Eξίσωση

erxmer · #1

Nα βρεθούν όλα τα χ ώστε $6^x + 27^{x-1} = 8^{x}-1$

ΕΩΣ 1/1

#2

Φίλε erxmer βάλε κι ένα χρονικό περιθώριο στην άσκηση σου όταν απευθύνεται σε μαθητές.

Έτσι καταλαβαίνουν και οι αόμματοι σαν κι εμένα πως είναι για μαθητές!

Eukleidis · #3

Για δεύτερη φορα, επαναφορά

Dreamkiller · #4

Θέτοντας

και

η εξίσωση γίνεται:
27a^3-b^3-27-27ab=0

ή αλλιώς

που είναι η ταυτότητα του Euler. Άρα πρέπει είτε 3a=-b=-3

που δεν οδηγεί σε λύσεις είτε $3a-b-3=0 \Leftrightarrow 2^x=3^{x-1}+1$ .

Η $\displaystyle f(x)=\big(\frac{3}{2}\big)^{x-1}+\big(\frac{1}{2}\big)^{x-1}-2$ έχει $\displaystyle f{''}(x)=\big(\frac{3}{2}\big)^{x-1}(ln3-ln2)^2+\big(\frac{1}{2}\big)^{x-1}(-ln2)^2 >0$ άρα η f{'}

είναι γνησίως αύξουσα.

Αφού $f{'}(x)=\big(\frac{3}{2}\big)^{x-1}(ln3-ln2)-\big(\frac{1}{2}\big)^{x-1}ln2$ παίρνουμε f{'}(1)=ln3-ln4<0

και $\displaystyle f{'}(2)=\frac{3ln3-4ln2}{2}>0$ άρα από Bolzano η f{'}

έχει μία ακριβώς (επειδή είναι γνησίως αύξουσα) ρίζα στο (0,1)

, έστω

.

Για

είναι

και άρα η

εκεί είναι γνησίως φθίνουσα ενώ για x>m

είναι

άρα η

εκεί είναι γνησίως αύξουσα. Επειδή f(1)=f(2)=0

, οι

και

είναι οι μοναδικές ρίζες της

και άρα της εξίσωσής μας.

Eξίσωση

Eξίσωση

Re: Eξίσωση

Re: Eξίσωση

Re: Eξίσωση

Μέλη σε σύνδεση