Βασική πρόταση για κάθε συνάρτηση

Μάκης Χατζόπουλος · #1

Πρόταση
Α. Να αποδείξετε ότι κάθε συνάρτηση μπορεί να γραφτεί κατά μοναδικό τρόπο* ως άθροισμα μιας άρτιας και περιττής συνάρτησης.
Β. Να γράψετε τις συναρτήσεις $y=a^{x}$ και $y=\sqrt[3]{x+1}$ ως άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

*Επισήμανση του κύριου Μαυρογιάννη

Μέχρι 20 Οκτωβρίου 2009 περιμένω τις απαντήσεις σας...

andreas · #2

Καλημερα
Α. Eστω η συναρτηση f(x). Τοτε αυτη μπορει να γραφει
$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}$ .
Ονομαζω h(x)=f(x)+f(-x)

και

. Αρα η h ειναι αρτια.
g(-x)=f(-x)-f(x)=-(f(x)-f(-x))=-g(x)

.Αρα η g ειναι περιττη.
Αρα καθε συναρτηση μπορει να γραφει σαν αθροισμα μιας αρτιας και μιας περιττης.
Β. $y=a^x=\frac{a^x+a^{-x}}{2}+\frac{a^x-a^{-x}}{2}$
και $y=\sqrt[3]{x+1}=\frac{\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{1-x}}{2}+\frac{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{1-x}}{2}$

Μάκης Χατζόπουλος · #3

Πολύ ωραία Ανδρέα, μας απομένει η μοναδικότητα του αθροίσματος...

Που το θυμήθηκες;

Το είχα ξεχάσει ότι είχα προτείνει τέτοια άσκηση!

andreas · #4

Εστω $f(x)= h_{1}(x)+h_{2}(x)=g_{1}(x)+g_{2}(x)$ με $h_{1}$ και $g_{1}$ αρτιες και $h_{2}$ και $g_{2}$ περιττες συναρτησεις.
$h_{1}(x)+h_{2}(x)=g_{1}(x)+g_{2}(x) \Leftrightarrow h_{1}(x)-g_{1}(x)=g_{2}(x)-h_{2}(x)$ .

Λημμα 1.
Η διαφορα 2 περιττων συναρτησεων ειναι περιττη συναρτηση.
Αποδειξη.
Εστω f,g περιττες και h=f-g. Toτε
h(-x)=f(-x)-g(-x)=g(x)-f(x)=-h(x)

. Aρα η h ειναι περιττη.

Λημμα 2.
Η διαφορα 2 αρτιων συναρτησεων ειναι αρτια συναρτηση.
Αποδειξη.
Εστω f,g αρτιες και h=f-g. Τοτε
h(-x)=f(-x)-g(-x)=f(x)-g(x)=h(x)

. Aρα η h ειναι αρτια.

Αρα $h_{1}(x)-g_{1}(x)$ ειναι αρτια και $g_{2}(x)-h_{2}(x)$ ειναι περιττη. Αλλα η μονη συναρτηση που ειναι ταυτοχρονα και αρτια και περιττη ειναι η f(x)=0

(βγαινει αμεσα απ'τους ορισμους). Aρα $h_{1}=g_{1}$ και $h_{2}=g_{2}$ .

Μάκης Χατζόπουλος · #5

Ανδρέα αυτή την απόδειξη είχα κατά νου, πολύ καλός! Μαθητής ή καθηγητής;

andreas · #6

Μαθητής, θα πάω Γ' φέτος.

Βασική πρόταση για κάθε συνάρτηση

Βασική πρόταση για κάθε συνάρτηση

Re: Βασική πρόταση για κάθε συνάρτηση

Re: Βασική πρόταση για κάθε συνάρτηση

Re: Βασική πρόταση για κάθε συνάρτηση

Re: Βασική πρόταση για κάθε συνάρτηση

Re: Βασική πρόταση για κάθε συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση