Δεν είναι 1-1 (ΓΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ)

parmenides51 · #1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystye{f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}}$ τέτοια ώστε $\displaystye{e^{f(x)}+2011f(x)=x^4-15}}$ για κάθε $\displaystye{x\in \mathbb{R}}}$ .
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystye{f(x)}$ δεν είναι $\displaystye{1-1}$ .

εως 17 Νοέμβρη 2011

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

parmenides51 · #3

επαναφορά

εως και 19 Νοέμβρη 2011

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

chrislg · #4

Έστω ${x}_{1},{x}_{2}\in \mathbb{R}$ με $f({x}_{1})=f({x}_{2})$
Για να ειναι 1-1

πρέπει ${x}_{1}={x}_{2}$
Επίσης η συναρτησιακή σχέση ισχύει για κάθε

άρα θα ισχύει για τα ${x}_{1},{x}_{2}$
Οπότε
$e^{f({x}_{1})}+2011f({x}_{1})-{{x}_{1}}^{4}+15=0=e^{f({x}_{2})}+2011f({x}_{2})-{{x}_{2}}^{4}+15\Leftrightarrow e^{f({x}_{1})}+2011f({x}_{1})-{{x}_{1}}^{4}+15= e^{f({x}_{2})}+2011f({x}_{2})-{{x}_{2}}^{4}+15 \mathtop \limits{_{\Leftrightarrow }^{f({x}_{1})=f({x}_{2})}} e^{f({x}_{1})}+2011f({x}_{1})-{{x}_{1}}^{4}+15= e^{f({x}_{1})}+2011f({x}_{1})-{{x}_{1}}^{4}+15 \Leftrightarrow {{x}_{1}}^{4}={{x}_{2}}^{4} \Leftrightarrow {x}_{1}=\pm{x}_{2}$
άτοπο άρα η f δεν είναι 1-1

#5

chrislg έγραψε:Έστω ${x}_{1},{x}_{2}\in \mathbb{R}$ με $f({x}_{1})=f({x}_{2})$
Για να ειναι πρέπει ${x}_{1}={x}_{2}$
Επίσης η συναρτησιακή σχέση ισχύει για κάθε άρα θα ισχύει για τα ${x}_{1},{x}_{2}$
Οπότε
$e^{f({x}_{1})}+2011f({x}_{1})-{{x}_{1}}^{4}+15=0=e^{f({x}_{2})}+2011f({x}_{2})-{{x}_{2}}^{4}+15\Leftrightarrow e^{f({x}_{1})}+2011f({x}_{1})-{{x}_{1}}^{4}+15= e^{f({x}_{2})}+2011f({x}_{2})-{{x}_{2}}^{4}+15 \mathtop \limits{_{\Leftrightarrow }^{f({x}_{1})=f({x}_{2})}} e^{f({x}_{1})}+2011f({x}_{1})-{{x}_{1}}^{4}+15= e^{f({x}_{1})}+2011f({x}_{1})-{{x}_{1}}^{4}+15 \Leftrightarrow {{x}_{1}}^{4}={{x}_{2}}^{4} \Leftrightarrow {x}_{1}=\pm{x}_{2}$
άτοπο άρα η f δεν είναι 1-1

Χρήστο, για ξαναδές το γιατί έχεις ένα σφάλμα στην λογική του συλλογισμού σου.

1) Λες, παραδείγματος χάριν, ότι το $x_1=\pm x_2$ είναι άτοπο.

Άτοπο σε τι;

Προσοχή δεν είναι άτοπο, αλλά πρέπει να συμπληρώσεις κάτι ουσιαστικό.

2) Έδειξες $x_1=\pm x_2$ . Και ποιός μας λέει ότι δεν μπορείς να συνεχίσεις, με άλλα ακόμα βήματα,
και στο τέλος να αποδείξεις ότι x_1=x_2

;
Τονίζω ότι αν θέλεις να δείξεις ότι η συνάρτηση δεν είναι 1-1

, πρέπει ΝΑ ΒΡΕΙΣ $x_1, \, x_2$ με $f(x_1)=f(x_2) \, \,$ αλλά $x_1 \ne x_2$ .

Μ.

Νασιούλας Αντώνης · #6

parmenides51 έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $\displaystye{f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}}$ τέτοια ώστε $\displaystye{e^{f(x)}+2011f(x)=x^4-15}}$ για κάθε $\displaystye{x\in \mathbb{R}}}$ .
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystye{f(x)}$ δεν είναι $\displaystye{1-1}$ .

εως 17 Νοέμβρη 2011

Έστω

, $e^{f(a)}+2011f(a)=a^4-15$ .

Επίσης $e^{f(-a)}+2011f(-a)=(-a)^4-15=a^4-15$ .

Άρα $e^{f(a)}+2011f(a)=e^{f(-a)}+2011f(-a)$ . H συνάρτηση όμως $g(x)=e^x+2011x,x\in \mathbb{R}$ είναι 1-1

.

Άρα έχουμε f(a)=f(-a)

και επομένως η

δεν είναι

αφού $a\neq -a$ .

parmenides51 · #7

επαναφορά για άλλους τρόπους με την αφορμή αυτής

για μικρούς και μεγάλους

Δεν είναι 1-1 (ΓΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ)

Δεν είναι 1-1 (ΓΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ)

Re: Δεν είναι 1-1 (ΓΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ)

Re: Δεν είναι 1-1 (ΓΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ)

Re: Δεν είναι 1-1 (ΓΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ)

Re: Δεν είναι 1-1 (ΓΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ)

Re: Δεν είναι 1-1 (ΓΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ)

Re: Δεν είναι 1-1 (ΓΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ)

Μέλη σε σύνδεση