Συναρτήσεις (συνδυαστική - γ λυκείου)

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Συναρτήσεις (συνδυαστική - γ λυκείου)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Παρ Ιαν 14, 2011 8:42 pm

Δίνονται συναρτήσεις f(x)=5^x+12^x, g(x)=13^x.
1) Να βρεθούν τα κοινά σημεία των γ.π.
2) Να δείξετε οτι η συνάρτηση H(x)=x^{2011}+x είναι γνήσια αύξουσα στο R.
3) Να λυθεί η εξίσωση [f(x)]^{2011}-[g(x)]^{2011}=g(x)-f(x)

εως 31/1


gtk1994
Δημοσιεύσεις: 92
Εγγραφή: Τετ Απρ 14, 2010 5:04 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Συναρτήσεις (συνδυαστική - γ λυκείου)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gtk1994 » Δευ Ιαν 17, 2011 4:13 pm

Θα γράψω μια λύση(ελπίζω όχι λανθασμένη) που βρήκα, αλλά επειδή είμαι β΄λυκείου δεν ξέρω αν υπάρχει κάποια πιο γρήγορη και εύκολη και λύση.

1) Αρκεί να βρούμε τα x για τα οποία ισχύει

5^x+12^x=13^x \Leftrightarrow

5^x+12^x-13^x=0 \Leftrightarrow

({\frac{5}{13}})^x+(\frac{12}{13})^{x}-1=0

Θεωρούμε τη συνάρτηση r(x)=({\frac{5}{13}})^x+(\frac{12}{13})^{x}-1,
η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο \Re , καθώς \frac{5}{13}<1 και \frac{12}{13}<1

Άρα, είναι και (1-1)   \Rightarrow Η εξίσωση r(x)=0 έχει μία το πολύ ρίζα.
Προφανής λύση είναι η x=2
Άρα, το σημείο τομής των γ.π είναι το S(2,169)

β) Έστω x_1>x_2 \Leftrightarrow x_1^{2011}>x_2^{2011} (1)
Εφόσον έχουμε και ότι x_1>x_2 (2), προσθέτοντας τις (1),(2)
έχουμε H(x_1)>H(x_2)
Άρα, η H είναι γνησίως αύξουσα στο \Re

γ)Επειδή η H(x) είναι γνησίως αύξουσα στο \Re θα είναι και (1-1) (*)

Επίσης, η εξίσωση που θέλουμε να λύσουμε γράφεται
[f(x)]^{2011}+f(x)=[g(x)]^{2011}+g(x)   \Leftrightarrow
H(f(x))=H(g(x))

'Ομως, από (*) εχουμε
H(f(x))=H(g(x))\Leftrightarrow
f(x)=g(x)

Όμως, από το α) ερώτημα έχουμε
x=2

Γιώργος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες