Συναρτήσεις - μιγαδικοί (Γ λυκείου)

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Συναρτήσεις - μιγαδικοί (Γ λυκείου)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Δευ Μαρ 14, 2011 2:15 pm

Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη στο R με σύνολο τιμών το R για την οποία ισχύει:
f(f(x)) = f(x)+2x-2 για κάθε x \in R
α. Να δείξετε ότι:
i) Η f είναι 1 – 1 στο R
ii) f(1) =1
β. Να δείξετε ότι f^{-1}(x)=\frac{1}{2}f(x)-\frac{x}{2}+1, x \in R
γ. Αν w \in C και ισχύει f(2|w|-1)=f(|w|^2-4) ,τότε:
i) Nα βρείτε που ανήκουν οι εικόνες του w
ii) Να δείξετε ότι 2\leq |w-3-4i|\leq 8

εως 31/3


gtk1994
Δημοσιεύσεις: 92
Εγγραφή: Τετ Απρ 14, 2010 5:04 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Συναρτήσεις - μιγαδικοί (Γ λυκείου)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gtk1994 » Δευ Μαρ 14, 2011 11:01 pm

Θα επιχειρήσω μια λύση σε αυτή την απλή νομίζω άσκηση.
Απλώς θα ζητούσα λίγη επιείκεια για τυχόν λάθη καθ'ότι πηγαίνω β' λυκειου

Νομίζω το α i και το α ii είναι εύκολα αφού το πρώτο βγαίνει με τον ορισμό της 1-1 και το δεύτερο με απλή αντικάτασταση x=1 και χρήση του 1-1
Για το β. θέτουμε όπου x το f^{-1}(x)και από εκεί έχουμε

f(f(f^{-1}(x))=f(f^{-1}(x))+2f^{-1}(x)-2 \Leftrightarrow  
 
f(x)=x+2f^{-1}(x)-2\Leftrightarrow  
 
f^{-1}=\frac{1}{2}f(x)+\frac{x}{2}+1

και εφόσον το σύνολο τιμών της f είναι όλο το \Re άρα, το \Reείναι και το πεδίο ορισμού της f^{-1}
Για το γ i
Εφόσον η f είναι 1-1 γίνεται ισοδύναμα
f(2\left|w \right|-1)=f(\left|w \right|^2-4)\Leftrightarrow 2\left|w \right|-1=\left|w \right|^2-4\Leftrightarrow (\left|w \right|-1)^2=4 και επειδή πρόκειται για μέτρο μιγαδικού έχουμε |w|=3
Θεωρούμε w=x+yi.Άρα, αντικαθιστώντας παίρνουμε x^2+y^2=9
Άρα, οι εικόνες του w κινούνται πάνω σε έναν κύκλο με κέντρο K(0,0) kai ακτίνα R=3

Για το γ ii
Έχουμε |w-3-4i|=|(x-3)+(y-4)i|
Άρα, θεωρούμε το σημείο A(3,4)
Η ελάχιστη τιμή του μέτρου του μιγαδικού w
είναι η |\vec{KA}|-R=2
και η μέγιστη η |\vec{KA}|+R=8

Γιώργος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης