Εύρεση συνάρτησης

Λάμπρος Μπαλός · #1

Γ' Λυκείου , ως 10/06/2016

Βρείτε την παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+ \infty) \rightarrow (- \infty, 0)$ , με $f'(1)= - \frac{1}{2}$ , για την οποία

$xf'(x)+1=e^{f(x)}$

raf616 · #2

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Γ' Λυκείου , ως 10/06/2016

Βρείτε την παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+ \infty) \rightarrow (- \infty, 0)$ , με $f'(1)= - \frac{1}{2}$ , για την οποία

$xf'(x)+1=e^{f(x)}$

Καλησπέρα κ. Λάμπρο! Μία προσπάθεια:

Αφού x > 0

είναι $f'(x) = \dfrac{e^{f(x)}-1}{x}$ από όπου παίρνουμε ότι η

είναι παραγωγίσιμη.

Παραγωγίζοντας τη δοθείσα σχέση παίρνουμε $\displaystyle{f'(x) + xf''(x) = e^{f(x)}f'(x) \iff xf''(x) = f'(x)(e^{f(x)} - 1) = x[f'(x)]^2 \iff$

$f''(x) = [f'(x)]^2, \forall x \in (0, +\infty)}$ . Αν g(x) = f'(x)

προκύπτει $g(x) \neq 0$ αφού τότε θα έπρεπε να υπήρχε

τέτοιο ώστε f(x) = 0

, άτοπο.

Άρα $\left(\dfrac{1}{g(x)}\right)' = -1 \iff \dfrac{1}{g(x)} = -x + c \iff g(x) = \dfrac{1}{c-x}$ . Για x=1

είναι

και άρα $f'(x) = -\dfrac{1}{x+1}$ .

Αντικαθιστώντας στην αρχική είναι $e^{f(x)} = \dfrac{1}{x+1} \iff f(x) = -\ln(x+1), \forall x \in (0, + \infty)$ που είναι η ζητούμενη συνάρτηση.

Λάμπρος Μπαλός · #3

Καλησπέρα Ραφαήλ!

BAGGP93 · #4

Άλλη μια ιδέα. Γεια σου Λάμπρο. Γεια σου Ραφαήλ.

Για $\displaystyle{x>0}$ γράφουμε $\displaystyle{x\,f^\prime(x)\,e^{-f(x)}+e^{-f(x)}=1}$ , οπότε, θέτοντας $\displaystyle{g:\left(0,+\infty\right)\to \mathbb{R}}$

από τη σχέση $\displaystyle{g(x)=e^{-f(x)}}$ , παίρνουμε $\displaystyle{-x\,g^\prime(x)+g(x)=1\iff x\,g^\prime(x)-g(x)=-1\,,x>0}$ , οπότε

$\displaystyle{\dfrac{x\,g^\prime(x)-g(x)}{x^2}=-\dfrac{1}{x^2}\,,x>0}$ .

Υπάρχει σταθερά $\displaystyle{c\in\mathbb{R}}$ ώστε $\displaystyle{\dfrac{g(x)}{x}=\dfrac{1}{x}+c\,,x>0}$ . Από την αρχική σχέση τώρα,

$\displaystyle{f^\prime(1)+1=e^{f(1)}\iff e^{f(1)}=\dfrac{1}{2}\iff g(1)=2}$ , άρα :

$\displaystyle{g(1)=1+c\iff c=1}$ και με αντικατάσταση βρίσκουμε,

$\displaystyle{x>0\implies g(x)=1+x\implies e^{-f(x)}=1+x\implies f(x)=-\ln\,(x+1)}$ .

Λάμπρος Μπαλός · #5

Γεια σου Ευάγγελε, σε ευχαριστώ για τη δεύτερη λύση.
Να πω επί τη ευκαιρία (δεν ξέρω ποιός χημισμός δούλεψε) , σε βιβλίο του Ντούγια συνάντησα τη συγκεκριμένη διαφορική, χωρίς συνθήκες, με άλλα ζητούμενα, δεν έβρισκε τύπο. Η λύση μου ήταν ακριβώς αυτή που έγραψε ο Ραφαήλ παραπάνω.

Εύρεση συνάρτησης

Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση