Τύπος συνεχούς συνάρτησης με τετράγωνα (ΓΛ ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Τύπος συνεχούς συνάρτησης με τετράγωνα (ΓΛ ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Κυρ Σεπ 25, 2011 11:10 am

Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις \displaystyle{f(x)} στο \displaystyle{\mathbb{R}} ώστε:
(α) \displaystyle{f^2(x)=(e^x+1)^2} για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}}
(β) \displaystyle{f^2(x)=(e^x-1)^2} για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}}

εως 28 Οκτώβρη 2011


Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1754
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Τύπος συνεχούς συνάρτησης με τετράγωνα (ΓΛ ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Δευ Οκτ 31, 2011 11:30 pm

Μιας και πέρασε η προθεσμία και είναι πολύ όμορφες παραθέτω μια λύση:

Για την πρώτη αφού e^{x}+1\neq 0\Rightarrow f^{2}(x)\neq 0\Rightarrow f(x)\neq 0
και αφού η f είναι συνεχής, θα διατηρεί πρόσημο έτσι ή f(x)=e^{x}+1,  f(x)\succ 0
ή f(x)=-e^{x}-1,  f(x)\prec 0

Για την δεύτερη , είναι f(x)=0\Rightarrow e^{x}=1\Rightarrow x=0, έτσι η f θα διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα (-\propto ,0),   (0,+\propto ).
Έτσι ή f(x)=e^{x}-1,  x\in R, ή f(x)=1-e^{x}, x\in R,
ή f(x)=\begin{Bmatrix}e^{x}-1 \gamma \iota \alpha x\prec 0,  1-e^{x} \gamma \iota \alpha  x\geq 0\end{matrix}}
ή f(x)=\begin{Bmatrix}1-e^{x}  \gamma \iota \alpha  x\prec 0,   e^{x}-1  \gamma \iota \alpha  x\geq 0\end{matrix}


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης