Διαφορά τετραγώνων ίση με γινόμενο

Γιώργος Απόκης · #1

Αν σε τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ ισχύει $\displaystyle{\hat B=2\hat C}$ , να δείξετε ότι $\displaystyle{b^2-c^2=ac}$

(Γεωμετρία Β' Λυκείου - Μέχρι 29/10/16)

harrisp · #2

Καλησπέρα κύριε Γιώργο!

Αρκεί να αποδειχθεί (χρησιμοποιώντας την σχέση $\dfrac {a} {\sin \left( A\right) }=\dfrac {b} {\sin \left( 2C\right) }=\dfrac {C} {\sin \left( c\right) }=2R$ και απλοποιώντας το 4R^2

):

$\sin ^{2}\left( 2C\right) -\sin ^{2}\left( C\right) =\sin \left( A\right) \cdot \sin \left( C\right)$

$\sin \left( 2C+C\right) \sin \left( 2C-C\right) =\sin \left( A\right) \sin \left( C\right)$

Ομως είναι $\sin \left( C+B\right) =\sin \left( 3C\right) =\sin \left( A\right)$ .

Αρα:

$\sin \left( C\right) =\sin \left( C\right)$ που ισχύει.

Edit: Εγραψα πιο αναλύτικά την λύση μου μετά το πολύ σωστό σχόλιο του κύριου Γιώργου.

#3

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Καλησπέρα κύριε Γιώργο!

Λίγο σύντομα. Αρκεί να αποδειχθεί:

$\sin ^{2}\left( 2C\right) -\sin ^{2}\left( C\right) =\sin \left( A\right) \cdot \sin \left( C\right) \Leftrightarrow \sin \left( C\right) =\sin \left( C\right)$

Αφού:

$\sin ^{2}\left( 2C\right) -\sin ^{2}\left( C\right) =\sin \left( A\right) \cdot \sin \left( C\right)$

Αυτό δεν είναι λίγο σύντομα. Είναι "γράφω για μένα κι όποιος καταλάβει, κατάλαβε!"

Επειδή όμως ο φάκελος είναι για μαθητές κι επειδή είσαι κι εσύ μαθητής (ένας λόγος παραπάνω), θα σε παρακαλούσα

να γράψεις πιο αναλυτικά τη λύση, ώστε να γίνει κατανοητή από αυτούς στους οποίους απευθύνεται.

Γιώργος Απόκης · #4

Ωραία Χάρη! Συμφωνώ με το Γιώργο, οι λύσεις πρέπει να είναι αναλυτικές.

Αν δεν δοθεί, θα δώσω μια λύση χωρίς Τριγωνομετρία

#5

Καλημέρα σε όλους!

Πολλές λύσεις επί του θέματος, Γεωμετρικές και μη, μπορείτε να δείτε εδώ
Να συμπληρώσω απλώς ότι ισχύει και το αντίστροφο.

Γιώργος Απόκης · #6

Καλημέρα Γιώργο! Ευχαριστώ για την παραπομπή.

Διαφορά τετραγώνων ίση με γινόμενο

Διαφορά τετραγώνων ίση με γινόμενο

Re: Διαφορά τετραγώνων ίση με γινόμενο

Re: Διαφορά τετραγώνων ίση με γινόμενο

Re: Διαφορά τετραγώνων ίση με γινόμενο

Re: Διαφορά τετραγώνων ίση με γινόμενο

Re: Διαφορά τετραγώνων ίση με γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση