Άθροισμα ψηφίων

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Απάντηση
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 17469
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Άθροισμα ψηφίων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Σεπ 05, 2020 9:46 am

Να βρεθεί το άθροισμα των ψηφίων του

\displaystyle{ \underset{100}{\underbrace { 333...333}}\times \underset{100}{\underbrace { 333...333}}}

αφού γίνει ο πολλαπλασιασμός.

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας. Κάνει για Α' Γυμνασίου.


Λέξεις Κλειδιά:
Άθροισμα-ψηφίων
Κορυφή
User#0000

Re: Άθροισμα ψηφίων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από User#0000 » Σάβ Σεπ 05, 2020 11:52 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 05, 2020 9:46 am
 Να βρεθεί το άθροισμα των ψηφίων του

\displaystyle{ \underset{100}{\underbrace { 333...333}}\times \underset{100}{\underbrace { 333...333}}}

αφού γίνει ο πολλαπλασιασμός.

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας. Κάνει για Α' Γυμνασίου.
Παρατηρώ ότι:
Το 33 έχει 2 ψηφία και 33*33=1089 έχει 4 ψηφία

Το 333 έχει 3 ψηφία και 333*333=110889 με 6 ψηφία

Το 33...33 με ψηφία≥2 ισχύει ότι:
33...33*33...33=x όπου τα ψηφία του x είναι 2*ψηφία του 33...3 άρα ο αριθμός που προκύπτει θα έχει:
2*100=200 ψηφία οπότε 2+0+0=2 είναι το άθροισμα των ψηφίων.

Με κομπιουτεράκι:
33..33*33...33=33...33^2
=((10^_{100} -1)/3)^2
Το οποίο έχει 200 ψηφία άρα προκύπτει ότι το άθροισμα τους είναι 2

Όσον αφορά πως προέκυψε το ((10^_{100}} -1)/3)^2
υπάρχει η εξαιρετική απόδειξη του κ.Δημήτρη (Demetres) εδώ https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... 37#p315437
Συνημμένα
Screenshot_20200905-234444.png
Screenshot_20200905-234444.png (132.62 KiB) Προβλήθηκε 1616 φορές


Κορυφή
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 17469
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθροισμα ψηφίων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Σεπ 06, 2020 2:00 am

nikhtas30 έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 05, 2020 11:52 pm

Το 33...33 με ψηφία≥2 ισχύει ότι:
33...33*33...33=x όπου τα ψηφία του x είναι 2*ψηφία του 33...3 άρα ο αριθμός που προκύπτει θα έχει:
2*100=200 ψηφία οπότε 2+0+0=2 είναι το άθροισμα των ψηφίων.
Μάλλον δεν έχεις καταλάβει την ερώτηση.

Ας διευκρινίσω με παράδειγμα: Το άθροισμα των ψηφίων του τριψήφιου 789 δεν είναι 3+0+0 αλλά 7+8+9=24.

Επίσης ας προσθέσω ότι ο συλλογισμός με κομπιουτεράκι δεν είναι αποδεκτός.


Κορυφή
User#0000

Re: Άθροισμα ψηφίων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από User#0000 » Κυρ Σεπ 06, 2020 4:29 am

:coolspeak: Ας κάνω άλλη μια προσπάθεια τότε :)
*Χωρίς κομπιουτεράκι :cry:

«Δείγμα»
:trial1:
3*3=9
33*33=33^2=(30+3)^2
=3^2*10^2+3*3*2*10+9
=900+180+9=1089
:play_ball:
333*333=333^2=(300+33)^2
=3^2(10^2)^2+3*33*2*10^2+33^2
=9*10^4+19800+1089
=90000+20889=110889

«Ερμηνεύοντας :geek: την συμπεριφορά του δείγματος»
Αν ο αριθμός 33...33 έχει n≥1 ψηφία,
τότε το αποτέλεσμα του 33...33*33...33
έχει n-1 άσους, μετά ακολουθεί το 0 και δίπλα του έχουν σειρά τα n-1 οχτάρια,
επιπλέον στο τέλος υπάρχει πάντα ένα εννιάρι.

