ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ

G.Tsikaloudakis · #1

Έστω συνάρτηση f συνεχής στο R τέτοια ώστε για κάθε $\displaystyle{ x \in R }$
να ισχύει:

$\displaystyle{ f\left( {x \cdot f(x)} \right) = x - f(x) }$

Να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle{ \begin{array}{l} 1. {\rm{ }}f\left( 0 \right) = 0 \\ 2. {\rm{ f(x}}_{\rm{o}} )=0 \Rightarrow x_o = 0 \\ \end{array} }$
3. Η εξίσωση:f(x)=0 έχει μοναδική λύση το 0.
$\displaystyle{ \begin{array}{l} {\rm{4}}{\rm{. f(1)}} \ne {\rm{2}} \\ {\rm{5}}{\rm{. f(1)}} < {\rm{1}} \\ \end{array} }$
Γ. Τσικαλουδάκης
Ασκηση από το αντίστοιχο βιβλίο μου
Εως 15-9-2010

andreas · #2

Καλο μεσημερι.

1.Για χ=0 εχω:
$f(0\cdot f(0))=0-f(0)\Leftrightarrow f(0)=-f(0)\Leftrightarrow 2f(0)=0\Leftrightarrow f(0)=0$ .
Aρα f(0)=0
2.Για χ= $x_{0}$ εχω:
$f(x_{0}\cdot f(x_{0}))=x_{0}- f(x_{0})\Rightarrow f(0)=x_{0}\Rightarrow x_{0}=0$ .
3.Απο 1. και 2. εχω οτι μοναδικη λυση της εξισωσης ειναι το 0.
4.Εστω f(1)=2 τοτε για χ=1 εχω $f(1\cdot f(1))=1-f(1)\Leftrightarrow f(2)=-1$ . Απο θεωρημα Bolzano στην f στο διαστημα [1,2] εχω οτι υπαρχει 1<ξ<2 τ.ω. f(ξ)=0. Ατοπο απο 3. Αρα f(1) $\neq$ 2.
5.Εστω f(1)=1 ,τοτε για χ=1 εχω $f(1\cdot f(1))=1-f(1)\Leftrightarrow f(f(1))=0\Leftrightarrow f(1)=0$ . Aτοπο αφου μοναδικη λυση της εξισωσης ειναι το 0.
Εστω f(1)>1, τοτε για χ=1 εχω f(f(1))=1-f(1)<0

. Aπο θ.Bolzano στο [1,f(1)] εχω οτι υπαρχει 1<ρ<f(1) τ.ω. f(ρ)=0. Ατοπο αφου μοναδικη λυση της εξισωσης ειναι το 0. Αρα f(1)<1.

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ -ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Μέλη σε σύνδεση