Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.
Εστω οτι η f συνεχης.
Θετοντας οπου x το 2 εχω οτι f(3)=2.
Θεωρω την συναρτηση g(x)=f(x)-x στο [2,3].
Η g συνεχης ως αθροισμα συνεχων
g(2)=1, g(3)=-1 αρα g(2)*g(3)<0.
Αρα απο θ. Bolzano υπαρχει τ.ω. g()=0 f()=.
Στην θετω οπου x το και εχω:
ή ,
ατοπο αφου .
Αρα η f ασυνεχης.