Yπολογισμός τριγωνομετρικού ορίου

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Yπολογισμός τριγωνομετρικού ορίου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Σάβ Νοέμ 27, 2010 11:08 pm

Ας υπολογιστεί το όριο

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{cosx}-\sqrt[3]{cosx}}{1-cos^2x}


kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: Yπολογισμός τριγωνομετρικού ορίου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Κυρ Νοέμ 28, 2010 12:41 am

Επειδή το όριο είναι της μορφής \frac{0}{0} εφαρμόζουμε τον κανονα του D' Hospital:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{\cos x}-\sqrt[3]{\cos x}}{1-\cos^{2}x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left( \sqrt{\cos x}-\sqrt[3]{\cos x}\right)'}{\left(\sin^{2}x \right)'}=\lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{-\sin x}{2\sqrt{\cos x }}+\frac{\sin x}{3\sqrt[3]{\cos^{2}x}} \right)\frac{1}{2\cos x \sin x}=\lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{1}{3\sqrt[3]{\cos^{2}x}}-\frac{1}{2\sqrt{\cos x}} \right)\frac{1}{2\cos x}=-\frac{1}{12}


nonlinear
Δημοσιεύσεις: 290
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 28, 2010 3:51 am

Re: Yπολογισμός τριγωνομετρικού ορίου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nonlinear » Κυρ Νοέμ 28, 2010 12:54 am

Xωρίς τυρόπιτα ισως :

\displaystyle{\begin{array}{l} 
\cos x = {t^6},t \to 1\\ 
\mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{{{t^3} - {t^2}}}{{ - \left( {{t^{12}} - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{{{t^2}\left( {t - 1} \right)}}{{ - \left( {t - 1} \right) \cdot \left( {1 + ... + {t^{11}}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{{ - 1}}{{1 + ... + {t^{11}}}} =  - \frac{1}{{12}} 
\end{array}}


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1816
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Yπολογισμός τριγωνομετρικού ορίου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Κυρ Νοέμ 28, 2010 12:57 am

Χωρίς De L' Hospital ;


Απάντησε ο nonlinear πρίν την εώτηση!!...!


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5358
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Yπολογισμός τριγωνομετρικού ορίου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Κυρ Νοέμ 28, 2010 1:17 am

Μία σκέψη:
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {\cos x}  - \sqrt[3]{{\cos x}}}} 
{{1 - \cos ^2 x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(\sqrt {\cos x}  - 1) - (\sqrt[3]{{\cos x}} - 1)}} 
{{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}} = ..., υπενθυμίζοντας ότι:
a - b = \frac{{a^2  - b^2 }} 
{{a + b}},a - b = \frac{{a^3  - b^3 }} 
{{a^2  + ab + b^2 }}.

S.E.Louridas


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης