Eξίσωση

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Eξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Κυρ Νοέμ 28, 2010 9:33 pm

Nα βρεθούν όλα τα χ ώστε 6^x + 27^{x-1} = 8^{x}-1


ΕΩΣ 1/1
τελευταία επεξεργασία από erxmer σε Τετ Δεκ 29, 2010 8:30 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Eξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τετ Δεκ 01, 2010 10:06 pm

Φίλε erxmer βάλε κι ένα χρονικό περιθώριο στην άσκηση σου όταν απευθύνεται σε μαθητές.

Έτσι καταλαβαίνουν και οι αόμματοι σαν κι εμένα πως είναι για μαθητές!


Χρήστος Κυριαζής
Eukleidis
Δημοσιεύσεις: 667
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 01, 2009 9:55 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Eξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eukleidis » Τετ Δεκ 29, 2010 8:25 pm

Για δεύτερη φορα, επαναφορά :wallbash:


Γιώργος
Dreamkiller
Δημοσιεύσεις: 263
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 12:52 pm

Re: Eξίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Dreamkiller » Πέμ Δεκ 30, 2010 1:39 am

Θέτοντας a=2^x και b=3^x η εξίσωση γίνεται:
27a^3-b^3-27-27ab=0 ή αλλιώς (3a)^3+(-b)^3+(-3)^3+3(3a)(-b)(-3)=0 που είναι η ταυτότητα του Euler. Άρα πρέπει είτε 3a=-b=-3 που δεν οδηγεί σε λύσεις είτε 3a-b-3=0 \Leftrightarrow 2^x=3^{x-1}+1.

Η \displaystyle f(x)=\big(\frac{3}{2}\big)^{x-1}+\big(\frac{1}{2}\big)^{x-1}-2 έχει \displaystyle f{''}(x)=\big(\frac{3}{2}\big)^{x-1}(ln3-ln2)^2+\big(\frac{1}{2}\big)^{x-1}(-ln2)^2 >0 άρα η f{'} είναι γνησίως αύξουσα.

Αφού f{'}(x)=\big(\frac{3}{2}\big)^{x-1}(ln3-ln2)-\big(\frac{1}{2}\big)^{x-1}ln2 παίρνουμε f{'}(1)=ln3-ln4<0 και \displaystyle f{'}(2)=\frac{3ln3-4ln2}{2}>0 άρα από Bolzano η f{'} έχει μία ακριβώς (επειδή είναι γνησίως αύξουσα) ρίζα στο (0,1), έστω m.

Για x<m είναι f{'}(x)<0 και άρα η f εκεί είναι γνησίως φθίνουσα ενώ για x>m είναι f{'}(x)>0 άρα η f εκεί είναι γνησίως αύξουσα. Επειδή f(1)=f(2)=0, οι x=1 και x=2 είναι οι μοναδικές ρίζες της f και άρα της εξίσωσής μας.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες