Για τους φίλους μας της Γ Λυκείου-3ο

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Για τους φίλους μας της Γ Λυκείου-3ο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τετ Νοέμ 10, 2010 6:32 pm

Έστω ότι a,b είναι πραγματικοί αριθμοί με a<b και f:[a,b] \to [a,b] είναι συνεχής συνάρτηση.
Αν a_0,a_1,...,a_n \in \mathbb{R} με a_0+a_1+a_2+...+a_n \neq 0 και a_0x+a_1f(x)+a_2f^2(x)+...+a_nf^n(x)=0, \forall x \in [a,b] , να αποδειχθεί ότι
ab \leq0
Διευκρίνηση:με f^n συμβολίζω τη συνάρτηση f\circ f \circ f \circ ...\circ f (n φορές)
Μέχρι 17/11
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου-Συναρτήσεις κ.λ.π.


Σπύρος Καπελλίδης
andreas
Δημοσιεύσεις: 19
Εγγραφή: Τετ Ιουν 24, 2009 11:27 am

Re: Για τους φίλους μας της Γ Λυκείου-3ο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από andreas » Πέμ Νοέμ 11, 2010 4:31 pm

Εστω οτι αβ>0.
Θεωρω τη συναρτηση g(x)=f(x)-x στο [α,β].
Η g συνεχης
g(a)=f(a)-a, αλλα a<=f(a)<=b αρα 0<=g(a)<=b-a
g(b)=f(b)-b, αλλα a<=f(b)<=b αρα a-b<=g(b)<=0
Αρα g(a)*g(b)<=0
Aρα απο θ. Bolzano υπαρχει τουλαχιστον 1 x_0 ανηκει στο [α,β] τ.ω.
g(x_0)=0 δηλαδη f(x_0)=x_0
a_0x+a_1f(x)+...a_nf^n(x)=0 oπου χ θετω x_0 και εχω
(a_0+a_1+...+a_n)x_0=0 αλλα a_0+a_1+a_2+...+a_n \neq 0 αρα x_0=0. Αλλα x_0 ανηκει στο [α,β] ατοπο.
Αρα αβ<=0


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης