Δεν είναι 1-1 (ΓΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ)

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Δεν είναι 1-1 (ΓΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τρί Σεπ 27, 2011 8:40 pm

Δίνεται η συνάρτηση \displaystye{f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}} τέτοια ώστε \displaystye{e^{f(x)}+2011f(x)=x^4-15}} για κάθε \displaystye{x\in \mathbb{R}}}.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \displaystye{f(x)} δεν είναι \displaystye{1-1}.

εως 17 Νοέμβρη 2011


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Δεν είναι 1-1 (ΓΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Σεπ 27, 2011 10:58 pm

Ένα καλύτερο ερώτημα για τους μαθητές είναι αν όντως υπάρχει τέτοια συνάρτηση.


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Δεν είναι 1-1 (ΓΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Πέμ Νοέμ 17, 2011 3:07 pm

επαναφορά

εως και 19 Νοέμβρη 2011
έχω τέσσερις διαφορετικές λύσεις κατά νου :)


chrislg
Δημοσιεύσεις: 113
Εγγραφή: Παρ Αύγ 19, 2011 4:50 pm

Re: Δεν είναι 1-1 (ΓΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chrislg » Πέμ Νοέμ 17, 2011 3:50 pm

Έστω {x}_{1},{x}_{2}\in \mathbb{R} με f({x}_{1})=f({x}_{2})
Για να ειναι 1-1 πρέπει {x}_{1}={x}_{2}
Επίσης η συναρτησιακή σχέση ισχύει για κάθε x άρα θα ισχύει για τα {x}_{1},{x}_{2}
Οπότε
e^{f({x}_{1})}+2011f({x}_{1})-{{x}_{1}}^{4}+15=0=e^{f({x}_{2})}+2011f({x}_{2})-{{x}_{2}}^{4}+15\Leftrightarrow e^{f({x}_{1})}+2011f({x}_{1})-{{x}_{1}}^{4}+15= e^{f({x}_{2})}+2011f({x}_{2})-{{x}_{2}}^{4}+15 \mathtop \limits{_{\Leftrightarrow }^{f({x}_{1})=f({x}_{2})}} 
 e^{f({x}_{1})}+2011f({x}_{1})-{{x}_{1}}^{4}+15= e^{f({x}_{1})}+2011f({x}_{1})-{{x}_{1}}^{4}+15 \Leftrightarrow 
 {{x}_{1}}^{4}={{x}_{2}}^{4} \Leftrightarrow {x}_{1}=\pm{x}_{2}
άτοπο άρα η f δεν είναι 1-1
τελευταία επεξεργασία από chrislg σε Πέμ Νοέμ 17, 2011 5:05 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11534
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Δεν είναι 1-1 (ΓΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Νοέμ 17, 2011 5:42 pm

chrislg έγραψε:Έστω {x}_{1},{x}_{2}\in \mathbb{R} με f({x}_{1})=f({x}_{2})
Για να ειναι 1-1 πρέπει {x}_{1}={x}_{2}
Επίσης η συναρτησιακή σχέση ισχύει για κάθε x άρα θα ισχύει για τα {x}_{1},{x}_{2}
Οπότε
e^{f({x}_{1})}+2011f({x}_{1})-{{x}_{1}}^{4}+15=0=e^{f({x}_{2})}+2011f({x}_{2})-{{x}_{2}}^{4}+15\Leftrightarrow e^{f({x}_{1})}+2011f({x}_{1})-{{x}_{1}}^{4}+15= e^{f({x}_{2})}+2011f({x}_{2})-{{x}_{2}}^{4}+15 \mathtop \limits{_{\Leftrightarrow }^{f({x}_{1})=f({x}_{2})}} 
 e^{f({x}_{1})}+2011f({x}_{1})-{{x}_{1}}^{4}+15= e^{f({x}_{1})}+2011f({x}_{1})-{{x}_{1}}^{4}+15 \Leftrightarrow 
 {{x}_{1}}^{4}={{x}_{2}}^{4} \Leftrightarrow {x}_{1}=\pm{x}_{2}
άτοπο άρα η f δεν είναι 1-1
Χρήστο, για ξαναδές το γιατί έχεις ένα σφάλμα στην λογική του συλλογισμού σου.

1) Λες, παραδείγματος χάριν, ότι το x_1=\pm x_2 είναι άτοπο.

Άτοπο σε τι;

Προσοχή δεν είναι άτοπο, αλλά πρέπει να συμπληρώσεις κάτι ουσιαστικό.

2) Έδειξες x_1=\pm x_2. Και ποιός μας λέει ότι δεν μπορείς να συνεχίσεις, με άλλα ακόμα βήματα,
και στο τέλος να αποδείξεις ότι x_1=x_2;
Τονίζω ότι αν θέλεις να δείξεις ότι η συνάρτηση δεν είναι 1-1 , πρέπει ΝΑ ΒΡΕΙΣ x_1, \, x_2 με f(x_1)=f(x_2) \, \, αλλά x_1 \ne x_2.

Μ.


Νασιούλας Αντώνης
Δημοσιεύσεις: 623
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 21, 2010 10:12 pm
Τοποθεσία: Αθήνα-Βόλος
Επικοινωνία:

Re: Δεν είναι 1-1 (ΓΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νασιούλας Αντώνης » Πέμ Νοέμ 17, 2011 7:49 pm

parmenides51 έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση \displaystye{f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}} τέτοια ώστε \displaystye{e^{f(x)}+2011f(x)=x^4-15}} για κάθε \displaystye{x\in \mathbb{R}}}.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \displaystye{f(x)} δεν είναι \displaystye{1-1}.

εως 17 Νοέμβρη 2011
Έστω a>0, e^{f(a)}+2011f(a)=a^4-15.

Επίσης e^{f(-a)}+2011f(-a)=(-a)^4-15=a^4-15.

Άρα e^{f(a)}+2011f(a)=e^{f(-a)}+2011f(-a). H συνάρτηση όμως g(x)=e^x+2011x,x\in \mathbb{R} είναι 1-1.

Άρα έχουμε f(a)=f(-a) και επομένως η f δεν είναι 1-1 αφού a\neq -a.


"Το να έχεις συνείδηση της άγνοιάς σου, είναι ένα μεγάλο βήμα προς τη γνώση" , Benjamin Disraeli
"Η αλήθεια ενός θεωρήματος, βρίσκεται στο μυαλό σου, όχι στα μάτια σου" , Άλμπερτ Αϊνστάιν
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Δεν είναι 1-1 (ΓΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ)

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τετ Οκτ 17, 2012 12:13 am

επαναφορά για άλλους τρόπους με την αφορμή αυτής

για μικρούς και μεγάλους :)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης