Γι' αυτό το λόγο (Γεωμετρία Β)

#1

: Γι' αυτό το λόγο.png (11.59 KiB) Προβλήθηκε 855 φορές

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $ABC(\widehat A=90^\circ).$ Ένας κύκλος έχει το κέντρο του

πάνω στην

και εφάπτεται των

πλευρών AC, BC.

Αν η

τέμνει τον κύκλο στα P, Q(CP<CQ),

να δείξετε ότι $\displaystyle \frac{{CP}}{{CQ}} = \frac{{\sqrt {2a} - \sqrt {a - b} }}{{\sqrt {2a} + \sqrt {a - b} }}.$

Επειδή από ένα σημείο και μετά η άσκηση είναι αλγεβρική, θα παρακαλούσα (και λόγω του φακέλου) να φαίνεται η
πορεία των πράξεων μέχρι τον ζητούμενο τελικό τύπο.

24 ώρες για μαθητές.

angvl · #2

: Γι' αυτό το λόγο (Γεωμετρία Β).png (115.19 KiB) Προβλήθηκε 770 φορές

Καλησπέρα.

Εστω $\displaystyle E$ το σημείο επαφής της

με τον κύκλο και

το αντιδιαμετρικό του σημείου

. Aπο Θ.Εσωτ.Διχ. στο τρίγωνο ABC

έχουμε :

$\displaystyle \dfrac{BK}{KA}=\dfrac{BC}{AC} \Rightarrow \dfrac{BK}{R}=\dfrac{a}{b} \Rightarrow BK=\dfrac{a}{b}R \Rightarrow BD+R=\dfrac{a}{b}R \Rightarrow \boxed{BD=R \dfrac{a-b}{b}}$

Αφού η

εφάπτεται στον κύκλο και η BDA

είναι τέμνουσα του κύκλου θα ισχύει :

$\displaystyle BE^2=BD BA \Rightarrow (a-b)^2 = R\dfrac{a-b}{b} \sqrt{a^2-b^2} \Rightarrow (a-b)b = R \sqrt{a^2-b^2} \Rightarrow R = \dfrac{b(a-b)}{\sqrt{(a-b}\sqrt{(a+b)}} \Rightarrow \boxed{ R = b\sqrt{\dfrac{a-b}{a+b}}}$

Απ το ορθογώνιο τρίγωνο KAC

είναι $\displaystyle CK^2 = AK^2+AC^2 = R^2+b^2= b^2\dfrac{a-b}{a+b} +b^2 = b^2\dfrac{2a}{a+b} \Rightarrow$

$\displaystyle \boxed{CK=b\sqrt{\dfrac{2a}{a+b}}}$

Οπότε τώρα έχουμε $\displaystyle CP=CK-R= b\sqrt{\dfrac{2a}{a+b}} - b\sqrt{\dfrac{a-b}{a+b}} \Rightarrow \boxed{CP = b \dfrac{\sqrt{2a}-\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}}}$ και

$\displaystyle CQ = CK+R \Rightarrow \boxed{CQ = b \dfrac{\sqrt{2a}+\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}}}$ οπότε $\boxed{\dfrac{CP}{CQ} = \dfrac{\sqrt{2a}-\sqrt{a-b}}{\sqrt{2a}+\sqrt{a-b}}}$

Γι' αυτό το λόγο (Γεωμετρία Β)

Γι' αυτό το λόγο (Γεωμετρία Β)

Re: Γι' αυτό το λόγο (Γεωμετρία Β)

Μέλη σε σύνδεση