Ακριβώς ένα σημείο τομής

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

pana1333
Δημοσιεύσεις: 1036
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Ακριβώς ένα σημείο τομής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pana1333 » Τρί Νοέμ 16, 2010 3:43 am

Δίνεται η συνάρτηση f:\left[0,3 \right]\rightarrow \left[0,3 \right] η οποία είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [0,3]. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει την ευθεία y=x-1 σε ακριβώς ένα σημείο.

Έως 22/11

Μαθηματικά Κατεύθυνσης
Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: Ακριβώς ένα σημείο τομής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Τρί Νοέμ 16, 2010 2:24 pm

Αρκεί η συνάρτηση \displaystyle {g\left(x \right)=f\left(x \right)-x+1,0\leq x\leq 3} να έχει μοναδική λύση στο διαστημά μας.

Παρατηρούμε πως είναι γνησίως μονοτονη.Έστω: \displaystyle {x_{1},x_{2}\epsilon \left[0,3 \right]<img class="smilies" src="./images/smilies/icon_mad.gif" width="15" height="17" alt=":x" title="Mad">_{1}<x_{2}}

τότε: \displaystyle {f\left(x_{1} \right)>f\left(x_{2} \right),-x_{1}>-x_{2}\Rightarrow f\left(x_{1} \right)-x_{1}+1>f\left(x_{2} \right)-x_{2}+1\Rightarrow g\left(x_{1} \right)>g\left(x_{2} \right)}

άρα είναι γνησίως φθίνουσα.Ακόμη επειδή:

\displaystyle 0\leq f\left(x \right)\leq 3,-3\leq -x\leq 0 \Rightarrow -2\leq g\left(x \right)\leq 4 \Rightarrow R_{g}=\left[-2,4 \right]}

Επειδή τώρα η g είναι συνεχής ως πράξεις συνεχων συναρτησεων,και επειδή 0 \in\mathbb {R_{g}} θα υπάρχει τουλάχιστον ένα

\xi του διαστήματος τέτοιο ώστε f\left(\xi  \right)=0 το οπίο είναι και μοναδικό επιδή η συναρτηση μας είναι γνησιως μονοτονη.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης