Για τους φίλους μας της Γ Λυκείου-3ο

#1

Έστω ότι

είναι πραγματικοί αριθμοί με a<b

και $f:[a,b] \to [a,b]$ είναι συνεχής συνάρτηση.
Αν $a_0,a_1,...,a_n \in \mathbb{R}$ με $a_0+a_1+a_2+...+a_n \neq 0$ και $a_0x+a_1f(x)+a_2f^2(x)+...+a_nf^n(x)=0, \forall x \in [a,b]$ , να αποδειχθεί ότι
$ab \leq0$
Διευκρίνηση:με f^n

συμβολίζω τη συνάρτηση $f\circ f \circ f \circ ...\circ f$ (

φορές)
Μέχρι 17/11
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου-Συναρτήσεις κ.λ.π.

andreas · #2

Εστω οτι αβ>0.
Θεωρω τη συναρτηση g(x)=f(x)-x στο [α,β].
Η g συνεχης
g(a)=f(a)-a, αλλα a<=f(a)<=b αρα 0<=g(a)<=b-a
g(b)=f(b)-b, αλλα a<=f(b)<=b αρα a-b<=g(b)<=0
Αρα g(a)*g(b)<=0
Aρα απο θ. Bolzano υπαρχει τουλαχιστον 1 x_0

ανηκει στο [α,β] τ.ω.
g( x_0

)=0 δηλαδη f( x_0

)=

oπου χ θετω x_0

και εχω

αλλα $a_0+a_1+a_2+...+a_n \neq 0$ αρα x_0=0

. Αλλα

ανηκει στο [α,β] ατοπο.
Αρα αβ<=0

Για τους φίλους μας της Γ Λυκείου-3ο

Για τους φίλους μας της Γ Λυκείου-3ο

Re: Για τους φίλους μας της Γ Λυκείου-3ο

Μέλη σε σύνδεση