πλευρές γωνίες

Λάμπρος Μπαλός · #1

: triangle.png (23.25 KiB) Προβλήθηκε 1094 φορές

Ενδεχομένως να πρόκειται για γνωστή άσκηση. Εγώ τη συνάντησα σε κάποιο ιαπωνικό φόρουμ (το έχω σαν αρχή να αναφέρω πάντα την άμεση πηγή μου). Θεωρώ ότι είναι πολύ καλή για μαθητές της Β Λυκείου.

Συμπληρώνω, λίγη ώρα μετά ότι πρόκειται για θέμα από Ολυμπιάδα στη Ρουμανία. Δεν το γνώριζα. Ευχαριστώ για την πληροφορία τον χρήστη Doloros.

#2

Από τον Νόμο των Συνημιτόνων (δυο φορές) θα βρούμε (αφήνω την επίπονη πληκτρολόγιση)

$\cos 2\theta= \dfrac {n-3}{2n}$ και $\cos \theta= \dfrac {n+5}{2(n+2)}$ . Όμως $\cos 2\theta = 2 \cos ^2 \theta -1$ . Άρα

$\displaystyle{ \dfrac {n-3}{2n} = 2 \left ( \dfrac {n+5}{2(n+2)} \right ) ^2-1}$ που μετά τις πράξεις γράφεται

$\displaystyle{ \dfrac {2n^3-n^2-25n-12}{2n(n+2)^2}=0}$ . Ο αριθμητής γράφεται $\displaystyle{(n-4)(2n+1)(n+3) =0}$ , οπότε n=4

(δεκτή).

Φανης Θεοφανιδης · #3

: 19.png (8.61 KiB) Προβλήθηκε 1030 φορές

Επί της προεκτάσεως της

θεωρώ σημείο

τέτοιο, ώστε BP=n+1

.
Φέρνω το τμήμα

το οποίο ονομάζω

. Προφανώς $\angle CPB=\angle BCP=\theta$ .

Από την ομοιότητα των τριγώνων APC, ABC

έχω $\dfrac{PC}{BC}=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow$

$\Rightarrow a=\dfrac{(n+1)\cdot (n+2)}{n} (1)$ .

Αλλά $BC^{2}=AC\cdot PC-AB\cdot PB\Rightarrow (n+1)^{2}=a\cdot (n+2)-n\cdot (n+1) (2)$ .

Από την (1)

και

παίρνω εύκολα n=4

.

KARKAR · #4

Από γνωστό θεώρημα : (n+2)^2=n^2+n(n+1)

, με δεκτή λύση n=4

.

Manolis Petrakis · #5

Από νόμο συνημιτόνων: $n^2=(n+1)^2+(n+2)^2-2(n+1)(n+2)\cos\theta$
$\Leftrightarrow \cos\theta=\dfrac{n^2+6n+5}{2(n^2+3n+2)} \ (1)$
Από νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο: $\dfrac{n}{\sin\theta}=\dfrac{n+2}{\sin 2\theta}\Leftrightarrow \dfrac{\sin 2\theta}{\sin \theta}=\dfrac{n+2}{n}\Leftrightarrow 2\cos\theta=\dfrac{n+2}{n}\Leftrightarrow \cos\theta=\dfrac{n+2}{2n} \ (2)$
Από τις (1),(2)

παίρνουμε:
$\dfrac{n+2}{n}=\dfrac{n^2+6n+5}{n^2+3n+2}\Leftrightarrow n^3+5n^2+8n+4=n^3+6n^2+5n$
$\Leftrightarrow n^2-3n-4=0\Leftrightarrow (n-4)(n+1)=0\Leftrightarrow n=4$

KARKAR · #6

Το περίφημο "θεώρημα" , βρίσκεται - με πολλές αποδείξεις του - εδώ .

πλευρές γωνίες

πλευρές γωνίες

Re: πλευρές γωνίες

Re: πλευρές γωνίες

Re: πλευρές γωνίες

Re: πλευρές γωνίες

Re: πλευρές γωνίες

Μέλη σε σύνδεση