Εκτίμηση αριθμού

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω

$A=\sqrt{95+\sqrt{21+\sqrt{15}}}$

Δείξτε ότι

9,999< A<10

Μέχρι 25-9-2019

Summand · #2

Καλησπέρα. Η απόδειξη για το 9,999<A

είναι άσχημη, κάτι πρέπει να χάνω, σίγουρα υπάρχει καλύτερος τρόπος.

Αρχικά έχουμε $10=\sqrt{100}=\sqrt{95+5}=\sqrt{95+\sqrt{25}}=\sqrt{95+\sqrt{21+4}}=\sqrt{95+\sqrt{21+\sqrt{16}}}$

Άρα $10=\sqrt{95+\sqrt{21+\sqrt{16}}}>\sqrt{95+\sqrt{21+\sqrt{15}}}=A\Leftrightarrow 10>A$

Για τη δεύτερη ανίσωση 9,999<A

υψώνουμε στο τετράγωνο, αφού οι όροι είναι θετικοί και έχουμε

$99,980001<95+\sqrt{21+\sqrt{15}}\Leftrightarrow 4,980001<\sqrt{21+\sqrt{15}}$

Υψώνοντας ξανά στο τετράγωνο παίρνουμε $24,800409960001<21+\sqrt{15}\Leftrightarrow 3,800409960001<\sqrt{15}$

Τετραγωνίζοντας για τελευταία φορά προκύπτει $3,800409960001<\sqrt{15}\Leftrightarrow 14,443115864074802419920001<15$ που αληθεύει

και το ζητούμενο έπεται.

#3

Έχουμε

$\displaystyle 10-A = \frac{100-A^2}{10+A} = \frac{5-\sqrt{21+\sqrt{15}}}{10+A} < \frac{5-\sqrt{21+\sqrt{15}}}{19} .$

Η τελευταία ισότητα ισχύει αφού $A > \sqrt{95} > 9$ .

Με παρόμοιο τρόπο έχουμε $\displaystyle 5-\sqrt{21+\sqrt{15}} = \frac{4-\sqrt{15}}{5+\sqrt{21+\sqrt{15}}} < \frac{4-\sqrt{15}}{9}$

και $\displaystyle 4-\sqrt{15} = \frac{1}{4+\sqrt{15}} < \frac{1}{7}.$

Άρα $\displaystyle 10-A < \frac{1}{19\cdot 9 \cdot 7} < \frac{1}{1000}$

όπως θέλαμε να δείξουμε.

mathematica.gr

Εκτίμηση αριθμού

Εκτίμηση αριθμού

Re: Εκτίμηση αριθμού

Re: Εκτίμηση αριθμού

Μέλη σε σύνδεση