Εύρεση συνάρτησης

mathxl · #1

Μιας και ακύρωσα μια άσκηση που βασίζονταν σε άλλη, χρωστώ μια παρόμοια

Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $g: [0,1]\rightarrow R,$ που είναι τέτοιες ώστε να ισχύει $g(x)=\displaystyle\frac{1}{3}g(x^{2})+\displastyle\frac{1}{4}g(1-x^{2}})$ για κάθε χ του [0,1]

Μέχρι 5-12-2010 συναρτήσεις όρια συνέχεια γ' λυκείου

kwstas12345 · #2

Η $\displaystyle g$ ώς συνεχής συνάρτηση στο κλειστό διάστημα $\displaystyle \left[0,1 \right]$ παρουσιάζει μεγιστη και ελάχιστη τιμή

σύμφωνα με το θεώρημα μέγιστης ελάχιστης τιμής.Άρα υπαρχουν $\displaystyle \exists x_{1},x_{2} \in\ \left[0,1 \right]:g\left(x_{1} \right)\leqslant g\left(x \right)\leqslant g\left(x_{2} \right),\forall x \in\ \left[0,1 \right]$

Επειδή $\displaystyle 1-x^{2},x^2 \in\ \left[0,1 \right] ,\forall x\in\ \left[0,1 \right]$ . Άρα: $\displaystyle g\left(x_{1} \right)\leqslant g\left(1-x^{2} \right)\leqslant g\left(x_{2} \right),g\left(x_{1} \right)\leqslant g\left(x^{2} \right)\leqslant g\left(x_{2} \right),$ $\forall x\in \left[0,1 \right]$

Άν στην συναρτησιακή σχέση μου θεσω όπου

το $x_{1}$ θα λάβω $\displaystyle g\left(x_{1} \right)=\frac{1}{3}g\left(x_{1}^{2} \right)+\frac{1}{4}g\left(1-x_{1}^{2} \right)\geqslant \frac{7}{12}g\left(x_{1} \right)\Rightarrow g\left(x_{1} \right) \geqslant 0$

Άν στην συναρτησιακή σχέση μου θεσω όπου

το $x_{2}$ θα λάβω $\displaystyle g\left(x_{2} \right)=\frac{1}{3}g\left(x_{2}^{2} \right)+\frac{1}{4}g\left(1-x_{2}^{2} \right)\leqslant \frac{7}{12}g\left(x_{2} \right)\Rightarrow g\left(x_{2} \right)\leqslant 0$

Άρα: $\displaystyle \biggl {\left(0\leqslant g\left(x_{1} \right)\leqslant g\left(x \right)\leqslant g\left(x_{2} \right)\leqslant 0 ,\forall x\in \left[0,1 \right]\biggr)}\right)\Rightarrow \biggl ({g\left(x \right)= 0 ,\forall x\in \left[0,1 \right]\biggr)}$

mathxl · #3

Η άσκηση είναι από εδώ http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=324632
(διέγραψα μέρος του μηνύματος...)και πάλι καληνύχτα

Εύρεση συνάρτησης

Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Re: Εύρεση συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση