμό του ΑΣΕΠ για τους Μαθηματικούς το 2005, μόνο που σε εκείνη την εξέταση η διατύπωση ήταν copy-paste από τον Pólya.

kfd · #18

mathimatika_30_9.doc

Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος

Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος

Re: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος

Re: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος

Re: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος

Re: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος

Re: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος

Re: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος

Re: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος

Re: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος

Re: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος

Re: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος

Re: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος

Re: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος

Re: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος

Re: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος

Re: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος

Re: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος

Re: Εξίσωση και αριθμητική πρόοδος

Μέλη σε σύνδεση