Εύρεση συνάρτησης

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Εύρεση συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Κυρ Δεκ 05, 2010 9:59 pm

Μιας και ακύρωσα μια άσκηση που βασίζονταν σε άλλη, χρωστώ μια παρόμοια

Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις g: [0,1]\rightarrow R, που είναι τέτοιες ώστε να ισχύει g(x)=\displaystyle\frac{1}{3}g(x^{2})+\displastyle\frac{1}{4}g(1-x^{2}}) για κάθε χ του [0,1]

Μέχρι 5-12-2010 συναρτήσεις όρια συνέχεια γ' λυκείου


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: Εύρεση συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Δευ Δεκ 06, 2010 6:59 pm

Η \displaystyle g ώς συνεχής συνάρτηση στο κλειστό διάστημα \displaystyle \left[0,1 \right] παρουσιάζει μεγιστη και ελάχιστη τιμή

σύμφωνα με το θεώρημα μέγιστης ελάχιστης τιμής.Άρα υπαρχουν \displaystyle \exists x_{1},x_{2} \in\ \left[0,1 \right]:g\left(x_{1} \right)\leqslant g\left(x \right)\leqslant g\left(x_{2} \right),\forall x \in\ \left[0,1 \right]

Επειδή \displaystyle 1-x^{2},x^2 \in\ \left[0,1 \right] ,\forall x\in\ \left[0,1 \right]. Άρα: \displaystyle g\left(x_{1} \right)\leqslant g\left(1-x^{2} \right)\leqslant g\left(x_{2} \right),g\left(x_{1} \right)\leqslant g\left(x^{2} \right)\leqslant g\left(x_{2} \right), \forall x\in \left[0,1 \right]

Άν στην συναρτησιακή σχέση μου θεσω όπου x το x_{1} θα λάβω \displaystyle g\left(x_{1} \right)=\frac{1}{3}g\left(x_{1}^{2} \right)+\frac{1}{4}g\left(1-x_{1}^{2} \right)\geqslant \frac{7}{12}g\left(x_{1} \right)\Rightarrow  g\left(x_{1} \right) \geqslant 0

Άν στην συναρτησιακή σχέση μου θεσω όπου x το x_{2} θα λάβω \displaystyle g\left(x_{2} \right)=\frac{1}{3}g\left(x_{2}^{2} \right)+\frac{1}{4}g\left(1-x_{2}^{2} \right)\leqslant \frac{7}{12}g\left(x_{2} \right)\Rightarrow  g\left(x_{2} \right)\leqslant 0

Άρα: \displaystyle \biggl {\left(0\leqslant g\left(x_{1} \right)\leqslant g\left(x \right)\leqslant g\left(x_{2} \right)\leqslant 0 ,\forall x\in \left[0,1 \right]\biggr)}\right)\Rightarrow \biggl ({g\left(x \right)= 0 ,\forall x\in \left[0,1 \right]\biggr)}


Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση συνάρτησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Πέμ Δεκ 16, 2010 12:34 am

Η άσκηση είναι από εδώ http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=324632
(διέγραψα μέρος του μηνύματος...)και πάλι καληνύχτα


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης