Yπολογισμός ορίων (χωρίς De Hospital)

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Yπολογισμός ορίων (χωρίς De Hospital)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Τρί Ιούλ 12, 2011 11:51 pm

Nα υπολογιστούν τα κάτωθι

1) \displaystyle{\lim_{x \to 0}\frac{ln(x+1)+e^x-cos2x}{(1-sinx)^2-e^x}}


2) \displaystyle{\lim_{x \to \pi/2}(sinx)^{tanx}}


3) \displaystyle{\lim_{x \to 0}(1+tanx)^\displaystyle{{\frac{1}{tanx}}}}


εως 31/8


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Yπολογισμός ορίων (χωρίς De Hospital)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Πέμ Μαρ 29, 2012 10:12 am

Επαναφορά


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Yπολογισμός ορίων (χωρίς De Hospital)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Πέμ Μαρ 29, 2012 4:44 pm

Οι μαθητές δεν μας τίμησαν, οπότε ...

1) Για x κοντά στο 0 έχουμε ότι αι χρησιμοποιώντας τον ορισμό της παραγώγου έχουμε σε κάθε μια από τις περιπτώσεις:

* \displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{ln(x+1)-ln1}{x}=\frac{1}{0+1}=1},

** \displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^x-e^0}{x}=e^0=1},

*** \displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{cos(2x)-cos0}{2x}=-2sin(2 \cdot 0)=0},

**** \displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{(1-sinx)^2-1}{x}=2(1-sin0)(-cos0)=-2}.

Χρησιμοποιώντας τα προηγούμενα όρια για x κοντά στο 0 έχουμε ότι:

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\frac{ln(x+1)+e^x-cos(2x)}{(1-sinx)^2-e^x}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{ln(x+1)-ln1+e^x-e^0-cos(2x)+cos0}{(1-sinx)^2-1+e^0-e^x}=}

\displaystyle{=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{ln(x+1)-ln1}{x}+\frac{e^x-e^0}{x}-2\frac{cos(2x)-cos0}{2x}}{\frac{(1-sinx)^2-1}{x}-\frac{e^x-e^0}{x}}=}

\displaystyle{=\frac{1+1-0}{-2-1}=-\frac{2}{3}}.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Yπολογισμός ορίων (χωρίς De Hospital)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Πέμ Μαρ 29, 2012 4:58 pm

2) Για κάθε x κοντά στo \displaystyle{\frac{\pi}{2}} και χρησιμοποιώντας τον ορισμό της παραγώγου έχουμε ότι:

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{ln(sinx)}{cosx}=\lim_{u \rightarrow 0}\frac{ln\sqrt{1-u^2}}{u}=}

\displaystyle{=\lim_{u \rightarrow 0}\frac{ln\sqrt{1-u^2}-ln1}{u-0}=\frac{1}{\sqrt{1-0^2}}\frac{2 \cdot 0}{2\sqrt{1-0^2}}=0},

άρα

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}(sinx)^{tanx}=\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}e^{tanx \cdot ln(sinx)}=}.

\displaystyle{=\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}e^{sinx \frac{ln(sinx)}{cosx}}=1}.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Yπολογισμός ορίων (χωρίς De Hospital)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Πέμ Μαρ 29, 2012 5:05 pm

3) Για x κοντά στο 0 και χρησιμοποιώντας τον ορισμό της παραγώγου έχουμε ότι:

\displaystyle{\lim{x \rightarrow 0}\frac{ln(1+tanx)}{tanx}=\lim{x \rightarrow 0}\frac{ln(1+tanx)-ln1}{tanx-0}=}

\displaystyle{=\lim{x \rightarrow 0}\frac{1}{1+tan0}\frac{1}{cos^20}}=1}.

Συνεπώς για x κοντά στο 0, έχουμε ότι:

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}(1+tanx)^{\frac{1}{tanx}}=\lim_{x \rightarrow 0}e^\frac{ln(1+tanx)}{tanx}}=e}.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης