Τριγωνομετρική εξίσωση (Λύκειο)

#1

Να βρεθούν όλες οι λύσεις της εξίσωσης

$\,\,\sin (x\sqrt {\pi})+ \sin (2x^2)=2$ .

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 30, 2017 1:17 am
Να βρεθούν όλες οι λύσεις της εξίσωσης

$\,\,\sin (x\sqrt {\pi})+ \sin (2x^2)=2$ .

Επειδή το ημίτονο παίρνει τιμές στο [-1,1]

θα πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα οι (1) και (2):

$\sin (2x^2) =1 \Leftrightarrow 2x^2 = \dfrac{\pi}{2} + 2l\pi$ , όπου

ακέραιος (1)

$\sin (x\sqrt {\pi}) =1 \Leftrightarrow x\sqrt {\pi} = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \Leftrightarrow \boxed{x=\sqrt {\pi} \left( \dfrac{1}{2}+2k \right)}$ , όπου

ακέραιος (2)

Θα αποδείξουμε πως όλες οι λύσεις της (2) ικανοποιούν την (1)

Πράγματι υψώνοντας την (2) στο τετράγωνο και πολλαπλασιάζοντας με

παίρνουμε ότι:

$2x^2= 2\pi \left( \dfrac{1}{2}+2k \right)^2 = \dfrac{\pi}{2} + 2(4k^2+2k)\pi$ , που είναι της μορφής $\dfrac{\pi}{2} + 2l\pi$ , όπου l=4k^2+2k

που είναι ακέραιος.

Τριγωνομετρική εξίσωση (Λύκειο)

Τριγωνομετρική εξίσωση (Λύκειο)

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση (Λύκειο)

Μέλη σε σύνδεση