Πήρε αύξηση ! ( Α ΛΥΚ ΑΛΓΕΒΡΑ)

KARKAR · #1

Η υποτείνουσα του $\displaystyle ABC$ , είναι γνωστή . Υπολογίστε την υποτείνουσα του BSP

.

Μέχρι τέλος Νοέμβρη 2011

ΝΟΤΗΣ ΚΟΥΤΣΙΚΑΣ · #2

KARKAR έγραψε:Η υποτείνουσα του $\displaystyle ABC$ , είναι γνωστή . Υπολογίστε την υποτείνουσα του .

Μέχρι τέλος Νοέμβρη 2011

: 6.png (13.57 KiB) Προβλήθηκε 447 φορές

Καλημέρα σας κύριε Θανάση

Τα τρίγωνα $\displaystyle{\vartriangle APC,\;\vartriangle AQC,\;\vartriangle BQS}$ είναι ορθογώνια ισοσκελή $\displaystyle{\left( {\widehat {QAC} = \widehat {PAC} = \widehat {SBQ} = {{90}^0},AP = AC = AQ,BS = BQ} \right)}$ .

Επειδή $\displaystyle{{\widehat {SQB} = \widehat {CQA} = {{45}^0}}}$ και τα $\displaystyle{B,Q,A}$ είναι συνευθειακά,

θα είναι συνευθειακά και τα σημεία $\displaystyle{S,Q,C}$ και $\displaystyle{\widehat {SCA} = \widehat {ACP} = {45^0} \Rightarrow \widehat {SCP} = {90^0} \Rightarrow \vartriangle SCP}$ είναι ορθογώνιο στο $\displaystyle{C}$ άρα

από το Πυθαγόρειο Θεώρημα θα ισχύει: $\displaystyle{\boxed{S{P^2} = P{C^2} + S{C^2}}:\left( 1 \right)}$

Από το Π.Θ στο ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle BSQ \to S{Q^2} = 2B{Q^2} \Rightarrow \boxed{SQ = BQ\sqrt 2 }:\left( 2 \right)}$ και

ομοίως από τα ορθογώνια ισοσκελή τρίγωνα $\displaystyle{\vartriangle QAC,\vartriangle APC \to \ldots \boxed{QC = PC = AQ\sqrt 2= AC\sqrt 2 }:\left( 3 \right)}$

Τότε από $\displaystyle{\left( 2 \right),\left( 3 \right) \Rightarrow SC = SQ + QC = BQ\sqrt 2 + AQ\sqrt 2 = \left( {BQ + AQ} \right)\sqrt 2 \Rightarrow \boxed{SC = AB\sqrt 2 }:\left( 4 \right)}$

Από το Π.Θ. στο αρχικό ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle BAC \to \boxed{A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} = {a^2}}:\left( 5 \right)}$

Τέλος από την $\displaystyle{\left( 1 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right),\left( 4 \right)} P{C^2} = {\left( {AC\sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {AB\sqrt 2 } \right)^2} = 2A{B^2} + 2A{C^2} = 2\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 5 \right):A{B^2} + A{C^2} = {a^2}} }$ $\displaystyle{P{C^2} = 2{a^2} \Rightarrow \boxed{PC = a\sqrt 2 }}$

Φιλικά
Νότης

Υ.Σ. Συγγνώμη που καθυστέρησα να απαντήσω

mathematica.gr

Πήρε αύξηση ! ( Α ΛΥΚ ΑΛΓΕΒΡΑ)

Πήρε αύξηση ! ( Α ΛΥΚ ΑΛΓΕΒΡΑ)

Re: Πήρε αύξηση ! ( Α ΛΥΚ ΑΛΓΕΒΡΑ)

Μέλη σε σύνδεση