Αν a^2+b^2=c^2, τότε 60/abc

#1

Αν για τους ακεραίους a, b,c ισχύει a^2+b^2=c^2

, τότε το γινόμενό τους διαιρείται με το 60.

Για juniors

antonis kalogirou · #2

η διαίρεση με το 60 απαιτεί ακέραιο αποτέλεσμα ?

nonlinear · #3

Μια προσπάθεια επίλυσης από την πλευρά μου είναι να δείξω ότι εφόσον οι α,b,c αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα το γινόμενο τους μπορεί να γραφτεί σαν $\displaystyle{2m \cdot n \cdot \left( {{m^2} - {n^2}} \right) \cdot \left( {{m^2} + {n^2}} \right)}$ (m,n ακέραιοι) και να δείξουμε ότι το 3,4,5 είναι παράγοντες του γινόμενου (παίζοντας με τα m,n).

Νασιούλας Αντώνης · #4

antonis kalogirou έγραψε:η διαίρεση με το 60 απαιτεί ακέραιο αποτέλεσμα ?

Αντώνη όταν λέμε να διαιρεί εννοούμε να διαιρεί ακριβώς άρα το αποτέλεσμα είναι ακέραιο.

Ισοδύναμες εκφράσεις είναι ότι το 60 είναι διαιρέτης του αβγ, το 60 είναι παράγοντας του αβγ, το αβγ διαιρείται (ακριβώς) από το 60, το αβγ είναι πολλαπλάσιο του 60.

Eagle · #5

Μια λύση.

Καταρχάς παρατηρώ ότι $60=3\cdot 4\cdot 5$ .Θα αποδείξω ότι 5|abc,4|abc,3|abc.

Εξετάζοντας την εξίσωση mod 3 έχω:
Αν ένας εκ των οποίων είναι πολλαπλάσιο του 3,τότε είμαι ενταξει.
Αν κανένας εκ των οποίων δεν είναι πολλαπλάσιο του 3 τότε $1+1=2\equiv 1\mod 3$ ,άτοπο.
Άρα ένας εκ των a,b,c είναι πολλάπλάσιο του 3.

Εξετάζοντας την εξίσωση mod 5 έχω:
Αν ένας εκ των οποίων είναι πολλαπλάσιο του 5,τότε είμαι ενταξει.
Αν κανένας εκ των οποίων δεν είναι πολλαπλάσιο του 5 τότε $\pm1 \pm1 \equiv \pm1\mod 5$ .Διακρίνοντας όλες τις δυνατές επιλογές έχω άτοπο.
Άρα ένας εκ των a,b,c είναι πολλάπλάσιο του 5.

Εξετάζοντας την εξίσωση mod 4 έχω:
Αν ένας εκ των οποίων είναι πολλαπλάσιο του 4,τότε είμαι ενταξει.
Αν κανένας εκ των οποίων δεν είναι πολλαπλάσιο του 4 τότε $1+1=2\equiv 1\mod 4$ ,άτοπο.
Άρα ένας εκ των a,b,c είναι πολλάπλάσιο του 4.

Επομένως 5|abc,4|abc,3|abc.Επειδή (3,4,5)=1 συμπεραίνω ότι 60|abc.

Και έτσι η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

#6

Eagle έγραψε:Μια λύση.

Καταρχάς παρατηρώ ότι $60=3\cdot 4\cdot 5$ .Θα αποδείξω ότι 5|abc,4|abc,3|abc.

Εξετάζοντας την εξίσωση mod 3 έχω:
Αν ένας εκ των οποίων είναι πολλαπλάσιο του 3,τότε είμαι ενταξει.
Αν κανένας εκ των οποίων δεν είναι πολλαπλάσιο του 3 τότε $1+1=2\equiv 1\mod 3$ ,άτοπο.
Άρα ένας εκ των a,b,c είναι πολλάπλάσιο του 3.

Εξετάζοντας την εξίσωση mod 5 έχω:
Αν ένας εκ των οποίων είναι πολλαπλάσιο του 5,τότε είμαι ενταξει.
Αν κανένας εκ των οποίων δεν είναι πολλαπλάσιο του 5 τότε $\pm1 \pm1 \equiv \pm1\mod 5$ .Διακρίνοντας όλες τις δυνατές επιλογές έχω άτοπο.
Άρα ένας εκ των a,b,c είναι πολλάπλάσιο του 5.

Εξετάζοντας την εξίσωση mod 4 έχω:
Αν ένας εκ των οποίων είναι πολλαπλάσιο του 4,τότε είμαι ενταξει.
Αν κανένας εκ των οποίων δεν είναι πολλαπλάσιο του 4 τότε $1+1=2\equiv 1\mod 4$ ,άτοπο.
Άρα ένας εκ των a,b,c είναι πολλάπλάσιο του 4.

Επομένως 5|abc,4|abc,3|abc.Επειδή (3,4,5)=1 συμπεραίνω ότι 60|abc.

Και έτσι η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Xρησιμοποιείς τις προτάσεις:

$k^2\equiv 0,1mod3,$

$k^2\equiv 0,-1,1 mod5$

$k^2\equiv 0,1mod4$ ;

Karanus · #7

Επομένως 5|abc,4|abc,3|abc.Επειδή (3,4,5)=1 συμπεραίνω ότι 60|abc.Οτι (3,4,5)=1 είναι απαραίτητο; η ισχύει ούτως η άλλως.

Eagle · #8

rek2 έγραψε:Xρησιμοποιείς τις προτάσεις:

$k^2\equiv 0,1mod3,$

$k^2\equiv 0,-1,1 mod5$

$k^2\equiv 0,1mod4$ ;

Ναι.Χρειάζονται απόδειξη για να τις αναφέρω;

Karanus έγραψε:Επομένως 5|abc,4|abc,3|abc.Επειδή (3,4,5)=1 συμπεραίνω ότι 60|abc.Οτι (3,4,5)=1 είναι απαραίτητο; η ισχύει ούτως η άλλως.

Νομίζω πως ναι.

Karanus · #9

Εάν α/βγ και (α,β)=1 τότε σίγουρα α/γ .Αυτό ναι, ισχύει.
Μήπως θα μπορούσε να εξηγήσει κάποιος γιατί στην προκειμένη άσκηση πρέπει να ισχύει (3,4,5)=1;

#10

Eagle έγραψε:
rek2 έγραψε:Xρησιμοποιείς τις προτάσεις:

$k^2\equiv 0,1mod3,$

$k^2\equiv 0,-1,1 mod5$

$k^2\equiv 0,1mod4$ ;
Ναι.Χρειάζονται απόδειξη για να τις αναφέρω;

Αν χρειάζονται απόδειξη, δεν το ξέρω.

Παραλείποντας τις λεπτομέρειες, αυτό που ξέρω είναι, ότι για την τάξη σου με εντυπωσίασες.

Νασιούλας Αντώνης · #11

Karanus έγραψε:Επομένως 5|abc,4|abc,3|abc.Επειδή (3,4,5)=1 συμπεραίνω ότι 60|abc.Οτι (3,4,5)=1 είναι απαραίτητο; η ισχύει ούτως η άλλως.

Ναι είναι απαραίτητο...

για δες ας πούμε αυτό:

6|12, 4|12 όμως $4\cdot 6=24 \nmid 12$ .

Karanus · #12

Σ'ευχαριστώ πολύ Αντώνη.Αυτό μπορεί να το χρησιμοποιήσει κανείς σαν θεώρημα, η είναι κάποια άσκηση
η οποία θεωρείται γνωστή , ειδικά όταν χρησιμοποιείται σαν μέρος άσκησης ,όπως εδώ, πολύ δυσκολότερης;

Αν a^2+b^2=c^2, τότε 60/abc

Αν a^2+b^2=c^2, τότε 60/abc

Re: Αν a^2+b^2=c^2, τότε 60/abc

Re: Αν a^2+b^2=c^2, τότε 60/abc

Re: Αν a^2+b^2=c^2, τότε 60/abc

Re: Αν a^2+b^2=c^2, τότε 60/abc

Re: Αν a^2+b^2=c^2, τότε 60/abc

Re: Αν a^2+b^2=c^2, τότε 60/abc

Re: Αν a^2+b^2=c^2, τότε 60/abc

Re: Αν a^2+b^2=c^2, τότε 60/abc

Re: Αν a^2+b^2=c^2, τότε 60/abc

Re: Αν a^2+b^2=c^2, τότε 60/abc

Re: Αν a^2+b^2=c^2, τότε 60/abc

Μέλη σε σύνδεση