Συναρτήσεις 01(Γ-ΚΑΤ,ΣΥΝΑΡΤ,ΟΡΙΑ,ΣΥΝΕΧΕΙΑ)
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιουν 27, 2009 3:49 pm
Καλησπέρα σε όλους.
Μιας και οι περισσότεροι μαθητές που θα πάνε στη Γ! Λυκείου ξεκίνησαν τα προπαρασκευαστικά (καλοκαιρινά) μαθήματα,
σκέφτηκα να δώσουμε (σαν mathematica) μια σειρά ασκήσεων προς λύση με σχετικά ενδιαφέροντα θέματα.
Είμαι σίγουρος ότι οι τόσοι πολλοί και εκλεκτοί συνάδελφοι θα δώσουν εκπληκτικά ωραίες ιδέες.
Μέχρι λοιπόν να να δώσετε εξετάσεις, ελπίζω και εύχομαι να σας βοηθήσουμε σημαντικά στη δύσκολη και επίπονη προσπάθειά σας.
Σαν πρώτο θέμα ας δούμε τη βασική έννοια της συνάρτησης που θα μας απασχολήσει όλη τη χρονιά.
Είναι λοιπόν γνωστό ότι το κύριο χαρακτηριστικό μια συνάρτησης είναι το ότι
σε κάθε
\displaystyle x \in A
% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeaacaGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyEaiabgI
% GiolaadMeacaWGsbaaaa!39F5!
.
Ας δούμε λοιπόν μια άσκηση που μπορείται να τη λύσετε μέχρι το επόμενο Σάββατο, 4 Ιουλίου.
Έστω η σχέση
\displaystyle {x^2} - 2{y^3} = 9
% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeaacaGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEaiaacY
% cacaWG5bGaeyicI4Saamysaiaadkfaaaa!3BA2!
.
α. Να βρείτε για ποιες τιμές του x έχει νόημα η σχέση.
β. Εξετάστε αν η δοσμένη σχέση ορίζει (πραγματική) συνάρτηση με ανεξάρτητη μεταβλητή το χ.
μέχρι το Σάββατο, 4 Ιουλίου - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ, ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θωμάς Ραϊκόφτσαλης
Μιας και οι περισσότεροι μαθητές που θα πάνε στη Γ! Λυκείου ξεκίνησαν τα προπαρασκευαστικά (καλοκαιρινά) μαθήματα,
σκέφτηκα να δώσουμε (σαν mathematica) μια σειρά ασκήσεων προς λύση με σχετικά ενδιαφέροντα θέματα.
Είμαι σίγουρος ότι οι τόσοι πολλοί και εκλεκτοί συνάδελφοι θα δώσουν εκπληκτικά ωραίες ιδέες.
Μέχρι λοιπόν να να δώσετε εξετάσεις, ελπίζω και εύχομαι να σας βοηθήσουμε σημαντικά στη δύσκολη και επίπονη προσπάθειά σας.
Σαν πρώτο θέμα ας δούμε τη βασική έννοια της συνάρτησης που θα μας απασχολήσει όλη τη χρονιά.
Είναι λοιπόν γνωστό ότι το κύριο χαρακτηριστικό μια συνάρτησης είναι το ότι
σε κάθε
\displaystyle x \in A% MathType!MTEF!2!1!+-% feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeaacaGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyEaiabgI
% GiolaadMeacaWGsbaaaa!39F5!
.Ας δούμε λοιπόν μια άσκηση που μπορείται να τη λύσετε μέχρι το επόμενο Σάββατο, 4 Ιουλίου.
Έστω η σχέση
\displaystyle {x^2} - 2{y^3} = 9% MathType!MTEF!2!1!+-% feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqipu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeaacaGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEaiaacY
% cacaWG5bGaeyicI4Saamysaiaadkfaaaa!3BA2!
.α. Να βρείτε για ποιες τιμές του x έχει νόημα η σχέση.
β. Εξετάστε αν η δοσμένη σχέση ορίζει (πραγματική) συνάρτηση με ανεξάρτητη μεταβλητή το χ.
μέχρι το Σάββατο, 4 Ιουλίου - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ, ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θωμάς Ραϊκόφτσαλης
, όπου 
και 
(1), όπου
![\begin{array}{l}
(1) \Leftrightarrow {y^3} = {x^2} - 9 \Leftrightarrow y = \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt[3]{{{x^2} - 9}},\alpha \nu {\rm{ }}{{\rm{x}}^2} - 9 \ge 0 \\
- \sqrt[3]{{9 - {x^2}}},{\rm{ }}\alpha \nu {\rm{ }}{{\rm{x}}^2} - 9 < 0 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow y = \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt[3]{{{x^2} - 9}},{\rm{ }}\alpha \nu {\rm{ x}} \in {\rm{( - }}\infty , - 3] \cup [3, + \infty ) \\
- \sqrt[3]{{9 - {x^2}}},{\rm{ }}\alpha \nu {\rm{ x}} \in ( - 3,3) \\
\end{array} \right. \\
\end{array}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/54093ecaa4ebfad06ca6ef3367545ea7.png "\begin{array}{l}
(1) \Leftrightarrow {y^3} = {x^2} - 9 \Leftrightarrow y = \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt[3]{{{x^2} - 9}},\alpha \nu {\rm{ }}{{\rm{x}}^2} - 9 \ge 0 \\
- \sqrt[3]{{9 - {x^2}}},{\rm{ }}\alpha \nu {\rm{ }}{{\rm{x}}^2} - 9 < 0 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow y = \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt[3]{{{x^2} - 9}},{\rm{ }}\alpha \nu {\rm{ x}} \in {\rm{( - }}\infty , - 3] \cup [3, + \infty ) \\
- \sqrt[3]{{9 - {x^2}}},{\rm{ }}\alpha \nu {\rm{ x}} \in ( - 3,3) \\
\end{array} \right. \\
\end{array}")
αντιστοιχεί μία ακριβώς τιμή του 
![(1) \Leftrightarrow {x^2} = {y^3} + 9 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{y^3} + 9 \ge 0 \\
x = \pm \sqrt {{y^3} + 9} \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y \ge - \sqrt[3]{9} \\
x = \pm \sqrt {{y^3} + 9} \\
\end{array} \right.](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/b9917d9a7b2145776ceec3474684b602.png "(1) \Leftrightarrow {x^2} = {y^3} + 9 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{y^3} + 9 \ge 0 \\
x = \pm \sqrt {{y^3} + 9} \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y \ge - \sqrt[3]{9} \\
x = \pm \sqrt {{y^3} + 9} \\
\end{array} \right.")
![y < - \sqrt[3]{9}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/353d6b4527383fffd126c2633a34aa65.png "y < - \sqrt[3]{9}")
, τότε δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός x, για τον οποίο να ισχύει η σχέση (1). Ενώ, για κάθε αριθμό ![y \ge - \sqrt[3]{9}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/95fec30b7e46dae0a3374c27dc58b35d.png "y \ge - \sqrt[3]{9}")
υπάρχουν δύο πραγματικοί αριθμοί x για τους οποίους ισχύει η σχέση (1), εκτός της τιμής ![y = - \sqrt[3]{9}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/4b601e7d5ed7f947d5d5b7a4a601f791.png "y = - \sqrt[3]{9}")
, για την οποία υπάρχει μία μόνο τιμή του x(=0).![\left\{ { - \sqrt[3]{9}} \right\}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/cf43be6efee73ed37fd534ece33f931a.png "\left\{ { - \sqrt[3]{9}} \right\}")
(μονοσύνολο).