Γ΄λυκείου Οριο Ναί

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5358
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Γ΄λυκείου Οριο Ναί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Πέμ Μαρ 31, 2011 2:59 pm

Να υπολογιστεί το \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}} 
{x}, όταν η μεταβλητή x εκφράζει μοίρες.

Εως 3 / 4 /11 (Κυριακή)

S.E.Louridas


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
spyros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 91
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:15 am

Re: Γ΄λυκείου Οριο Ναί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από spyros » Τρί Απρ 05, 2011 2:23 am


Σε τριγωνομετρικό κύκλο με ακτίνα \rho  = 1
παίρνουμε γωνία \widehat{{\rm A}{\rm O}{\rm B}}
ώστε {0^ \circ } < \widehat{{\rm A}{\rm O}{\rm B}} < {90^ \circ }
και \widehat{{\rm A}{\rm O}{\rm B}} = {\mu ^ \circ }
(στο εξής όπου μ θα εννοούμε {\mu ^ \circ }
μετρημένη σε μοίρες).
Θα έχουμε {\rm B}\Gamma  < \tau o\xi o{\rm A}{\rm B} < {\rm A}\Delta . Όμως το μήκος του τόξου {\rm A}{\rm B} είναι L = \frac{{\pi \rho \mu }}{{180}} = \frac{{\pi \mu }}{{180}}
, {\rm B}\Gamma  = \sin \mu
και {\rm A}\Delta  = \tan \mu
. Οπότε \sin \mu  < \pi \rho \frac{\mu }{{180}} < \tan \mu
και πολ/ντας με \frac{{180}}{{\pi \sin \mu }}
έχουμε \frac{{180}}{{\pi \sin \mu }} \cdot \sin \mu  < \frac{{180}}{{\pi \sin \mu }} \cdot \frac{{\pi \mu }}{{180}} < \frac{{180}}{{\pi \sin \mu }} \cdot \frac{{\sin \mu }}{{\cos \mu }}
δηλαδή \frac{{180}}{\pi } < \frac{\mu }{{\sin \mu }} < \frac{1}{{\cos \mu }} \cdot \frac{{180}}{\pi }
. Παίρνοντας τώρα τα όρια όταν \mu  \to 0
έχουμε: \mathop {\lim }\limits_{\mu  \to 0} \frac{{180}}{\pi } < \mathop {\lim }\limits_{\mu  \to 0} \frac{\mu }{{\sin \mu }} < \mathop {\lim }\limits_{\mu  \to 0} \left( {\frac{1}{{\cos \mu }} \cdot \frac{{180}}{\pi }} \right)
. Όμως \mathop {\lim }\limits_{\mu  \to 0} \cos \mu  = 1
(σχολικό βιβλίο -171-, εκτός ύλης), άρα \frac{{180}}{\pi } < \mathop {\lim }\limits_{\mu  \to 0} \frac{\mu }{{\sin \mu }} < \frac{{180}}{\pi }
και αντιστρέφοντας είναι \mathop {\lim }\limits_{\mu  \to 0} \frac{{\sin \mu }}{\mu } = \frac{\pi }{{180}}
. Συμπληρωματικά αναφέρουμε ότι και οι τύποι στην παράγωγο αλλάζουν αν η γωνία μετριέται σε μοίρες π.χ {\left( {\sin {x^ \circ }} \right)^\prime } = \frac{\pi }{{180}} \cdot \cos x
κτλ…
Πηγή: Αριθμοί και άλλα... του Τάσου Αγάπη
Συνημμένα
Clipboard01.png
Clipboard01.png (10.22 KiB) Προβλήθηκε 710 φορές


\displaystyle{\bf\sqrt{\Sigma \pi \upsilon \rho o \varsigma}^{2}
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5358
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Γ΄λυκείου Οριο Ναί

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τρί Απρ 05, 2011 3:53 pm

Γιά να τιμήσω έναν Τεράστιο τον Σπύρο Κανέλλο δίνω την απόδειξη όπως ακριβώς την έχει στο βιβλίο του:
Στοιχεία Μαθηματικής Ανάλυσης-Εκδόσεις Παπαδημητρόπουλου σελ.143
Είναι γνωστό ότι:
Αν
x,x_1 ,x_2 είναι τα μέτρα του ίδιου τόξου σε ακτίνια, μοίρες, βαθμούς ισχύει:
\sin x = \sin x_1  = \sin x_2 \;\kappa \alpha \iota \;\frac{x} 
{\pi } = \frac{{x_1 }} 
{{180}} = \frac{{x_2 }} 
{{200}} \Rightarrow \frac{{\sin x}} 
{x} = \frac{{180}} 
{\pi } \cdot \frac{{\sin x_1 }} 
{{x_1 }} = \frac{{180}} 
{\pi } \cdot \frac{{\sin x_2 }} 
{{x_2 }} \Rightarrow
\mathop {\lim }\limits_{x_1  \to 0} \frac{{\sin x_1 }} 
{{x_1 }} = \frac{\pi } 
{{180}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}} 
{x} = \frac{\pi } 
{{180}}\;\kappa \alpha \iota \;\mathop {\lim }\limits_{x_2  \to 0} \frac{{\sin x_2 }} 
{{x_2 }} = \frac{\pi } 
{{200}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}} 
{x} = \frac{\pi } 
{{200}},
καθότι ισχύει ότι:
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}} 
{x} = 1.

(*)
Αναφέρω επίσης ότι ο Σύμβουλος Μαθηματικός Γιώργος Τασσόπουλος έχει δημοσιεύσει μία Άριστη διαπραγμάτευση στην οποία αναφέρεται και το θέμα αυτό στο πρόσφατο τεύχος του περιοδικού της Ε.Μ.Ε. " ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄ "".

S.E.Louridas


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης