Απόδειξη ανισότητας ( Γ΄Λυκείου )

KARKAR · #1

Δείξτε με δύο ( τουλάχιστον ! ) τρόπους , ότι : $(k^2+1)\ell n(k^2+1)\geq k^2 , \forall k \in \mathbb{R}$

Η άσκηση απευθύνεται σε μαθητές , μέχρι τα Φώτα .

panagiotis iliopoulos · #2

Έστω η συνάρτηση f(x)=(x+1)ln(x+1)-x,x> -1

.

Βρίσκουμε f'(x)=ln(x+1)

.

Προκύπτει άμεσα ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [0,+00)

.

Οπότε έχουμε $k^2\geq 0\Rightarrow f(k^2)\geq f(0)\Rightarrow (k^2+1)ln(k^2+1)-k^2\geq 0\Rightarrow (k^2+1)ln(k^2+1)\geq k^2$ .

Προφανώς ο θεματοδότης έχει παραλείψει το ''ίσον'' στην ανισότητα.

panagiotis iliopoulos · #3

Αναρωτιέμαι ποιος είναι ο άλλος τρόπος.

spege · #4

Με την lnx<=x-1 .Ζητώ συγνώμη που δεν μπορώ να γράψω.

KARKAR · #5

Γράφω τρεις υποδείξεις ( σίγουρα θα υπάρξουν κι άλλες ) :

1) Θ.Μ.Τ. για την h(x)=ln(x+1)

, στο

2) Χρησιμοποίησε την κυρτότητα της : g(x)=(x+1)ln(x+1)

και κατάλληλη εφαπτόμενη της $C_{g}$ .

3) Η παράσταση ισούται με το : $\displaystyle\int_{0}^{k}2xln(x^2+1)dx , k\geq 0$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

Θεώρησε τη συνάρτηση g(x)=x(lnx-1)

με $x \geq 1$ .....

Απόδειξη ανισότητας ( Γ΄Λυκείου )

Απόδειξη ανισότητας ( Γ΄Λυκείου )

Re: Απόδειξη ανισότητας ( Γ΄Λυκείου )

Re: Απόδειξη ανισότητας ( Γ΄Λυκείου )

Re: Απόδειξη ανισότητας ( Γ΄Λυκείου )

Re: Απόδειξη ανισότητας ( Γ΄Λυκείου )

Re: Απόδειξη ανισότητας ( Γ΄Λυκείου )

Μέλη σε σύνδεση