Βήμα στους μαθητές Γυμνασίου -65

#1

(Γ Γυμνασίου) Δίνεται ο αριθμός $\displaystyle{A=n^4 +(-1)^{n-1}.n +(-1)^n -n}}$ , όπου $\displaystyle{n\in N}$

Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{n\in N-\{1\}}$ , ο αριθμός αυτός διαιρείται με τον $\displaystyle{n-1}$

(Mέχρι 10/3/2014)

#2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:(Γ Γυμνασίου) Δίνεται ο αριθμός $\displaystyle{A=n^4 +(-1)^{n-1}.n +(-1)^n -n}}$ , όπου $\displaystyle{n\in N}$

Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{n\in N-\{1\}}$ , ο αριθμός αυτός διαιρείται με τον $\displaystyle{n-1}$

(Mέχρι 10/3/2014)

● Αν ο

είναι άρτιος, τότε ο n-1

θα είναι περιττός, οπότε $\displaystyle{{( - 1)^n} = 1,{( - 1)^{n - 1}} = - 1}$ :

$\displaystyle{A = {n^4} - n + 1 - n = n({n^3} - 1) - (n - 1) = n(n - 1)({n^2} + n + 1) - (n - 1)}$

$\boxed{A = (n - 1)({n^3} + {n^2} + n - 1)}$

Άρα ο αριθμός

διαιρείται με τον n-1

● Αν ο

είναι περιττός, τότε ο n-1

θα είναι άρτιος, οπότε $\displaystyle{{( - 1)^n} = -1,{( - 1)^{n - 1}} = 1}$ :

$\displaystyle{A = {n^4} + n - 1 - n = {n^4} - 1 = ({n^2} - 1)({n^2} + 1)}$

$\boxed{A = (n - 1)(n + 1)({n^2} + 1)}$

Άρα και πάλι ο

διαιρείται με το n-1

gauss1988 · #3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:(Γ Γυμνασίου) Δίνεται ο αριθμός $\displaystyle{A=n^4 +(-1)^{n-1}.n +(-1)^n -n}}$ , όπου $\displaystyle{n\in N}$

Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{n\in N-\{1\}}$ , ο αριθμός αυτός διαιρείται με τον $\displaystyle{n-1}$

(Mέχρι 10/3/2014)

Και αλλιώς.
$A=n^{4}-n+(-1)^{n-1}n+(-1)(-1)^{n-1}=n(n^{3}-1)+(-1)^{n-1}(n-1)=n(n-1)(n^{2}+n+1)+(-1)^{n-1}(n-1)=(n-1)[n(n^{2}+n+1+(-1)^{n-1}]$
δηλαδή ο αριθμός διαιρείται με το n-1

Βήμα στους μαθητές Γυμνασίου -65

Βήμα στους μαθητές Γυμνασίου -65

Re: Βήμα στους μαθητές Γυμνασίου -65

Re: Βήμα στους μαθητές Γυμνασίου -65

Μέλη σε σύνδεση