Οπότε το άθροισμα των ψηφίων του ζητούμενου αριθμού είναι:
S=(100-1)1+0+(100-1)8+9
=(100-1)(1+8)+9
=(100-1)9+9
=(100-1+1)9
=100*9
=900

Η απάντηση είναι 900

Edit: Διόρθωσα τις πράξεις μου.
τελευταία επεξεργασία από User#0000 σε Κυρ Σεπ 06, 2020 2:44 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14324
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Άθροισμα ψηφίων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Σεπ 06, 2020 8:47 am

nikhtas30 έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 06, 2020 4:29 am
 :coolspeak: Ας κάνω άλλη μια προσπάθεια τότε :)
*Χωρίς κομπιουτεράκι :cry:

«Δείγμα»
:trial1:
3*3=9
33*33=33^2=(30+3)^2
=3^2*10^2+3*3*2*10+9
=900+180+9=1089
:play_ball:
333*333=333^2=(300+33)^2
=3^2(10^2)^2+3*33*2*10^2+33^2
=9*10^4+19800+1089
=90000+20889=110889

«Ερμηνεύοντας :geek: την συμπεριφορά του δείγματος»
Αν ο αριθμός 33...33 έχει n≥1 ψηφία,
τότε το αποτέλεσμα του 33...33*33...33
έχει n-1 εντεκάρια, μετά ακολουθεί το 0 και δίπλα του έχουν σειρά τα n-1 οχτάρια,
επιπλέον στο τέλος υπάρχει πάντα ένα εννιάρι.

Οπότε το άθροισμα των ψηφίων του ζητούμενου αριθμού είναι:
S=(100-1)11+0+(100-1)8+9
=(100-1)(8+11)+9
=(100-1)19+9
=(100-1)(20-1)+9
=2000-100-20+1+9
=2000-120+10
=2000-110=1890

Η απάντηση είναι 1890
Καλά το πας, αν εξαιρέσεις τα εντεκάρια που στην πραγματικότητα είναι άσοι.


Κορυφή
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 17469
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθροισμα ψηφίων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Σεπ 06, 2020 9:34 am

nikhtas30 έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 06, 2020 4:29 am
«Ερμηνεύοντας :geek: την συμπεριφορά του δείγματος»
Εκτός από τα εντεκάρια που (όπως επισημαίνει ο Γιώργος) δεν είναι ψηφία, και το παραπάνω
θέλει εξήγηση.

Άλλο "παρατηρώ κάτι και έχω ισχυρή πεπεοίθηση ότι είναι έτσι" και άλλο "το δείχνω".

Το πρώτο ονομάζεται "ατελής επαγωγή". Στην Φιλοσοφία και στις Φυσικές Επιστήμες είναι
αποδεκτό ως συλλογισμός, αλλά στα Μαθηματικά δεν είναι. Μπορείς να δεις μερικά παραδείγματα
σε αυτή την θεματική στο τέλος της σελίδας 7 και στην αρχή της 8 στο άρθρο μου
εδώ


Κορυφή
User#0000

Re: Άθροισμα ψηφίων

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από User#0000 » Κυρ Σεπ 06, 2020 4:44 pm

Αρκεί να δείξω ότι:
\underset{n-1}{\underbrace {111...111}} 0 \underset{n-1}{\underbrace {888...888}} 9 }=\displaystyle{ \underset{100}{\underbrace { 333...333}}\times \underset{100}{\underbrace { 333...333}}} για κάθε n \in{N*}

Απόδειξη:
9+8(10+10^2+...+10^n-1)+10^{n+1}+10^{n+2}+...+10^{2n-1}=\displaystyle{ \underset{100}{\underbrace { 333...333^2}}

Υπάρχουν δύο γεωμετρικές προόδοι
Η πρώτη
a_{1}=10 και l=10 και a_{k}=10^_{n-1}
S_{k}=S_{n-1}=\frac{10^{n}-10}{9}

Η δεύτερη
b_{1}=10^{n+1} και l=10 και b_{m}=10^{2n-1}
S_{m}=S_{n-1}=\frac{10^{2n}-10^_{n+1}}{9}

Οπότε
9+8S_{k}+S_{m}=(\frac{10^n-1}{3})^2

9+8S_{k}+S_{m}
=9+8*\frac{10^n-10}{9}+\frac{10^{2n}-10^{n+1}}{9}
=(\frac{10^n-1}{3})^2

Αποδείχθηκε συνεπώς δικαιολόγησα την παραπάνω απάντησή μου.

Edit: Έβαλα τα άγκιστρα που προσπάθησα να υπεκφύγω :suck_kr:

Αντιγράφοντας τα κείμενά σας :lol: :w00tbrows:
τελευταία επεξεργασία από User#0000 σε Κυρ Σεπ 06, 2020 8:41 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κορυφή
Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 305
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Μάρκος Βασίλης

Re: Άθροισμα ψηφίων

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Κυρ Σεπ 06, 2020 6:59 pm

Μία ακόμα λύση, χωρίς προόδους - με «υλικά» πρώτης γυμνασίου:

\displaystyle{\begin{aligned} \underbrace{333\ldots333}_{100}\cdot\underbrace{333\ldots333}_{100}&=\underbrace{999\ldots999}_{100}\cdot\underbrace{111\ldots111}_{100}=\\ &=(10^{100}-1)\underbrace{111\ldots111}_{100}=\\ &=\underbrace{111\ldots111}_{100}\cdot10^{100}-\underbrace{111\ldots111}_{100}=\\ &=\underbrace{111\ldots111}_{100}\underbrace{000\ldots000}_{100}-\underbrace{111\ldots111}_{100}=\\ &=\underbrace{111\ldots111}_{99}0\underbrace{888\ldots888}_{99}9. \end{aligned}}

Τώρα είναι εύκολο να αθροίσουμε τα ψηφία:

\displaystyle{S=99\cdot1+0+99\cdot8+9=99+90\cdot8+9\cdot8+9=99+720+9\cdot9=819+81=900.}

@nikhtas30 Στην απόδειξή σου, στην αρχή που διατυπώνεις το ζητούμενο είναι λίγο ασαφές τι ρόλο παίζουν οι \ldots και πώς σχετίζονται με το n . Δοκίμασε με τη βοήθεια αγκίστρων να το παρουσιάσεις λίγο καλύτερα.

Κώδικας: Επιλογή όλων

\underbrace{argument}_{subscript}
είναι η αντίστοιχη σύνταξη στο LaTeX


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Κορυφή
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 17469
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθροισμα ψηφίων

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Σεπ 06, 2020 7:06 pm

nikhtas30 έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 06, 2020 4:44 pm
 Αρκεί να δείξω ότι:
11...11088...889=33...33*33...33 για κάθε n \in{N*}
Μέσες άκρες σωστά. Λείπει το πόσοι ακριβώς άσσοι και λοιπά, υπάρχουν στο αριστερό μέλος. Είναι n; Μήπως n-1;
Γράφω πληρη λύση, αποφεύγοντας γεωμετρικές προόδους αλλά (λόγω πληκτρολόγησης) με κάποια μικροκενά που όμως εύκολα συμπληρώνονται.


\displaystyle{ \underset{n}{\underbrace {333...333}}\times \underset{n}{\underbrace {333...333}}}= \dfrac {1}{9} \times \underset{n}{\underbrace {999...999}}\times \underset{n}{\underbrace {999...999}}}=

\displaystyle{=\dfrac {1}{9} (10^n-1)^2=\dfrac {1}{9} (10^{2n}- 2\times 10^n+1)= \dfrac {1}{9} (\underset{n-1}{\underbrace {999...999}} 8 \underset{n-1}{\underbrace {000...000}} 1 )= \underset{n-1}{\underbrace {111...111}} 0 \underset{n-1}{\underbrace {888...888}} 9 }


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης